五年上册数学应用题新课标高中数学人教A版本选修21全套教学教案.docx

2020年11月20日发(作者：陶愚川)





.

选修 2—1 教案








第一章 常用逻辑用语

1.1 命题及其关系

1.1.1

（一）教学目标

１、 知识与技能 ：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定述句是否为命题，能判断命题的
真假；能把命题改写成“若 p ，则 q”的形式；

２、 过程与方法 ：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和
解决问题的能力；

３、 情感、态度与价值观

：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重点与难点

重点：命题的概念、命题的构成

难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假

（三）教学过程

1 ．复习回顾
初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？
2 ．思考、分析
下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？
（ 1）若直线 a∥ b，则直线 a 与直线 b 没有公共点 ．（ 2）
2+4=7 ．
（ 3）垂直于同一条直线的两个平面平行．

（４）若

x =1, 则 x=1 ．

（５）两个全等三角形的面积相等．

（６）３能被２整除．

3 ．讨论、判断
学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（

（ 3）（ 5）的判断为真， （ 2）（ 4）（ 6）的判断为假。
教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。
4 ．抽象、归纳
定义： 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的述句叫做命题．

命题的定义的要点：能判断真假的述句．

在数学课中， 只研究数学命题， 请学生举几个数学命题的例子． 教师再与学生共同从命题的定义，
判断学生所举例子是否是命题，从“ 判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．

5 ．练习、深化
判断下列语句是否为命题？
（１）空集是任何集合的子集．
（２）若整数 a 是素数，则是 a 奇数．
（３）指数函数是增函数吗？
（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．
（５）

1）

2

命题






























( 2)
2

＝－２．




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.

（６） x＞１５．

让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关
< br>键看两点：第一是“述句”，第二是“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹
句均不是命题．

解略。

引申：以前，同学们学习了很多定 理、推论，这些定理、推论是否是命题？同学们可否举出
一些定理、推论的例子来看看？



通过对此问的思考，学生将清晰地认识到定理、推论都是命题．

过渡：同学们都知道，一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成（结合学生所举定理和
推论的例子 ，让学生分辨定理和推论条件和结论，明确所有的定理、推论都是由条件和结论两部
分构成）。紧接着提 出问题： 命题是否也是由条件和结论两部分构成呢？

6.命题的构成――条件和结论

定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成

则 q” 或者 “ 如果 p ，那么 q ”这种形式 ，通常，我们把这种形式的命题中的

叫做命题结论．

7 ．练习、深化

指出下列命题中的条件

p 和结论 q，并判断各命题的真假．

（１）若整数 a 能被２整除，则 a 是偶数．

（２）若四边行是菱形，则它的对角线互相垂直平分．

（３）若

a＞ 0， b＞ 0，则 a+b ＞ 0．

（４）若

a＞ 0， b＞ 0，则 a+b ＜ 0．

（５）垂直于同一条直线的两个平面平行．

此题中的（１） （２）（３）（４），较容易，估计学生较容易找出命题中的条件

p 和结论 q，

“ 若 p，

p 叫做命题的条件 ,q















并能判断命题的真假。其中设置命题 （３）与（４）的目的在于：通过这两个例子的比较，学更
深刻地理解命题的定义——能判断真假的述句 ，不管判断的结果是对的还是错的。

此例中的命题（５） ，不是“若 P，则 q ”的形 式，估计学生会有困难，此时，教师引导学生一
起分析：已知的事项为“条件”，由已知推出的事项为“ 结论”．

解略。

过渡：从例２中，我们可以看到命题的两种情况，即有些 命题的结论是正确的，而有些命题的结
论是错误的，那么我们就有了对命题的一种分类：真命题和假命题 ．

8 ．命题的分类――真命题、假命题的定义．
真命题： 如果由命题的条件 P 通过推理一定可以得出命题的结论

q ，那么这样的命题叫做真

q ，那么这样的命题叫做






















命题．

假命题： 如果由命题的条件 P 通过推理不一定可以得出命题的结论

假命题．

强调：

(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线

调真假命题的大前提，首先是命题。

9 ．怎样判断一个数学命题的真假？
(１ )数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．

(２ )要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

10 ．练习、深化
AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．

(２ )命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强

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.

例３：把下列命题写成“若

P，则 q”的形式，并判断是真命题还是假命题：

（１）

面积相等的两个三角形全等。

（２）

负数的立方是负数。

（３）

对顶角相等。

分析：要把一个命题写成“若 P，则 q ”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，
则结论”即“若P，则 q”的形式．解略。

11

、课堂练习：Ｐ４





２、３



12

．课堂总结师生共同回忆本节的学习容．

1．什么叫命题？真命题？假命题？

3．怎样将命题写成“若 P，则 q ”的形式．

教师提示应注意的问题：

1．命题与真、假命题的关系．

2．命题是由哪两部分构成的？

4．如何判断真假命题．










2．抓住命题的两个构成部分，判断一些语句是否

为命题．

３．判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，要经过证明．

13 ．作业： P9：习题 1．１Ａ组第 1 题

1.1.2 四种命题
（一）教学目标

1.1.3 四种命题的相互关系


◆ 知识与技能 ：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的
形式和四种 命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．

◆ 过程与方法 ：多让学生举命题 的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分
析问题、有创造性地解决问题的能力；培养 学生抽象概括能力和思维能力．

◆ 情感、态度与价值观 ：通过学生的举例，激发学生学习 数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析
能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．

（二）教学重点与难点

重点：（ 1 ）会写四种命题并会判断命题的真假；

（ 2）四种命题之间的相互关系．
难点：（ 1 ）命题的否定与否命题的区别；
（ 2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；
（ 3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．
（三）教学过程
１．复习引入

初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？

2 ．思考、分析
问题 1：下列四个命题中，

命题（ 1）与命题（ 2 ）、（3）、（ 4 ）的条件与结论之间分别有什么关系？



















（ 1）若 f(x)是正弦函数，则 f(x)是周期函数．
（ 2）若 f(x)是周期函数，则 f(x)是正弦函数．
（ 3）若 f(x)不是正弦函数，则 f(x)不是周期函数．
（ 4）若 f(x)不是周期函数，则 f(x)不是正弦函数．
３．归纳总结
问题一通过学生分析、 讨论可以得到正确结论． 紧接结合此例给出四个命题的概念， （１）和（２）
这样的两个命题叫做 互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做 互否命题，（１）和（４）这样的两
个命题叫做 互为逆否命题。






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.

４．抽象概括

定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条

件，那么我们把这样的两个命题叫做

题的 逆命题 ．

让学生举一些互逆命题的例子。

定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否

定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做

命题叫做原命题的

否命题 ．

让学生举一些互否命题的例子。

定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否

定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做

一个命题叫做原命题的 逆否命题 ．

让学生举一些互为逆否命题的例子。

小结：

(1) 交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的

(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的

逆命题 ：

互逆命题 ．其中一个命题叫做

原命题 ，另一个命题叫做原命

互否命题 ．其中一个命题叫做

原命题 ，另一个

互为逆否命题 ．其中一个命题叫做

原命题 ，另

否命题 ；

逆否命题 ．

(3) 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的

强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

５．四种命题的形式

让学生结合所举例子，思考：

若原命题为“若 P，则 q ”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？

学生通过思考、分析、比较，总结如下：

原命题：若

P，则 q ． 则：

逆命题：若 q ，则 P．

否命题：若￢ P，则￢ q ．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p ”表示p 的否定；即

不是 p；非 p）

逆否命题：若￢
q ，则￢ P．


６．练习巩固


写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：





















（１）

若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；

（２）

若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；

（３）

若 x =1, 则 x=1 ；

（４）

若整数 a 是素数，则是

a 奇数。

７．思考、分析

结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？

通过此问，学生将发现：

①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②原命题为真，它的否命题不一定为真。

③原命题为真，它的逆否命题一定为真。

原命题为假时类似。

结合以上练习完成下列表格：

原 命 题

真

逆 命 题

真

否 命 题

逆 否 命 题

2

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.

假

假

假

有相同的真假性 ．

由此会引起我们的

思考：

真

真

假

，逆命题与否命题也总是具

由表格学生可以发现： 原命题与逆否命题总是具有相同的真假性

一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？

让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．

学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：

８．总结归纳

若 P，则 q ．

原命题







若 q ，则 P．

互


逆

否

逆

逆


逆命题

互

互

否

互

否命题



为

为

互

否


否

逆否命题





互

若￢ P，则￢ q ．


逆


若￢ q ，则￢ P．

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（ 1 ）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（ 2 ）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假 性，
所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，

可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

９．例题分析


例 4： 证明：若 p







2


2





＋ q


＝ 2，则 p ＋ q ≤ 2．



分析： 如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。

将“若p

＋ q

2

2


＝ 2，则 p

＋ q

≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，

可以考虑证明它

的逆否命题“若 p + q

＞ 2，则 p

2

+ q

2
≠ 2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．

证明：若 p

＋ q

＞ 2，则

p ＋ q


2



2



1
2


2



2


＝

1

［（ p － q ） ＋（ p ＋ q ） ］≥

2



2


2



（ p ＋ q） ＞




1
×２

＝２

２



2



所以 p

2

＋ q

2
≠ 2．


2




这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。

练习巩固：证明：若

１０：课堂总结




a －b

＋２ a－４ b －３≠０，则 a－ b ≠１．












（１）逆命题、否命题与逆否命题的概念；

（２）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；



（３）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；

（４）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．


１１：作业











P9：习题 1 ．１Ａ组第２、３、４题


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.

1 ．2 充分条件与必要条件

（一）教学目标

1.知识与技能 ：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必

要条件．

2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学 生分析、判断和归纳的

逻辑思维能力．

３．情感、态度与价值观：通过学 生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品
质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教 育．













（二）教学重点与难点

重点：充分条件、必要条件的概念．

(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引 起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论

证． )

难点：判断命题的充分条件、必要条件

关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件

（三）教学过程

1 ．练习与思考
写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

（ 1）若 x ＞ a
2
+ b
2
，则 x ＞ 2ab,

（ 2）若 ab ＝ 0，则 a ＝ 0.
学生容易得出结论；命题 (1)为真命题，命题 (２ )为假命题．


置疑：对于命题“若 p ，则 q ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

答：看 p 能不能推出 q ，如果 p 能推出 q ，则原命题是真命题，否则就是假命题．

２．给出定义





命题“若p，则 q ”为真命题，是指由 p 经过推理能推出

一定成立．换句话说，只要有条件

的充分条件．

出 q，记作： p

条件．


q ，也就是说，如果 p 成立，那么 q

q 的成立，这时我们称条件


p 就能充分地保证结论


p 是 q 成立


一般地，“若 p ，则 q ”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出

q．


q ．这时，我们就说，由 p 可推


定义：如果命题“若 p ，则 q ”为真命题，即 p


2

q ,那么我们就说




p 是 q 的充分条件 ； q 是 p 必要







2


上面的命题 (1)为真命题，即


2

2



x ＞ a

+ b

2



2＂

x ＞ 2ab ，









所以“x ＞ a

3 ．例题分析：

+ b ”是x“＞
2ab

”的充分条件，“x ＞ 2ab”是x“＞ a

p 是 q 的充分条件？

+ b ” 的必要条件．

例１：下列“若 p ，则 q ”形式的命题中，那些命题中的
（ 1）若 x ＝ 1，则 x － 4x ＋ 3 ＝ 0 ；
（ 2）若 f(x)＝ x，则 f(x)为增函数；
2


2



（ 3）若 x 为无理数，则

x

为无理数．

分析：要判断

p 是否是 q 的充分条件，就要看










p 能否推出 q．

解略．


2

2

例２：下列“若 p,则 q ”形式的命题中，那些命题中的
(1) 若 x ＝ y，则 x ＝ y ；
q 是 p 的必要条件 ?

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.












(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；
(3) 若 a ＞ b,则 ac＞ bc ．
分析：要判断 q 是否是 p 的必要条件，就要看
解略．

４．练习巩固： P12

５．课堂总结

充分、必要的定义．

在“若p ，则 q”中，若p q ，则 p 为 q 的充分条件， q 为 p 的必要条件．

６．作业

P
14
：习题 1.2A 组第 1(1)(2),2(1)(2) 题

注：（ 1）条件是相互的；

（ 2） p 是 q 的什么条件，有四种回答方式：
① p 是 q 的充分而不必要条件；
② p 是 q 的必要而不充分条件；
③ p 是 q 的充要条件；
④ p 是 q 的既不充分也不必要条件．
练习

第 1、2 、 3 、4 题

p 能否推出 q．









1.2.2 充要条件




(一 )教学目标

1.知识与技能目标：

（１）

正确理解充要条件的定义 ,了解充分而不必要条件 , 必要而不充分条件 , 既不充分也不必要条
件的定义．

（２）

正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件 .

,．

（３）

通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假

3. 情感、态度与价值观：
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取 的精
神．（二）教学重点与难点



2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．











重点：

1、正确区分充要条件

2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

(三 )教学过程

1.思考、分析

已知 p ：整数 a 是 2 的倍数； q ：整数 a 是偶数 .

请判断：

p 是 q 的充分条件吗？ p 是 q 的必要条件吗？

分析：要判断 p 是否是 q 的充分条件，就要看 p 能否推出 q ，要判断 p 是否是 q 的必要条件，就要看 q
能否推出 p．

易知： p q，故 p 是 q 的充分条件；



又 q p，故 p 是 q 的必要条件．此时 ,
我们说 , p 是 q 的充分必要条件２ .类
比归纳






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.

一般地 ,如果既有 p q ，又有 q p 就记作

p

q.

此时 ,我们说 ,那么 p 是 q 的充分必要条件 ,简称充要条件 .显然 ,如果 p 是 q 的充要条件 ,那么 q 也是 p

的充要条件 .

概括地说 ,如果 p

3.例题分析

例 1：下列各题中，哪些



q, 那么 p 与 q 互为充要条件 .


p 是 q 的充要条件？

2

（１）

p:b＝ 0,q:函数 f(x)＝ ax ＋ bx＋c 是偶函数；

（２）

p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy ＞ 0；

（３）

p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c ；

（４）

p:x ＞ 5, ,q: x

＞ 10



（５）

p: a ＞ b ,q: a

2
＞ b

2

分析：要判断 p 是 q 的充要条件，就要看 p 能否推出 q ，并且看 q 能否推出 p．解：命题






















（１）和（３）中， p q ，且 q p，即 p q，故 p 是 q 的充要条件；

命题（２）中， p q ,但 q

命题（４）中， p
命题（５）中， p
４．类比定义

一般地，

若 p q , 但 q

若 p
若 p
①若 p
②若 q
③若 p
④若 p

q ，但 q

q ，且 q

q ,但 q

p ，但 p

q ，且 q

p ，则称 p 是 q 的充分但不必要条件；

p ，则称 p 是 q 的必要但不充分条件；

p ，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件．

p ，则 p 是 q 的充分但不必要条件；

q ，则 p 是 q 的必要但不充分条件；

p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．

p 是 q 的必要但不充分条件、或

p 是 q 的

q ，但 q
q ，且 q
p ，故 p 不是 q 的充要条件；

p ，故 p 不是 q 的充要条件；

p，故 p 不是 q 的充要条件；

在讨论 p 是 q 的什么条件时，就是指以下四种之一：

q ，且 q p ，则 p 是 q 的充要条件；

５．练习巩固： P14

练习第

1、 2 题

说明：要求学生回答

６．例题分析

例 2：已知：⊙ O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d ．求证： d＝r 是直线 l 与⊙ O 相切的充要条件．
分析：设 p ：d ＝r ，q ：直线 l 与⊙ O 相切．要证 p 是 q 的充要条件， 只需要分别证明充分性

（p

和必要性（ q

证明过程略．

例 3、设 p 是 r 的充分而不必要条件， q 是 r 的充分条件， r 成立，则 s 成立． s 是 q 的充分条件，问（ 1）
s 是 r 的什么条件？（ 2 ）p 是 q 的什么条件？
７．课堂总结：
充要条件的判定方法
如果“若p ，则 q ”与“若 p 则 q”都是真命题，那么 p 就是 q 的充要条件，否则不
是．８．作业： P1４：习题 1.2A 组第 1(3)(2),2(3),3 题
p ）即可．

q ）

p 是 q 的充分但不必要条件、或

充要条件、或

p 是 q 的既不充分也不必要条件．












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.



1.3 简单的逻辑联结词

1.3.1 且 1.3.2 或







(一 )教学目

1.知 与技能目 ：

（１）
（２）

（３）
掌握 “或、且”的含

正确 用 “或、且”解决

掌握真 表并会 用真 表解决












2 ． 程与方法目 ：
在 察和思考中，在解 和 明 中，本 要特 注重学生思 的 密性品 的培养．
3.情感 度价 目 ：

激 学生的学 情，激 学生的求知欲，培养 的学 度，培养 极 取的精神．

(二 )教学重点与 点

重点：通 数学 例，了解 “或、且”的含 ，使学生能正确地表述相关数学容。

点：

1、正确理解命 “ P∧ q ”“P∨q ”真假的 定和判定．

2、 、准确地表述命 “

(三 )教学 程：

1 、引入
在当今社会中，人 从事任何工作、学 ，都离不开 ．具有一定 知 是构成一个公民的文化素
的重要方面．数学的特点是 性 ，特 是 入高中以后，所学的数学比初中更 性．如果不学 一定的
知 ，将会在我 学 的 程中不知不 地 常犯 性的 ．其 ，同学 在初中已 开始接触一些 易 的知 ．

P∧ q”“P∨ q ”.


在数学中， 有 会使用一些 ，







如“且”“或”“在非生”活。用 中， 我 也使用 些 ，

但表达的含 和用法与数学中的含 和用法不尽相同。 下面介 数学中使用 “且”“或”“非” 命 的含 和用法。

叙述 便，今后常用小写字母

q 的区 ）

2 、思考、分析

1：下列各 命 中，三个命 有什么关系？

（ 1）① 12 能被 3 整除；
② 12 能被 4 整除；
③ 12 能被 3 整除且能被 4 整除。
（ 2）① 27 是 7 的倍数；
②27 是 9 的倍数；

③27 是 7 的倍数或是 9 的倍数。







p， q， r， s， ? 表示命 。（注意与上 学 命 的条件

p 与






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.

学生很容易看到，在第（

1） 命 中，命 ③是由命 ①②使用 “且” 得到的新命 ，

。

在第（ 2） 命 中，命 ③是由命 ①②使用 “或” 得到的新命 ，

2：以前我 有没有学 象 用 “且”或“或” 的命 呢？你能否 一些例子？例如：命 p ：菱形的 角








相等且菱形的 角 互相平分。

命 q ：三条 成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。

3 、 定
一般地，用 “且”把命 p 和命 q 起来，就得到一个新命 ， 作 p ∧ q

作“p 且 q ”。

一般地，用 “或”把命 p 和命 q 起来，就得到一个新命 ， 作 p ∨ q, 作“p或 q”。

命 “p ∧q ”与命 “p∨ q ”即，命 “p 且 q ”与命 “p或 q ”中的“且”字与“或字”与下面两个命 中的“且”

字与“或”字的含 相同 ？

（ 1）若 x∈ A 且 x∈ B， x∈ A∩B。
（ 2）若 x∈ A 或 x∈ B， x∈ A∪B。


定 中的“且”字与“或”字与两个命 中的“且” 字与“或”字的含 是 似。但 里的 “且”与日常 言中的“和”，“并且”，
“以及”，“既?又?”等相当，表明前后两者同 兼有，同 ,足 “或”与生活中 “ 或 ” 的含 不同，例如 “ 你去或我



去 ” ，理解上是排斥你我都去 种

可能 .

明：符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上。

注意： “ p 或 q ”， “ p 且 q ” ，命 中的 “ p ” 、 “ q ” 是两个命 ，而原命 ，逆命 ，否命 ，逆否命 中的
“ p” ,“ q ” 是一个命 的条件和 两个部分 .

4 、命 “p ∧ q ”与命 “p∨q ”的真假的 定

你能确定命 “ p ∧q ”与命 “p∨ q ”的真假 ？命 “p ∧ q”与命 “p∨q ”的真假和命 p，q 的真假之 有什
么 系？

引 学生分析前面所 例子中命 p ，q 以及命 p ∧ q 的真假性， 概括出 三个命 的真假之 的关系的一般 律。

例如：在上面的例子中，第（

1 ） 命 中，①②都是真命 ，所以命 ③是真命 。

第（ 2） 命 中，①是假命 ，②是真命 ，但命 ③是真命 。

p

真

真

假

假








q

真

假

真

假


p ∧ q

真

假

假

假





p

真

真

假

假



q

真

假

真

假

p∨ q

真

真

真

假

















（即一假 假）

一般地，我 定：




（即一真 真）




当 p ， q 都是真命 ， p ∧ q 是真命 ；当




p ， q 两个命 中有一个命 是假命 ，p∧

p∨ q 是真命 ；当

p， q 两个命 都是假

q 是假命 ；当

p， q 两个命 中有一个是真命 ，

命 ， p ∨ q 是假命 。

5 、例

例 1：将下列命 分 用“且”与“或” 成新命 “ p∧q ”与“p∨ q ”的形式，并判断它 的真假。（ 1） p ：平行四 形
的 角 互相平分， q ：平行四 形的 角 相等。






Word 文档







.








（ 2） p ：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分；
（ 3） p ： 35 是 15 的倍数， q ：35 是 7 的倍数 .
解：（ 1） p ∧q：平行四边形的对角线互相平分且平行四边形的对角线相等

平行四边形的对角线互相平分且相等

p ∨ q: 平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等

平行四边形的对角线互相平分或相等

.

. 也可简写成

.

.也可简写成

由于 p 是真命题 ,且 q 也是真命题 ,所以 p ∧ q 是真命题 , p∨ q 也是真命题．

（ 2） p ∧ q ：菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分. 也可简写成菱形
的对角线互相垂直且平分 .











p ∨ q: 菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分

. 也可简写成

.

菱形的对角线互相垂直或平分

（ 3） p ∧ q ： 35 是 15 的倍数且 35 是 7 的倍数 . 也可简写成

35 是 15 的倍数且是 7 的倍数 .

p ∨ q: 35 是 15 的倍数或 35 是 7 的倍数 . 也可简写成

35 是 15 的倍数或是 7 的倍数 .

由于 p 是真命题 ,且 q 也是真命题 ,所以 p ∧ q 是真命题 , p∨q 也是真命题．

由于 p 是假命题 , q 是真命题 ,所以 p∧ q 是假命题 , p∨ q 是真命题．

说明，在用＂且＂或＂或＂联结新命题时，如果简写，应注意保持命题的意思不变．

例 2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。




（ 1） 1 既是奇数，又是素数；
（ 2） 2 是素数且 3 是素数；
（ 3） 2≤
2．解略．
例 3、判断下列命题的真假；
（ 1） 6 是自然数且是偶数
（ 2） 是 A 的子集且是 A 的真子集；
（ 3）集合 A 是 A∩ B 的子集或是 A∪ B 的子集；
（ 4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全
等．解略．
6 ．练习

Ｐ
2０

练习第 1

７ .课堂总结

， 2 题











（１） 掌握逻辑联结词“或、且”的含义

（２）

正确应用逻辑联结词“或、且”解决问题

（３）

掌握真值表并会应用真值表解决问题

p

真

真

假

假

８．作业：


q

真

假

真

假

P∧ q

真

假

假

假


P∨ q

真

真

真

假










P20：习题１ .３Ａ组第

1、 2 题


Word 文档










.

1.3.3 非

(一 )教学目标

1.知识与技能目标：

（ 1）掌握逻辑联结词“非”的含义
（ 2）正确应用逻辑联结词“非”解决问题
（ 3）掌握真值表并会应用真值表解决问题
2 ．过程与方法目标：
观察和思考中，在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维能力中严密性品质的培养．

3.情感态度价值目标：

(二 )教学重点与难点

难点：










激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．


重点：通过数学实例，了解逻辑联结词“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学容

1、正确理解命题

“￢P”真假的规定和判定．

“￢P”.




.

2、简洁、准确地表述命题







(三 )教学过程 ：

1 、思考、分析

问题 1：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？

（ 1）

① 35 能被 5 整除；


2

② 35 不能被 5 整除；

2











（ 2） ①方程 x +x+1=0

有实数根。

②方程 x +x+1=0 无实数根。

学生很容易看到，在每组命题中，命题②是命题①的否定。

2 、归纳定义
一般地，对一个命题

p 全盘否定，就得到一个新命题，记作

￢ p
读作“非p ”或p“的否定”。

3、命题“￢ p ”与命题p 的真假间的关系

命题“￢ p ”与命题p 的真假之间有什么联系？





引导学生分析前面所举例子中命题 p 与命题 ￢ p 的真假性，概括出这两个命题的真假之间的关系的
一般规律。

例如：在上面的例子中，第（

1）组命题中，命题①是真命题，而命题②是假命题。

第（ 2）组命题中，命题①是假命题，而命题②是真命题。

由此可以看出，既然命题￢ P 是命题 P 的否定，那么￢ P 与 P 不能同时为真命题，也不能同时为假命
题，也就是说，

若 p 是真命题，则￢ p 必是假命题；若 p 是假命题，则￢ p 必是真命题；











p ￢ P
真 假

假 真

4 、命题的否定与否命题的区别
让学生思考：命题的否定与原命题的否命题有什么区别？

命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定， 因此在解题时应
分请命题的条件和结论。

例：如果命题

p:5 是 15 的约数，那么








Word 文档





.


命题￢ p： 5 不是 15 的约数；

p 的否命题：若一个数不是

5.例题分析

例 1













5 ，则这个数不是

15

的约数。



显然，命题 p 为真命题，而命题


p 的否定￢ p 与否命题均为假命题。









写出下表中各给定语的否定语。

若给定语为


等于


大于

是


都是

至多有一

个

至少有


一个

其否定语分别为

分析： “等于”的否定语是“不等于”；

“ 大于 ”的否定语是 “ 小于或者等于 ”；

“ 是 ” 的否定语是 “不是 ” ；

“ 都是 ”的否定语是 “ 不都是 ” ；

“ 至多有一个 ” 的否定语是 “至少有两个 ” ；

“ 至少有一个 ” 的否定语是 “一个都没有 ” ；

例 2：写出下列命题的否定，判断下列命题的真假

（ 1） p ： y ＝ sinx 是周期函数；
（ 2） p ： 3＜ 2；
（ 3） p ：空集是集合 A 的子集。
解略 .

6.练习巩固： P20

7．小结

（１）正确理解命题

８．作业




















练习第 3 题

“￢P”真假的规定和判定．

“￢P”.

（２）简洁、准确地表述命题

P20：习题１ .３Ａ组第 3 题



1． 4 全称量词与存在量词

1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词





(一 )教学目标

1.知识与技能目标

（ 1 ）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义 ，熟悉常见的全称量词和存在量词．

（ 2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及
判 断其命题的真假性．
2.过程与方法目标

使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

3.情感态度价值观

通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思 维品质，在练习过程中进行
辩证唯物主义思想教育．










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.

(二 )教学重点与 点

重点 :理解全称量 与存在量 的意

点 : 全称命 和特称命 真假的判定

(三 )教学 程

1．思考、分析

下列 句是命 ？假如是命 你能判断它的真假 ？

（ 1） 2x＋１是整数；
(2) x＞３；
(3) 如果两个三角形全等，那么它 的 相等；
（ 4）平行于同一条直 的两条直 互相平行；
（5）海 附中今年所有高中一年 的学生数学 本都是采用人民教育出版社

（ 6）所有有中国国籍的人都是黄种人；
（ 7） 所有的 x∈Ｒ , x＞３；
（ 8） 任意一个 x∈Ｚ， 2x ＋１是整数。
1 ． 推理、判断

（ 学生自己表述）

（ 1）、（2 ）不能判断真假，不是命 。
（ 3）、(4) 是命 且是真命 。
（ 5）－（ 8）如果是假，我 只要 出一个反例就行。
注： 于（ 5）－（ 8 ）最好是引 学生将反例用命 的形式写出来。因 些命 的反例涉

及到“存在量 ”“特称命 ”“全称命 的否定” 些后 容。

（ 5）的真假就看命 ：海 附中今年存在个 （部分）高一学生数学 本不是采用人民教育

出版社 A 版的教科 ； 个命 的真假， 命 真，所以命 （

命 （ 7）是假命 ．事 上，存在一个（个 、某些） 数（如

（至少有一个 x∈Ｒ , x≤３）

x∈Ｚ，使 2x＋１不是整数。也可以 命 ：存在某

命 （ 8）是真命 。事 上不存在某个

个 x∈Ｚ使 2x＋１不是整数，是假命 ．

3． 、

命 （ 5 ）－（ 8）跟命 （ 3 ）、（4 ）有些不同，它 用到

“所有的”“任意一个” 的 ，

，用符号 “ ”表示， 含有全

些 一般在指定的 都表示

称量 的命 ，叫做全称命

通常将含有 量

整体或全部 ， 的 叫做全称量
。命 （ 5）－（ 8）都是全称命 。

5） 假；

命 （ 6）是假命 ．事 上，存在一个（个 、部分）有中国国籍的人不是黄种人．

A 版的教科 ；

.




























x
＝

2），

x＜３．

x
的 句用
p（x），q（x），r（x），
??表示， 量
x
的取 用

x
，有
p（x）
成立”可用符号 ：

M
表示。那

么全称命 “
M
中任意一个




x M
,

p（x）
， 做“ 任意
x

属于
M
，有
p（x）
成立”。

才在判断命 （
，

，

，

，

5）－（ 8）的真假的 候，我 得出 一些命 ：


（ 5）存在个 高一学生数学 本不是采用人民教育出版社


A 版的教科 ；









（ 6）存在一个（个 、部分）有中国国籍的人不是黄种人．

（7 ） 存在一个（个 、某些） 数








x（如
x
＝ 2），使 x≤３．（至少有一个 x∈Ｒ , x≤３）




（8 ）不存在某个 x∈Ｚ使 2x＋１不是整数．

些命 用到了 “存在一个”“至少有一个” 的 ， 些 都是表示








整体的一部分 的

，

叫做 存在量 。并用符号 “ ”表示。 含有存在量 的命 叫做特称命 （或存在命 ）

命 （

5 ）

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，

.

－（ 8）都是特称命题（存在命题）

．


特称命题：“存在
M
中一个
x
，使
p（x）
成立”可以用符号简记为：




x M , p(x)
。读做“存

在一个
x
属于
M
,使

p

（

x）成立”．

全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当于日常语言
中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”至，多“有一个”等 .

4．练习、感悟

（1）下列全称命题中，真命题是：




A. 所有的素数是奇数；


B.

D.




x R,( x 1)
2
f 0
；

C.


x R, x

1

x

2




x

(0, ),sin x

2


1

sin x

2





（2）下列特称命题中，假命题是：

A.

x R, x
2

2x

3 0


B.至少有一个
x Z , x
能被 2 和 3 整除

D.
x { x | x是无理数

},

x
2

是有理数．

；


C. 存在两个相交平面垂直于同一直线

（3）已知：对



x

R , a p x


1

x


恒成立，则 a 的取值围是


变式：已知：对

（4）求函数
f ( x)

变式：已知：对



x

R , x
2

ax

1 p 0
恒成立，则

a

的取值围是

cos
2
x

sin x

3
的值域；

sin x 3 a


；


x R,
方程
cos
2
x

0
有解，求

a

的取值围．

5．作业、探究

（ 1）作业： P
29
习题 1.4A 组 1 、 2 题：
判断下列全称命题的真假：
①末位是 o 的整数，可以被 5 整除；②线段的垂直平分线上
的点到这条线段两个端点的距离相等；③负数的平方是正数；
④梯形的对角线相等。
（ 2）判断下列特称命题的真假：
①有些实数是无限不循环 小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有些菱形是形。
（ 3）探究：
，

，






①请课后探究命题（ 5 ） －（ 8 ）跟命题（ 5）－（ 8）分别有什么关系？②请你自己< br>写出几个全称命题，并试着写出它们的否命题．写出几个特称命题，并试着写


出它们的否命题。












1 ．4．3 含有一个量词的命题的否定

Word 文档









.

(一 )教学目标

1.知识与技能目标

（ 1）通过探究数学中一些实例，使学 生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上
的变化规律．
（ 2）通过例题和习 题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变
化规律，正确地对含有一个量 词的命题进行否定．
2 ． 过程与方法目标

使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

3.情感态度价值观

通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思 维品质，在练习过程中进行
辩证唯物主义思想教育．

(二 )教学重点与难点

教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变 化规律，会正确地对
含有一个量词的命题进行否定．

教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．

(三 )教学过程

1 ．回顾

我们在上一节中学习过逻辑联结词

非 p ），它们的真假性之间有何联系？

2 ．思考、分析
判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？
（ 1）所有的矩形都是平行四边形；
（ 2）每一个素数都是奇数；
（ 3） x∈ R, x －2x＋ 1 ≥0。
（ 4 ）有些实数的绝对值是正数；
（ 5）某些平行四边形是菱形；
（ 6） x∈ R,

x ＋ 1＜ 0。

3 ．推理、判断
你能发现 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

（让学生自己表述）

前三个命题都是全称命题，即具有形式“

2

2














“ 非 ”．对给定的命题 p ，如何得到命题 p 的否定（或












x M , p( x)
。

”


其中命题（ 1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，



存在一个矩形不都是平行四边形；

命题（ 2）的否定是“并非每一个素数都是奇数；”，也就是说，
存在一个素数不是奇数；

命题（ 3）的否定是“并非 x∈ R,



x

－ 2x＋ 1≥ 0”，也就是说，

2

2


x∈R,

x － 2x＋ 1＜ 0；

后三个命题都是特称命题，即具有形式“










x M , p( x)
”。

其中命题（ 4）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，

所有实数的绝对值都不是正数；

命题（ 5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，

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.

每一个平行四边形都不是菱形；

2


命题（ 6）的否定是“不存在 x∈ R,


x ＋ 1＜ 0”，也就是说，


x∈ R, x
2

＋ 1≥ 0；








4 ．发现、归纳
从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否定都变

成了全称命题。

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题 P：

x M , p( x)

它的否定￢ P






x M , p( x)

特称命题

P：











x M , p( x)

它的否定￢ P：

x∈ M，￢ P(x)

全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。

5．练习、感悟

判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：

（１） p：所有能被 3 整除的整数都是奇数；

（２） p：每一个四边形的四个顶点共圆；

（３） p：对 x∈ Z， x 个位数字不等于

3 ；

2

2





（４） p：

x∈ R, x ＋ 2x＋ 2≤ 0；

（５） p：有的三角形是等边三角形；

（６） p：有一个素数含三个正因数。

6．小结与作业

（ 1）小结：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么
变化？
（ 2）作业：




































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.

第二章 圆锥曲线与方程
























2.1 曲线与方程

2.1.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的轨迹方程

一、教学目标

(一 )知识教学点

使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．

(三 )学科渗透点

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打

下扎实的基础．

二、教材分析

1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．

(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．

轨迹方法．

(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．

三、活动设计

提问、讲解方法、演板、小测验．

四、教学过程

(一 )复习引入

大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：

(1) 根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2) 通过方程，研究平面曲线的性质．
我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研
究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．

(二 )几种常见求轨迹方程的方法

1．直接法

由题设所给 (或通过分析图形的几何性质而得出

)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代

(二 )能力训练点

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．

)2．难点：作相关点法求动点的

)









替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．

2

2

2

例 1(1)求和定圆

x +y

=k


的圆周的距离等于

k 的动点 P 的轨迹方程；

2
(2) 过点 A(a ，o) 作圆 O∶ x
2
+y =R
2
(a＞ R＞ o)的割线，求割线被圆








O 截得弦的中点的轨迹．

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.

对 (1)分析：

动点 P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点

|OP|=0 ．

解：设动点

P(x， y)，则有 |OP|=2R 或 |OP|=0 ．

P 的运动规律： |OP|=2R 或

22
即 x
2
+y =4R
2
或 x
2
+y =0 ．



22
故所求动点 P 的轨迹方程为

x
2
+y =4R
2
或 x
2
+y =0 ．











对 (2)分析：
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与
弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：
设弦的中点为 M(x， y)，连结 OM ，
则 OM ⊥ AM ．
∵ k
OM
·k
AM
=-1 ，
其轨迹是以 OA 为直径的圆在圆
2．定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接 写出所求的动点的轨迹
方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之 和或差为定值
的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

O 的一段弧 (不含端点 )．






直平分线 l 交半径 OQ 于点 P(见图 2－ 45)，当 Q 点在圆周上运动时，求点









P 的轨迹方程．

分析：

∵点 P 在 AQ 的垂直平分线上，

∴ |PQ|=|PA| ．
又 P 在半径 OQ 上．

∴ |PO|+|PQ|=R ，即 |PO|+|PA|=R ．
故 P 点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定
义写出 P 点的轨迹方程．
解：连接 PA ∵l ⊥ PQ，∴ |PA|=|PQ| ．
又 P 在半径 OQ
上． ∴ |PO|+|PQ|=2 ．




由椭圆定义可知： P 点轨迹是以

O、 A 为焦点的椭圆．

























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.

3．相关点法


若动点 P(x， y)随已知曲线上的点 Q(x
0
， y
0
)的变动而变动，且 x
0
、 y
0
可用 x、 y 表示，则将 Q 点



坐标表达式代入已知曲线方程，即得点

P 的轨迹方程．这种方法称为相关点法

(或代换法 )．

例 3 已知抛物线 y
2
=x+1 ，定点 A(3 ，1)、B 为抛物线上任意一点， 点 P 在线段 AB 上，且有 BP∶
PA=1 ∶2 ，当 B 点在抛物线上变动时，求点 P 的轨迹方程．分析：


P 点运动的原因是 B 点在抛物线上运动，因此 B 可作为相关点，应先找出点 P 与点 B 的联系．解：设
点 P(x， y)，且设点 B(x
0
， y
0
)




∵ BP∶ PA=1 ∶2，且 P 为线段 AB 的分点．






















































4．待定系数法

求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．

例 4

已知抛物线

y
2
=4x 和以坐标轴为对称轴、实轴在

y 轴上的双曲

曲线方程．

分析：

因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在

y 轴上，所以可设双曲线方

ax
2
-4b x+a
2
b
2
=0


2
∵抛物线和双曲线仅有 两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程


22
ax-4b x+a
2
b
2
=0 应有等根．



4
∴△ =166
4
-4Q b
2
=0 ，即 a
2
=2b ．








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.

(以下由学生完成 )

由弦长公式得：

即 a
2
b
2
=4b
2
-a
2
．
(三 )巩固练习

用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．

1．△ ABC 一边的两个端点是

B(0， 6)和 C(0， -6) ，另两边斜率的

2．点 P 与一定点 F(2，0)的距离和它到一定直线

x=8 的距离的比是 1∶ 2，求点 P 的轨迹方程，并
说明轨迹是什么图形？

3．求抛物线 y
2
=2px(p ＞ 0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．

答案：

义法 )

由中点坐标公式得：

(四 )小结

求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复 数法也是
求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．

五、布置作业

1．两定点的距离为 6 ，点 M 到这两个定点的距离的平方和为

26，求点 M 的轨迹方程．

2．动点 P 到点 F
1
(1， 0)的距离比它到 F
2
(3， 0)的距离少 2，求 P 点的轨迹．

Word 文档





























































































.

2
3．已知圆 x
2
+y =4 上有定点 A(2 ， 0)，过定点 A 作弦 AB，并延长到点



P，使 3|AB|=2|AB| ，求动

点 P 的轨迹方程．作业答案：

1．以两定点 A、B 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，得点

M 的轨

2
迹方程 x
2
+y =4
































































































2．∵ |PF
2
|-|PF|=2 ，且 |F
1
F
2
|∴ P 点只能在

x 轴上且 x＜ 1 ，轨迹是一条射线

六、板书设计

Word 文档






























.

2.2

椭

圆

2.2.1 椭圆及其标准方程


◆

知识与技能目标


理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推


导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法



．

◆

过程与方法目标

（ 1）预习与引入过程
当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的
交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截

口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双

曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问

题回答清楚后， 要引导学生一起探究 P
41
页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条

10cm 长，两端各结一个套） ，教师准备无弹性细绳子一条（约

动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖， 画出的图形是椭圆．启发性提问：在这

一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗

2． 1 ．1 椭圆及其标

准方程．

（ 2）新课讲授过程
（ i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．
（约

60cm ，一端结个套，另一端是活













〖板书〗把平面与两个定点


F
1

，
F
2

的距离之和等于常数（大于

F
1
F
2

）的点的轨迹叫做椭圆

即当动点设为

（ ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，

两定点间的距离叫做椭圆的焦距．


M

时，椭圆即为点集


P

M | MF
1
MF
2
2a
．





（ ii）椭圆标准方程的推导过程
提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、
注意图形的特殊性和一般性关系．

无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．

设参量
b
的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、



a,b,c
的关系有明显的几何意义．


类比：写出焦点在









y

轴上，中心在原点的椭圆的标准方程

y

2

a
2


b

x
2

2

1 a b 0
．

Word 文档





.


（ iii）例题讲解与引申

例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是



2,0
，

2,0
，并且经过点

5
,
3

，求它的标准

2

2

方程．


分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，



容易求出
a,b, c
．引导学生用其他方法来解．

另解：设椭圆的标准方程为



x
2

y
2

a
2

b
2

1 a b 0
，因点



5
,

2

3

在椭圆上，

2

25


则
4a
2




9

4b
2

2
1



a

b


10

6

2





．





a

b


4


例 2 如图，在圆
x
2

点
P
在圆上运动时，线段


分析 ：点
P
在圆

x
2

y
2

4
上任取一点

P

，过点

P

作
x
轴的垂线段

PD

，

D

为垂足．当

PD
的中点
M
的轨迹是什么？


y
2

4
上运动， 由点

P

移动引起点

M

的运动， 则称点

M

是点

P

的伴

随点，因点
M
为线段
PD
的中点，则点
M
的坐标可由点
P
来表示，从而能求点
M
的轨迹方程．

引申：设定点
A 6,2





，
P
是椭圆

x
2

25

y
2

9

1
上动点，求线段

AP

中点

M

的轨迹方程．


解法剖析 ：①（代入法求伴随轨迹）设



M x, y
，
P x
1
, y
1

；②（点与伴随点的关系）∵

x
1
2

y
1
2

25









M
为线段
AP
的中点，∴








x
1

y
1

2x

6


；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）


2
，∵

1
，
2 y


2









9

∴点
M
的轨迹方程为


x

3

25

2
y

1



1

；④伴随轨迹表示的围．

9

4

例 3 如图，设
A
，
B
的坐标分别为

的斜率之积为


5,0

，
5,0

．直线
AM
，
BM
相交于点
M
，且它们

4

9

，求点

M
的轨迹方程．













分析 ：若设点
M

x, y
，则直线
AM
，
BM
的斜率就可以用含


x, y
的式子表示，由于直线

4

9

，因此，可以求出




AM
，
BM
的斜率之积是


x, y
之间的关系式，即得到点


M
的轨迹方程．






解法剖析 ：设点
M



x, y
，则
k
AM

y

y



5

y

x

5
，
k
BM




y

x

5


x

5
；



代入点
M
的集合有






4

9

x 5


，化简即可得点


M
的轨迹方程．




x

5

x


Word 文档








.

引申：如图，设△
ABC
的两个顶点






A a,0
，
B a,0
，顶点
C
在移动， 且

k
AC

k
BC
k
，

且
k

0
，试求动点
C
的轨迹方程．

引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当

k
值在变化时，线段

AB
的

角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．

◆

情感、态度与价值观目标

通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线 和抛物线都是圆锥曲线，是因它们
都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定 义及特殊情形当常数等于两
定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角 坐标系的两个


原则，及引入参量


b

a
2

c
2

的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学

生认同与领悟：例 1 使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思



考问题的好习惯；例 2 是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，

会用分析、联系的观点解决问题；通过例

◆能力目标

（ 1） 想象与归纳能力 ：能根据课程的容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线的
实际例子，能用数 学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，
反过来根据图形能用数学术语和数学符 号表示．
（ 2） 思维能力 ：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几 何
问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到
一般性来研 究，培养学生的辩证思维能力．
（ 3） 实践能力 ：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（ 4） 数学活动能力 ：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．
（ 5） 创新意识能力 ：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题
的一般的思想、方法和途径．
练习 ：第 45 页 1、2 、 3、4 、

作业 ：第 53 页 2、3 、

3 培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质．













2．1．2


椭圆的简单几何性质

◆

知识与技能目标


了解用方程的方法研究图形的对称性； 理解椭圆的围、 对称性及对称轴， 对称中心、 离心率、顶点
的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际 问题；通过例题了解椭圆的第二定


义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义














．

◆

过程与方法目标

（ 1）复习与引入过程

引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，

养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的围；

③先定义圆锥曲线顶点的概念，

考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．

在本节中不仅要注意通过对

椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培

②由方程的性质得到椭圆的对称性；

短轴的概念； ④通过 P
48
的思

容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、

〖板书〗§2 ．1． 2 椭圆的简单几何性质．

Word 文档







.




（ 2）新课讲授过程
（ i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．
提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对曲线的围、 对称性及特殊点的讨论， 可以从整体上把握曲线的形状、 大小和位置． 要从围、
对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．

（ii）椭圆的简单几何性质



①围：由椭圆的标准方程可得，

b
2


y
2

1

a
2


x
2

0

，进一步得：

a


x a

，同理可得：

b y b
，即椭圆位于直线

x

②对称性：由以

a
和

y

b
所围成的矩形框图里；


x
代
x
，且以


x
代
x
，以

y

代

y

和

y
代
y
这三个方面来研究椭圆的标

x
轴和

y

轴为对称轴，原点为对称中心；


准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以

③顶点： 先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，

即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆

锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，


较短的叫做短轴；






④

离 心 率 ： 椭 圆 的 焦 距 与 长 轴 长 的 比
e






c

a





叫 做 椭 圆 的 离 心 率 （
0






















e 1
），






当 e 1时
，c
a
，，b
0

椭圆图形越扁



当 e

；



0时
，c

0
，b
a


椭圆越接近于圆




．




（iii ）例题讲解与引申、扩展

例 4 求椭圆
16x
2

25 y
2

400
的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．


分析 ：由椭圆的方程化为标准方程，

焦点和顶点的定义即可求相关量．

扩展 ：已知椭圆
mx
2



容易求出
a, b, c
．引导学生用椭圆的长轴、

短轴、离心率、


5y
2


5m

m 0

的离心率为
e


10

，求
m
的值．

5








解法剖析 ：依题意，
m

0, m 5

，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在

5, b


x

轴上，即
0 m 5
时，有

a


m ,c


5 m

，∴


5

m



2

5

10

5


，得
m 3
；②当焦

5

5
，∴


点在
y
轴上，即
m


5
时，有

a


m , b


5, c





m


m

5

m



m



25

3

．


例 5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口

圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点

BAC
是椭

F
1

上，片门位于另一个焦点


F
2

上，由椭圆一个焦点

F
1

发

出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点








F
2

．已知
BC

F
1
F
2

，

F
1

B

2.8cm
，

Word 文档





.


F
1
F
2
4.5cm
．建立适当的坐标系，求截口
BAC
所在椭圆的方程．


x
2

y
2

a
2


解法剖析 ：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为


b
2
1
，算出
a,b, c
的值；



此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于




a, b, c
的近似值，原则上在没有注

意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

引申 ：如图所示，

“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球

的中心
F
2

为一个焦点的椭圆，

近地点
A
距地面
200km
，远地点
B
距地面
350km
，已知地球的半



径
R

6371km
．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．

x, y
与定点
F 4,0
的距离和它到直线









2
例 6 如图，设
M


求点
M
的轨迹方程．


l
：
x

25


的距离的比是常数





4

，

4

25

4


5



分析：若设点
M


x, y
，则

MF



x 4

2
y






，到直线
l
：

x



的距离
d






x

25

4


，

则容易得点
M
的轨迹方程．

引申：（用《几何画板》 探究）若点
M


x, y
与定点
F


c,0
的距离和它到定直线

l
：

x


a
2

c


的


距离比是常数
e


c

a


a c 0
，则点
M
的轨迹方程是椭圆． 其中定点
F c,0















是焦点， 定直线


l
：

x


a
2

c


相应于
F
的准线；由椭圆的对称性，另一焦点







F c,0




，相应于
F







的准线
l

：







x



a
2

．

c

◆

情感、态度与价值观目标

在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教
学 相长的教学活动情境，结合教学容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创
新．必须 让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的


围、对称性、 顶点和离心率； 必须让学生认同与理解： 已知几何图形建立直角坐标系的两个原则， ①
充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两


个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行 计算，
并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息
技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．



◆能力目标

（ 1） 分析与解决问题的能力 ：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题
的能力．
（ 2） 思维能力 ：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何








Word 文档







.


问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思
维能力．

（ 3） 实践能力 ：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（ 4） 创新意识能力 ：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题
的一般的思想、方法和途径．
练习 ：第 52 页 1 、 2、 3、4 、 5、 6、 7

作业： 第 53 页 4 、 5








补充：




1.课题 :椭圆的第二定义

.

学法指导： 以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化

复习回顾






问题推广

引出课题

归纳小结







课堂练习

典型例题

教学目标

知识目标：椭圆第二定义、准线方程；

能力目标： 1 使学生了解椭圆第二定义给出的背景；

2 了解离心率的几何意义；
3 使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；
4 使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；
5 使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；
情感与态度目标： 通过问题的引入和变式，

体现数学的美学价值 .






激发学生学习的兴趣，







应用运动变化的观点看待问题，








教学重点： 椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；

教学难点： 椭圆的第二定义的运用；

教学过程

复习回顾

1．椭圆
9x





教学方法： 创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结.














2

y

2

81
的长轴长为


18


，短轴长为 6 ，半焦距为
6

2
，离心率为


2 2
，焦点

3



坐标为
(0, 6


2)
，顶点坐标为
(0,


9) (

3,0)
，（准线方程为
y






27

2


） .

4


2．短轴长为 8，离心率为


3

5


的椭圆两焦点分别为
F
1

、
F
2

，过点

F
1

作直线

l

交椭圆于

A、

B

两点，


则
ABF
2

的周长为

20 .

引入课题










Word 文档








.

【习题

4 （教材 P50 例 6）】椭圆的方程为







x
2

y
2

25

16


1
，

M
1
，

M

2

为椭圆上的点












1



















① 求点 M （ 4 ，2.4 ）到焦点 F（ 3， 0）的距离

② 若点 M
2
为（ 4， y
0
）不求出点 M
2


2

2.6 .


的纵坐标，你能求出这点到焦点



F（ 3，0 ）的距离吗？





2
4
2


y
0

2





2
169


13

5




解：
| MF |



(4 3)



y
0

且

25


16


1

代入消去
y
0

得
| MF

|

25

【推广】你能否将椭圆




x

2

a

2



y
2

b
2


1
上任一点
M (x, y)
到焦点
F (c,0)(c









0)
的距离表示成点

M 横






















坐标
x
的函数吗？



| MF |


x


a
2
2


(x


c)
2




y
2




解


：




y


2
b
2



代



入



消




去


y
2


得




2


2
1


2





2

2

















| MF |


x


2cx


c
c

a


b
b
2

x





(

c

a




x

a)










a
2


a
2























| x a |

c



| x

a
2


| e | x


|


a


c


c













问题 1 ：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）

椭圆上的点 M 到右焦点
F ( c,0)

的距离与它到定直线
x


a
2

c


的距离的比等于离心率

c

a





问题 2 ：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）

动点
M
到定点

F (c,0)

的距离与它到定直线

















x





a
2


的距离的比等于常数










c

a

(a



c)
的点的轨迹是



c






椭圆．


【引出课题】椭圆的第二定义

当点
M
与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数


e

c

a

(0

e 1)
时，这个点



的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数



e
是椭圆的离心率．

x

对于椭圆

x
2

a

2
y
2

b
2



1
，相应于焦点

F (c,0)

的准线方程是








a
2

c


．根据对称性，相应于焦点


F ( c,0)
的准线方程是
x



a
2


．对于椭圆

y
2



x
2

b
2

1
的准线方程是
y


a
2

c

．




c

a
2


可见椭圆的离心率就是椭圆上一 点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意
义．







Word 文档








.

由椭圆的第二定义




| MF

|

d


e
可得：右焦半径公式为


| MF
右
| ed


e | x


a
2

|

a ex
；

c


左焦半径公式为

| MF
左
|

ed











e | x (





a
2

) | a

ex

c





































典型例题



例 1、求椭圆

x
2


y
2



1

的右焦点和右准线；左焦点和左准线；










25

16






解：由题意可知右焦点


F (c,0)
右准线
x


a
2


；左焦点
F (


c,0)
和左准线
x


a
2


c

c




变式：求椭圆
9x
2

y
2

81
方程的准线方程；

y
2

81

x
2

9



解：椭圆可化为标准方程为：


1
，故其准线方程为
y


a
2

c


27

2


4
















小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出



例 2、椭圆

x
2

25

y

2
1
上的点

M

到左准线的距离是








2.5
，求

M

到左焦点的距离为














.

16



变式：求
M
到右焦点的距离为

解：记椭圆的左右焦点分别为


.


F
1
, F
2

到左右准线的距离分别为

3


d
1
, d
2

由椭圆的第二定义可知：



| MF |

d

e

| MF
1
|


e


c

a

| MF
1
|




ed
1

3

5

2.5




1.5

| MF
1
|

1.5








d
1

5

又由椭的第一定义可知：

| MF
1
|

| MF
2

|

2a 10 | MF
2
| 8.5


另解：点 M 到左准线的距离是


2.5，所以点 M 到右准线的距离为







2
a
2

c




2.5









50


3





5

2




85

6

| MF
2

|

d
2


e


3

| MF
2

|

ed
2


85

6

8.5








5



小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用


例 1、 点 P 与定点 A（ 2， 0）的距离和它到定直线


解法一：设
P( x, y)
为所求轨迹上的任一点，则











x

8
的距离的比是

1： 2，求点 P 的轨迹；

y
2

8 |

1

由化简得




( x 2)
2

| x

x
2



y

2
1
，故


2

16


12

所的轨迹是椭圆。

Word 文档








.

解法二：因为定点


A （ 2 ， 0 ）所以
c 2
，定直线





x 8
所以

x


a
2


8
解得

a 4

，又因为


c





e




c

a

1
2

故所求的轨迹方程为

x
2


16

y
2

12

1














变式：点 P 与定点 A（ 2， 0）的距离和它到定直线

呢？


x


5
的距离的比是

1： 2，求点 P 的轨迹；

分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法来解






解 法 一 ： 设
P( x, y)
为 所 求 轨 迹 上 的 任 一 点 ， 则


2
(x

2)
2

| x 5 |

y
2

1

2

由 化 简 得






2



3x



6x 4 y

9

0
配方得


( x

1)
2

4

y
2

3

1

，故所的轨迹是椭圆，其中心在（


1，0 ）


解法二：因为定点


A（ 2， 0）所以
c 2
，定直线
x


8
所以

x


a
2

c



5
解得
a
2


10
，故所求


的轨迹方程为


x
2


y
2

6

1

x
2























10


2




问题

1：求出椭圆方程







y


1
和



( x

1)
2

4


y
2

3



1
的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心












4


3


率；


x
2

问题 2：求出椭圆方程


y
2

3


( x

1

和

1)
2

4

y
2

3


1
长轴顶点、焦点、准线方程；





4

y
2

3


解：因为把椭圆





x
2

4

1
向右平移一个单位即可以得到椭圆





( x 1)
2


y
2

3







1
所以问题

1

中

4






的所有问题均不变，均为


a


3,b


3, c


c

1, e

a

1

2











x
2


4



y
2

3


1
长轴顶点、焦点、准线方程分别为：


(

2,0)
，
(

1,0)
x


4
；


(x


1)
2



y
2



3


4

1
长轴顶点、焦点、准线方程分别为：


( 2

1,0)
，
(

1

1,0)
x



4 1
；




反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条件，

所以我们必须进行检验，








又因为
e


c

a

2

10

另一方面离心率就等于



1

2



这是两上矛盾的结果，

所



Word 文档









.

以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。

小结：以后有 涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求

轨迹方程的思路 ,但是这种方法计算量比较大；





解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例

的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。

例 4、设 AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以

A.相切



4 的关系

AB 为直径的圆必与椭圆的右准线（





）


B.相离


C.相交



D.相交或相切






分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？

解：设 AB 的中点为 M ，则 M 即为圆心，直径是

|AB|；记椭圆的右焦点为

F，右准线为
l
；

d
1

过点 A、B、 M 分别作出准线
l


d
2

2





的垂线，分别记为

d
1
, d
2
, d
由梯形的中位线可知

d


又由椭圆的第二定义可知


| AF

|

d
1


e

e
| BF |



e
即
| AF |

| BF |


e(d
1

d
2
)




d
2


又

| AB | | AF | | BF |


d
1

d
2


且
0


e 1


d

| AB |

2



故直线与圆相离


2


2


2


例 5 、已知点
M
为椭圆


x
2

y
2


25

16





1
的上任意一点，
















F
1

、
F
2

分别为左右焦点；且





































A(1,2)
求

| MA |


5
| MF
1

|
的最小值





3


分析：应如何把




5
3


| MF
1

|
表示出来





解：左准线
l

1

：
x


a
2



25

3

e


，作
MD


l
1

于点

D，记
d


| MD |


c


| MF
1

|

d


由第二定义可知：


c



3

5



?


故有
| MA |


5
3

a


| MF
1
|

d

?

5





3

d

5

3









| MF
1

|














| MF
1
| | MA | d | MA | | MD |


所以有当 A、 M、 D 三点共线时， |MA|+|MD|


有最小值：
1









25
3











即
| MA |


5


3

| MF
1
|
的最小值是


28



3












变式 1：
3 | MA |

5 | MF
1
|
的最小值；

解：
3 | MA |


5 | MF
1
|

3( | MA |



5
3

| MF
1

| )








3
28

3





28






变式 2：



3
5

















| MA | | MF
1
|
的最小值；











M


D







Word 文档


A

F





.













5

3

28

28

解：
| MA | | MF
1
|

(| MA |

| MF
1

|)

5

5

3

5

3

5

3

3

课堂练习


1．已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是

2．若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长是

答案： 1．

归纳小结：


2． 1 或 2



，则 到左焦点的距离为

．


．





















1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；

2．椭圆定义的简单运用；

课后作业






3．离心率的求法以及焦半径公式的应用；





1.例题 5 的两个变式；


圆的方程．


解：由椭圆方程可知

思考：

1．方程
2



2. 已知 ， 为椭圆 上的两点，

是椭圆的右焦点．若


， 的中点到椭圆左准线的距离是


，试确定椭


、两准线间距离为

．设 ， 到右准线距离分别为 ， ，由椭圆定义有

，所以 ，

， ，所求椭圆方程为 ．






则 ， 中点 到右准线距离为

，于是 到左准线距离为



( x 1)
2

( y

1)
2

| x y

2

2 |
表示什么曲线？


解：


(x 1)
| x

( y 1)
y 2 |

2

1）

2

2



2

2


1

；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数


2


（且该常数小于

方程表示椭圆


例Ⅱ、（ 06

高考

15）如图把椭圆的长轴

半部分于
P
1
, P
2

解法一：
e


AB 分成 8 等分，过每个等分点作

x
轴的垂线交椭圆的上

P
7

七个点，

F

是椭圆的一个焦点，则


3

，设
P
i

的横坐标为
x
i

，则
x
i

5


c 3

a

5

| P
7
F | 2 7


得
| P
i
F | e( x
i

| P
1
F |

| P
2
F |

| P
7
F |
=

c

a

e

5




5
4

i
不妨设其焦点为左焦点


由

| P
i
F |

d


a

2

) a ex
i

5

3

5



( 5

5

4



i ) 2i

3

4

| P
1
F | | P
2
F |








3
4

c

(1 2


7) 35


Word 文档










.

解 法 二 ： 由 题 意 可 知
P
1

和
P
7

关 于

y

轴 对 称 ， 又 由 椭 圆 的 对 称 性 及 其 第 一 定 义 可 知

| P
1
F | | P
7
F | 2a
，同理可知
| P
2
F

| | P
6
F | 2a
，
| P
3
F |

故
| P
1
F | | P
2
F |

板书设计：

复习回顾

引入课题

问题：

推广：

椭圆第二定义


| P
5
F | 2a
，
| P
4
F | a

| P
7
F | 7a


35



典型例题

1． 2． 3． 4． 5．


课堂练习：

课堂小结：

课后作业：







思考：

2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用




定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。


性质一：已知椭圆方程为


x
2

a
2

y

b

2
2
1(a b




0),
两焦点分别为

F
1
, F
2
,
设焦点三角形

PF
1
F
2

中






















F
1
PF
2


,
则
S
F PF

1


2



2



b
2
tan

。



2


2 2












(2c)
2

( PF
1



F
1
F
2

PF
1

PF
2


2 PF
1
PF
2
cos




PF
2
)
2

2 PF
1
PF
2

(1

cos )

( PF
1





PF
2
)
2

4c
2

)







4a
2

4c
2


2b
2


1











PF
1

PF
2


2(1

cos

PF
1
PF
2

sin



2(1

cos

)

b
2
tan



cos



S

F PF
1

2

1

2


b
2


sin


1

cos

y
2


b
2












2




性质二：已知椭圆方程为





x
2


a
2



1(a

b 0),
左右两焦点分别为


F
1
, F
2
,
设焦点三角形


PF
1
F
2

，若

F
1
PF
2

最大，则点

P

为椭圆短轴的端点。


证明：设
P(x
o
, y
o
)
,由焦半径公式可知：




PF
1

2
a

ex
o

，
PF
1

( PF
1


a

ex
o



2

2
在
F
1
PF
2

中，
cos










PF
1











PF
1


F
1
F
2


2 PF
1
PF
2





PF
2
)
2

2 PF
1
PF
2
4c
2



2 PF
1

PF
2


1
=


a
2

2b
2

e
2
x
o
2


1



4a
2

4c
2

1



4b
2


2 PF
1

PF
2


2(a

ex
o
)(a

ex
o
)


Word 文档








.

a

x
0
a


x
o
2

a
2


x
2

y
2



性质三 ：已知椭圆方程为





a
1


2
b
2
1(a


b


0),
两焦点分别为



F
1
, F
2
,
设焦点三角形

PF
1
F
2

中



F
1
PF
2

,
则
cos

2e
2
.


证明 ：设
PF
1



r
1
, PF
2


r
2
,
则在

F
1
PF
2

中，由余弦定理得：









r
1
2

cos



2

2

r
2

F
1
F
2


(r
1

r
2
)


2

2r
1
r
2



4c
2

2a
2

2c


2

2r
1
r
2









2r
1
r
2

2c
2


1





2r
1
r
2

1









2a
2

2c
2



2(
r
1


r
2

1

2a
2




)

2



2a
2


1 2e
2
.



命题得证。
















2


（ 2000 年高考题）已知椭圆


x

a

2
2
y
2


b
2



1(a


b


0)
的两焦点分别为


F
1
, F
2
,
若椭圆上存在一点


P,
使得

F
1
PF
2


120
0
,
求椭圆的离心率

e
的取值围。






简解 ：由椭圆焦点三角形性质可知



cos120
0

1

2e
2
.
即

1

1

2e
2







,





于是得到
e
的取值围是


3
2

y
2












2




,1 .


性质四：已知椭圆方程为




x
2

a
2


b
2
1(a


b


0),
两焦点分别为





F
1
, F
2
,
设焦点三角形

PF
1
F
2

，














PF
1
F
2


,


PF
2
F
1



,
则椭圆的离心率
e


sin(

sin


)

sin




。


PF
1
F
2

,

PF
2
F
1



,





由正弦定理得：


F
1
F
2

o



PF
2


)

sin


PF
2


PF
1


sin














sin(180
F
1
F
2



由等比定理得：



PF
1

sin


，
















sin(




)



sin

PF
2

sin


而







F
1
F
2

sin(

)

2c



PF
1




2a





∴
e

c

a

sin(

sin

sin

)

。

sin(


)

sin


sin

sin


Word 文档





.

已知椭圆的焦点是
F
1
(－

1，

0)、
F
2
(1，

0)，
P
为椭圆上一点，且｜

等差中项．

(1)求椭圆的方程；











2

F
1
F
2
｜是｜
PF
1
｜和｜
PF
2
｜的






(2)若点
P
在第三象限，且∠

1

2

解： (1)由题设 2｜
F F
｜＝｜
PF
｜＋｜
PF
｜

1

PF
1
F
2
＝

120°，求tan
F
1
PF
2

．


∴2
a
＝４，又 2
c
＝ 2，∴
b
＝
3



∴椭圆的方程为

x
2

4

y
2

3

＝1 ．


(2)设∠
F
1
PF
2
＝
θ
，则∠
PF
2
F
1
＝ 60 °－
θ

椭圆的离心率
e


1

2


则

1


sin(180
o


)


)




sin

3

sin(60
o

2


，

2

sin120
o


sin(60
o


)



整理得： 5sin
θ
＝



3
(1＋

cos
θ
)



F PF




∴

sin

1

cos


3
故

tan

2

5



3

， tan
5


1 2

＝ tan

＝


5


1

3


2

3


11


5 3
．








25


2.3 双曲线



2．2．1


双曲线及其标准方程

◆

知识与技能目标


理解双曲线的概念，掌握双曲线的 定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方
程的推导过程及化简无理方程的常用的方法； 了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》


的制作或操作方法




．

◆

过程与方法目标

（ 1）预习与引入过程

预习教科书 56 页至 60 页，当变化的平面与圆锥 轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截
口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变 化的？特别是当截面与圆锥的轴线















或平行时，截 口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此
时的截口曲线是双曲 线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生

把上述两个问题回答清楚后，

弹性的细绳子两条（一条约

枝，教师准备无弹性细绳子两条

要引导学生一起思考与探究

P
56
页上的问题 （同桌的两位同学准备无

10cm 长，另一条约 6cm 每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一

（一条约 20cm ，另一条约

12cm ，一端结个套， 另一端是活动的） ，

把绳子的另一端重合在一起，

拉紧绳子， 移动

图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，

笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的

几何条件是什么？〖板书〗§

2．2 ． 1 双曲线及其标准方程．

（ 2）新课讲授过程

Word 文档