数学专业留学最新人教版高中数学《圆锥曲线和方程》全部教案

2020年11月20日发(作者：杜殿武)





人教版高中数学《圆
锥曲线和方程》全部
教案

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椭圆及其标准方程


一、教学目标

(
一)知识教学点
使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．

(
二)能力训练点
通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力 ，增强运用坐标法
解决几何问题的能力．

(
三)学科渗透点
通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．

二、教材分析

1
．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆
的标准方程单独列出加以比 较．)
2
．难点：椭圆的标准方程的推导．
(
解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．)
3
．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．
(
解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)
三、活动设计

提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．

四、教学过程

(
一)椭圆概念的引入
前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：

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问题
1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个
步骤必不可 少？
对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，
在已 有知识基础上去探求新知识．



提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．

问题
3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的
探索？ < br>一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的
轨迹命题如：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”

教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．

比如说，若同学们提出了“到两定点距 离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹
是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的
F
1
和F
2
两 点(如图2-13)，
当绳长大于F
1
和F
2
的距离时，用铅笔尖把 绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移
动，就可以画出一个椭圆．
教师进一步追问：“椭圆，在哪 些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观
图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……< br>

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

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平面内到两定点
F
1
、F
2
的距离之和等于常数(大于|F
1
F
2
|)的点的轨迹叫做椭
圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦 点的距离叫做焦距．
学生开始只强调主要几何特征——到两定点
F
1
、F< br>2
的距离之和等于常数、教师
在演示中要从两个方面加以强调：
(1)
将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使
学生认识到需加限制条件：“在 平面内”．
(2)
这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数
= |F
1
F
2
|，则是线段F
1
F
2
；若常 数＜|F
1
F
2
|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，
还必须加上限 制条件：“此常数大于|F
1
F
2
|”．
(
二)椭圆标准方程的推导
1
．标准方程的推导
由椭圆的定义， 可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无
所知，所以需要用坐标法先建立椭圆 的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：
(1)建系设点 ；(2)点
的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．
(1)
建系设点 < br>建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量
(距离、直
线斜率 等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选
取方法是恰当的．
以 两定点
F
1
、F
2
的直线为x轴，线段F
1
F2
的垂直平分线为y轴，建立直角
坐标系(如图2-14)．设|F
1
F
2
|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有
F
1
(-1，0)，F
2
(c，0)．

(2)
点的集合
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由定义不难得出椭圆集合为：

P={M||MF
1
|+|MF
2
|=2a｝．
(3)
代数方程


(4)
化简方程
化简方程 可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教
师巡视，适当给予提示：
①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题
3说
明 ．整理后，再平方得(a
2
-c
2
)x
2
+a
2< br>y
2
=a
2
(a
2
-c
2
)
②为使方程对称和谐而引入
b，同时b还有几何意义，下节课还要

(a
＞b＞0)．
关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．


示的 椭圆的焦点在
x轴上，焦点是F
1
(-c，0)、F
2
(c，0)． 这里c
2
=a
2
-b
2
．
2
．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)
、F
2
(c，0)，这里c
2
=a
2
-b
2
；
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-c)
、F
2
(0，c)，这里c
2
=a
2
+b
2
，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．
教师指出：在两种 标准方程中，∵
a
2
＞b
2
，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
(
三)例题与练习
例题
平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的
轨迹的方程．
分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．

解 ：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用
F
1
、F
2
表示．取过 点F
1
和F
2
的
直线为x轴，线段F
1
F
2
的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
∵
2a=10，2c=8．
∴
a=5，c=4，b
2
=a
2
-c
2
=5
2
-4
5
=9．∴b=3
因此，这个椭圆的标准方程是


请大家再想一想，焦点
F
1
、F
2
放在y轴上，线段F1
F
2
的垂直平分

练习
1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

练习
2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是
[ ]
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由学生口答，答案为
D．
(
四)小结
1< br>．定义：椭圆是平面内与两定点F
1
、F
2
的距离的和等于常数(大于 |F
1
F
2
|)
的点的轨迹．

3
．图形如图2-15、2-16．

4
．焦点：F
1< br>(-c，0)，F
2
(c，0)．F
1
(0，-c)，F
2< br>(0，c)．
五、布置作业

1
．如图2-17，在椭圆上的点中， A
1
与焦点F
1
的距离最小，|A
1
F
1
|=2，A
2

F
1
的距离最大，|A
2
F
1
|=14，求椭圆的标准方程．

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3
．求适合下列条件的椭圆的标准方程：



是过F
1
的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF
2
的周长．
作业答案：



4
．由椭圆定义易得，△ABF
2
的周长为4a．
六、板书设计

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椭圆及其标准方程


一、教学目标

(
一)知识教学点
使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．

(
二)能力训练点
通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力 ，增强运用坐标法
解决几何问题的能力．

(
三)学科渗透点
通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．

二、教材分析

1
．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆
的标准方程单独列出加以比 较．)
2
．难点：椭圆的标准方程的推导．
(
解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．)
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3
．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．
(
解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)
三、活动设计

提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．

四、教学过程

(
一)椭圆概念的引入
前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：

问题
1：什么叫做 曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个
步骤必不可少？
对上述问题学生的回 答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，
在已有知识基础上去探求新知识．



提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．

问题
3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的
探索？ < br>一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的
轨迹命题如：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”

“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”

教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．

比如说，若同学们提出了“到两定点距 离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹
是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：

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取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的
F
1
和F
2两点(如图2-13)，
当绳长大于F
1
和F
2
的距离时，用铅 笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移
动，就可以画出一个椭圆．
教师进一步追问：“椭圆 ，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观
图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等 ……


在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点
F
1
、F
2
的距离之和等于常数(大于|F
1
F< br>2
|)的点的轨迹叫做椭
圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距． < br>学生开始只强调主要几何特征——到两定点
F
1
、F
2
的距离 之和等于常数、教师
在演示中要从两个方面加以强调：
(1)
将穿有铅笔的细线拉到 图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使
学生认识到需加限制条件：“在平面内”．
( 2)
这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数
=|F
1
F
2
|，则是线段F
1
F
2
；若常数＜|F
1F
2
|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，
还必须加上限制条件：“此常数大于| F
1
F
2
|”．
(
二)椭圆标准方程的推导
1
．标准方程的推导
由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪 些性质，我们还一无
所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方 程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：
(1)建系设点；(2)点
的集合；(3)代数方程； (4)化简方程等步骤．
(1)
建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如 使关键点的坐标、关键几何量
(距离、直
线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称 性，使学生认识到下列选
取方法是恰当的．
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以两定点
F
1
、 F
2
的直线为x轴，线段F
1
F
2
的垂直平分线为y轴，建 立直角
坐标系(如图2-14)．设|F
1
F
2
|=2c(c＞0) ，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有
F
1
(-1，0)，F
2
( c，0)．

(2)
点的集合
由定义不难得出椭圆集合为：

P={M||MF
1
|+|MF
2
|=2a｝．
(3)
代数方程


(4)
化简方程
化简方程 可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教
师巡视，适当给予提示：
①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题
3说
明 ．整理后，再平方得(a
2
-c
2
)x
2
+a
2< br>y
2
=a
2
(a
2
-c
2
)
②为使方程对称和谐而引入
b，同时b还有几何意义，下节课还要

(a
＞b＞0)．
关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

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示的椭圆的焦点在
x轴上，焦点是F
1
(-c，0)、F
2
(c，0)．这里c
2
=a
2
-b
2
．
2
．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)
、F
2
(c，0)，这里c
2
=a
2
-b
2
；

-c)
、F
2
(0，c)，这里c
2
=a
2
+b
2
，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．
教师指出：在两种标准方程中 ，∵
a
2
＞b
2
，∴可以根据分母的大小来判定焦点
在哪一 个坐标轴上．
(
三)例题与练习
例题
平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的
轨迹的方程．
分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．

解 ：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用
F
1
、F
2
表示．取过 点F
1
和F
2
的
直线为x轴，线段F
1
F
2
的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
∵
2a=10，2c=8．
∴
a=5，c=4，b
2
=a
2
-c
2
=5
2
-4
5
=9．∴b=3
因此，这个椭圆的标准方程是


请大家再想一想，焦点
F
1
、F
2
放在y轴上，线段F1
F
2
的垂直平分
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练习
1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

练习
2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是
[ ]


由学生口答，答案为
D．
(
四)小结
1
．定 义：椭圆是平面内与两定点F
1
、F
2
的距离的和等于常数(大于|F
1
F
2
|)
的点的轨迹．

3
．图形如图2-15、2-16．
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4
．焦点：F
1
(-c，0)，F
2
(c，0)．F
1
(0，-c)，F
2
(0，c)．
五、布置作业

1
．如图2-17，在椭圆上的点 中，A
1
与焦点F
1
的距离最小，|A
1
F
1|=2，A
2

F
1
的距离最大，|A
2
F< br>1
|=14，求椭圆的标准方程．


3
．求适合下列条件的椭圆的标准方程：



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是过
F
1
的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF
2
的周长 ．
作业答案：



4
．由椭圆定义易得，△ABF
2
的周长为4a．
六、板书设计



椭圆的几何性质


一、教学目标

(
一)知识教学点
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通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，
并了解椭圆 的一些实际应用．

(
二)能力训练点
通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．

(
三)学科渗透点
使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系 中曲线与方程的关
系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．

二、教材分析

1
．重点：椭圆的几何性质及初步运用．
(
解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．)
2
．难点：椭圆离心率的概念的理解．
(
解决办法：先介绍椭圆离心率的定 义，再分析离心率的大小对椭圆形状的
影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．) < br>3
．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，
即不随坐标系 的改变而改变．
(
解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)
三、活动设计

提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．

四、教学过程

(
一)复习提问
1
．椭圆的定义是什么？
2
．椭圆的标准方程是什么？
学生口述，教师板书．

(
二)几何性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是

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b
＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是
与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．
1
．范围

即
|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形
里(图2-18) ．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的
点．
2
．对称性
先请大家阅读课本椭圆的几何性质
2．
设问：为什么“把
x换成-x，或把 y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y
时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的 ” 呢？

事实上，在曲线的方程里，如果把
x换成-x而方程不变，那么当点P( x，y)在
曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对
称．类似可以证明其他两个命题．
同时向学生指出：如果曲线具有关于
y轴对称、关于x轴对 称和关于原点对称
中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对
称，那么它一定关于y轴对称．
事实上，设
P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称， 所以点P
1
(x，-y)
必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P
1< br>关于原点对称点P
2
(-x，y)必
在曲线上．因P(x，y)、P
2
(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．
最后指出：
x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中
心．
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3
．顶点

只须令
x=0，得y=±b，点B
1
(0，-b)、B
2
(0，b)是椭圆和y轴的两个交
点；令y=0，得x=±a，点 A
1
(-a，0)、A
2
(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强
调 指出：椭圆有四个顶点A
1
(-a，0)、A
2
(a，0)、B
1< br>(0，-b)、B
2
(0，b)．
教师还需指出：

(1)
线段A
1
A
2
、线段B
1
B
2
分 别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a
和2b；
(2)a
、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；
这时，教师可以小结 以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描
出较少的点，就可以得到较正确的图形．

4
．离心率
教师直接给出椭圆的离心率的定义：


等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率
e的几何意义．
先分析椭圆的离心率
e的取值范围：
∵
a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．
再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：


(2)
当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；
(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x
2
+y
2
=a
2
，图形
就是圆了．
(
三)应用
为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例
1．
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例
1 求椭圆16x
2
+25y
2
=400的长轴和短轴 的长、离心率、焦点和顶点的
坐标，并用描点法画出它的图形．
本例前一部分请一个同学板演 ，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲
解，以引起学生重视，步骤是：



(2)
描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性
就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．

< br>本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备
的，同时再一次 使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：

设
d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M

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将上式化简，得：
(a
2
-c
2
)x
2
+a
2
y
2
=a
2
(a
2
-c< br>2
)．

这是椭圆的标准方程，所以点
M的轨迹是椭圆．
由此例不难归纳出椭圆的第二定义．

(
四)椭圆的第二定义
1
．定义
平面内点
M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数

线叫做椭圆的准线，常数
e是椭圆的离心率．
2
．说明


这时还要讲清
e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离
的比．
(
五)小结
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解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐 标系选取不同，方
程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着 重
分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置
学生 最后小结下列表格：


五、布置作业

1
．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、
准线方程：
(1)25x
2
+4y
2
-100=0，
(2)x
2
+4y
2
-1=0．
2
．我国发射的 科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦
点的椭圆，近地点距地面266Km，远地点 距地面1826Km，求这颗卫星的轨道方
程．
3
．点P与一定点F(2，0)的距 离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，
求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

的方程．

作业答案：

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4
．顶点(0，2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情
况求方程：

六、板书设计



椭圆的几何性质
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一、教学目标

(
一)知识教学点
通过椭 圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，
并了解椭圆的一些实际应用 ．

(
二)能力训练点
通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．

(
三)学科渗透点
使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系 中曲线与方程的关
系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．

二、教材分析

1
．重点：椭圆的几何性质及初步运用．
(
解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．)
2
．难点：椭圆离心率的概念的理解．
(
解决办法：先介绍椭圆离心率的定 义，再分析离心率的大小对椭圆形状的
影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．) < br>3
．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，
即不随坐标系 的改变而改变．
(
解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)
三、活动设计

提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．

四、教学过程

(
一)复习提问
1
．椭圆的定义是什么？
2
．椭圆的标准方程是什么？
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学生口述，教师板书．

(
二)几何性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是


b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是
与坐标系选择无关，即不 随坐标系的改变而改变．
1
．范围

即
|x|≤a，|y|≤b ，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形
里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指 出描点画图时，就不能取范围以外的
点．
2
．对称性
先请大家阅读课本椭圆的几何性质
2．
设问：为什么“把
x换成-x，或把 y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y
时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的 ” 呢？

事实上，在曲线的方程里，如果把
x换成-x而方程不变，那么当点P( x，y)在
曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对
称．类似可以证明其他两个命题．
同时向学生指出：如果曲线具有关于
y轴对称、关于x轴对 称和关于原点对称
中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对
称，那么它一定关于y轴对称．
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事实上，设
P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对 称，所以点P
1
(x，-y)
必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P
1
关于原点对称点P
2
(-x，y)必
在曲线上．因P(x，y)、P
2
(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．
最后指出：
x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中
心．
3
．顶点

只须令
x=0，得y=±b，点B
1
(0，-b)、B
2
(0，b)是椭圆和y轴的两个交
点；令y=0，得x=±a，点 A
1
(-a，0)、A
2
(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强
调 指出：椭圆有四个顶点A
1
(-a，0)、A
2
(a，0)、B
1< br>(0，-b)、B
2
(0，b)．
教师还需指出：

(1)
线段A
1
A
2
、线段B
1
B
2
分 别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a
和2b；
(2)a
、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；
这时，教师可以小结 以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描
出较少的点，就可以得到较正确的图形．

4
．离心率
教师直接给出椭圆的离心率的定义：


等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率
e的几何意义．
先分析椭圆的离心率
e的取值范围：
∵
a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．
再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：


(2)
当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；
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(3)
当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x
2
+ y
2
=a
2
，图形
就是圆了．
(
三)应用
为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例
1．
例
1 求椭圆16x
2
+25y
2
=400的长轴和短轴 的长、离心率、焦点和顶点的
坐标，并用描点法画出它的图形．
本例前一部分请一个同学板演 ，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲
解，以引起学生重视，步骤是：



(2)
描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性
就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．

< br>本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备
的，同时再一次 使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：

设
d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M
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将上式化简，得：
(a
2
-c
2
)x
2
+a
2
y
2
=a
2
(a
2-c
2
)．

这是椭圆的标准方程，所以点
M的轨迹是椭圆．
由此例不难归纳出椭圆的第二定义．

(
四)椭圆的第二定义
1
．定义
平面内点
M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数

线叫做椭圆的准线，常数
e是椭圆的离心率．
2
．说明


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这时还要讲清
e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离
的比．
(
五)小结
解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选 取不同，方
程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置
学生最后小 结下列表格：


五、布置作业

1
．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、
准线方程：
(1)25x
2
+4y
2
-100=0，
(2)x
2
+4y
2
-1=0．
2
．我国发射的 科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦
点的椭圆，近地点距地面266Km，远地点 距地面1826Km，求这颗卫星的轨道方
程．
3
．点P与一定点F(2，0)的距 离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，
求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

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的方程．

作业答案：




4
．顶点(0，2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情
况求方程：

六、板书设计


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双曲线及其标准方程


一、教学目标

(
一)知识教学点
使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．

(
二)能力训练点
在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．

(
三)学科渗透点
本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学 生得到关于双曲线
的定义、标准方程一个比较深刻的认识．

二、教材分析

1
．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．
(
解决办法：通过一个简单 实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定
义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．)
2
．难点：双曲线的标准方程的推导．
(
解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．)
3
．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？
(
解决办法：教师可以从引导 学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，
同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可 以转化为函数式．)
三、活动设计

提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结．

四、教学过程

(
一)复习提问
1
．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)
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平面内与两定点
F
1
、F
2
的距离的和等于常数(大于|F
1
F
2
|)的点的轨迹叫做椭
圆．教师要强调条件：(1)平面内； (2)到两定点F
1
、F
2
的距离的和等于常数；
(3)常数2a＞ |F
1
F
2
|．
2
．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)

(
二)双曲线的概念
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹 会怎样？它的方程是
怎样的呢？

1
．简单实验(边演示、边说明)
如图
2-23，定点F
1
、F
2
是两个按钉，MN是一个细套管， 两条细绳分别拴在
按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF
1
|-|MF
2< br>|是常数，这样就画出曲线的一
支；由|MF
2
|-|MF
1
|是同一常数，可以画出另一支．

注意：常数要小于
|F
1
F< br>2
|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲
线．
2
．设问
问题
1：定点F
1
、F
2
与动点M不在平面上，能否得到双 曲线？
请学生回答，不能．强调“在平面内”．

问题
2：|MF
1
|与|MF
2
|哪个大？
请学 生回答，不定：当
M在双曲线右支上时，|MF
1
|＞|MF
2
|； 当点M在双曲线
左支上时，|MF
1
|＜|MF
2
|．
问 题
3：点M与定点F
1
、F
2
距离的差是否就是|MF
1< br>|-|MF
2
|？
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请学生回答，不一定，也可以是
| MF
2
|-|MF
1
|．正确表示为||MF
2
|-|MF
1
||．
问题
4：这个常数是否会大于等于|F
1
F
2
|？
请学生回答，应小于
|F
1
F
2
|且大于零．当常数=|F
1
F
2
|时，轨迹是以F
1
、F
2
为
端 点的两条射线；当常数＞|F
1
F
2
|时，无轨迹．
3
．定义
在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内与 两定点
F
1
、F
2
的距离的差的绝对值是常数(小于|F
1
F
2
|)的点的轨迹
叫做双曲线．这两个定点F
1
、F2
叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做
焦距．
教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．

(
三)双曲线的标准方程
现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方 法来求双曲线的方程．这
时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生 思考，随
即引导学生给出双曲线的方程的推导．

标准方程的推导：

(1)
建系设点
取过焦点
F
1
、F
2
的 直线为x轴，线段F
1
F
2
的垂直平分线为y轴(如图2-24)

建立直角坐标系．

设
M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2 c(c＞0)，那么F
1
、F
2
的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又 设点M与F
1
、F
2
的距离的差的绝对值等于
常数．
(2)
点的集合
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由定义可知，双曲线就是集合：

P={M|| MF
1
|-|MF
2
||=2a}={M|MF
1
|-|M F
2
|=±2a}．
(3)
代数方程

(4)
化简方程(由学生演板)
将这个方程移项，两边平方得：


化简得：


两边再平方，整理得：

(c
2-a
2
)x
2
-a
2
y
2
=a
2
(c
2
-a
2
)．
(
以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义，
2c＞2a 即c＞a，所以c
2
-a
2
＞0．
设
c
2
-a
2
=b
2
(b＞0)，代入上式得：
b
2
x
2
-a
2
y
2
=a
2
b
2．

这就是双曲线的标准方程．

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两种标准方程的比较
(引导学生归纳)：


教师指出：

(1)
双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)
如 果x
2
项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y
2
项的系数是正
的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪
一坐标轴上．
( 3)
双曲线标准方程中a、b、c的关系是c
2
=a
2
+b
2
，不同于椭圆方程中
c
2
=a
2
-b
2
．
(
四)练习与例题
1
．求满足下列的双曲线的标准方程：
焦点
F
1
(-3，0)、F
2
(3，0)，且2a=4；



3
．已知两点F
1
(-5，0)、F
2
(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的
点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为 12，其他条件不变，会出现什么情
况？
由教师讲解：

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按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为
c=5，a=3，所以b
2
=c
2
-a
2
=5
2
-3
2
=4
2
．

因为
2a=12，2c=10，且2a＞2c．
所以动点无轨迹．

(
五)小结
1
．定义：平面内与两定 点F
1
、F
2
的距离的差的绝对值等于常数(小于
|F
1< br>F
2
|)的点的轨迹．

3
．图形(见图2-25)：

4
．焦点：F
1
(-c，0)、F
2
(c，0) ；F
1
(0，-c)、F
2
(0，c)．
5
．a、b、c 的关系：c
2
=a
2
+b
2
；c=a
2
+ b
2
．
五、布置作业

1
．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)
焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；
< br>3
．已知圆锥曲线的方程为mx
2
+ny
2
=m+n(m＜0 ＜m+n)，求其焦点坐标．
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作业答案：


2
．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1



六、板书设计

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双曲线及其标准方程


一、教学目标

(
一)知识教学点
使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．

(
二)能力训练点
在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．

(
三)学科渗透点
本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学 生得到关于双曲线
的定义、标准方程一个比较深刻的认识．

二、教材分析

1
．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．
(
解决办法：通过一个简单 实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定
义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．)
2
．难点：双曲线的标准方程的推导．
(
解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．)
3
．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？
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(
解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，
同时让学生 在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．)
三、活动设计

提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结．

四、教学过程

(
一)复习提问
1
．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)
平面内与两定点
F
1
、F
2
的距离的和等于常数(大于|F
1
F
2
|)的点的轨迹叫做椭
圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F
1
、F
2
的距离的和等于常数；
(3)常数2a＞|F
1
F
2|．
2
．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)

(
二)双曲线的概念
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹 会怎样？它的方程是
怎样的呢？

1
．简单实验(边演示、边说明)
如图
2-23，定点F
1
、F
2
是两个按钉，MN是一个细套管， 两条细绳分别拴在
按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF
1
|-|MF
2< br>|是常数，这样就画出曲线的一
支；由|MF
2
|-|MF
1
|是同一常数，可以画出另一支．

注意：常数要小于
|F
1
F< br>2
|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲
线．
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2
．设问
问题
1：定点F
1
、F
2
与动 点M不在平面上，能否得到双曲线？
请学生回答，不能．强调“在平面内”．

问题
2：|MF
1
|与|MF
2
|哪个大？
请学 生回答，不定：当
M在双曲线右支上时，|MF
1
|＞|MF
2
|； 当点M在双曲线
左支上时，|MF
1
|＜|MF
2
|．
问 题
3：点M与定点F
1
、F
2
距离的差是否就是|MF
1< br>|-|MF
2
|？
请学生回答，不一定，也可以是
|MF
2
|-|MF
1
|．正确表示为||MF
2
|-|MF
1||．
问题
4：这个常数是否会大于等于|F
1
F
2
|？
请学生回答，应小于
|F
1
F
2
|且大于零．当常数=|F
1
F
2
|时，轨迹是以F
1
、F
2
为
端 点的两条射线；当常数＞|F
1
F
2
|时，无轨迹．
3
．定义
在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内与 两定点
F
1
、F
2
的距离的差的绝对值是常数(小于|F
1
F
2
|)的点的轨迹
叫做双曲线．这两个定点F
1
、F2
叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做
焦距．
教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．

(
三)双曲线的标准方程
现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方 法来求双曲线的方程．这
时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生 思考，随
即引导学生给出双曲线的方程的推导．

标准方程的推导：

(1)
建系设点
取过焦点
F
1
、F
2
的 直线为x轴，线段F
1
F
2
的垂直平分线为y轴(如图2-24)
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建立直角坐标系．

设
M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线 的焦距是2c(c＞0)，那么F
1
、F
2
的坐标分别是(-c，0)、(c ，0)．又设点M与F
1
、F
2
的距离的差的绝对值等于
常数．
(2)
点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：

P={M||M F
1
|-|MF
2
||=2a}={M|MF
1
|-|MF
2
|=±2a}．
(3)
代数方程

(4)
化简方程(由学生演板)
将这个方程移项，两边平方得：


化简得：


两边再平方，整理得：

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(c
2
-a
2
)x
2
-a
2
y< br>2
=a
2
(c
2
-a
2
)．
(
以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义，
2c＞2a 即c＞a，所以c
2
-a
2
＞0．
设
c
2
-a
2
=b
2
(b＞0)，代入上式得：
b
2
x
2
-a
2
y
2
=a
2
b
2．

这就是双曲线的标准方程．

两种标准方程的比较
(引导学生归纳)：


教师指出：

(1)
双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)
如 果x
2
项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y
2
项的系数是正
的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪
一坐标轴上．
( 3)
双曲线标准方程中a、b、c的关系是c
2
=a
2
+b
2
，不同于椭圆方程中
c
2
=a
2
-b
2
．
(
四)练习与例题
1
．求满足下列的双曲线的标准方程：
焦点
F
1
(-3，0)、F
2
(3，0)，且2a=4；
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3
．已知两点F
1
(-5，0)、F
2
(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的
点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为 12，其他条件不变，会出现什么情
况？
由教师讲解：

按定义，所求点的 轨迹是双曲线，因为
c=5，a=3，所以b
2
=c
2
-a
2
=5
2
-3
2
=4
2
．

因为
2a=12，2c=10，且2a＞2c．
所以动点无轨迹．

(
五)小结
1
．定义：平面内与两定点F
1
、F
2
的距离的差的绝对值等于常数(小于
|F
1
F
2
|)的点 的轨迹．

3
．图形(见图2-25)：
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4
．焦点：F
1
(-c，0)、F
2
(c，0) ；F
1
(0，-c)、F
2
(0，c)．
5
．a、b、c 的关系：c
2
=a
2
+b
2
；c=a
2
+ b
2
．
五、布置作业

1
．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)
焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；
< br>3
．已知圆锥曲线的方程为mx
2
+ny
2
=m+n(m＜0 ＜m+n)，求其焦点坐标．
作业答案：

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2
．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1



六、板书设计

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双曲线的几何性质


一、教学目标

(
一)知识教学点
使学生理解并掌握双 曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性
质，并能具体估计双曲线的形状特征．< br>
(
二)能力训练点
在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能
力．

(
三)学科渗透点
使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角 坐标系中曲线与方
程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题．

二、教材分析

1
．重点：双曲线的几何性质及初步运用．
(
解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证
明．)
2
．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．
(
解决办法：先引导学生观 察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条
对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线． )
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3
．疑点：双曲线的渐近线的证明．
(
解决办法：通过详细讲解．)
三、活动设计

提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结．

四、教学过程

(
一)复习提问引入新课
1
．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？
请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．

2
．双曲线的两种标准方程是什么？
再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在
x轴上的双曲线的标

下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．

(
二)类比联想得出性质(性质1～3)
引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的 表格
(让学生回答，教师引导、启
发、订正并板书)．<见下页>
(
三)问题之中导出渐近线(性质4)
在学习椭圆时，以原点为中心，
2a、2b为邻边的矩形，对于估计

仍以 原点为中心，
2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩
形有什么关系？这 个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意
义？这些问题不要求学生回答，只引起学 生类比联想．
接着再提出问题：当
a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？
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下面，我们来证明它：


双曲线在第一象限的部分可写成：



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当
x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大 ，|MN|接近于零，|MQ|也接近
于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接 近于射线
ON．
在其他象限内也可以证明类似的情况．


现在来 看看实轴在
y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴
上的双曲线方程是由焦点在 x轴上的双曲线方程，将x、y字
母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将
x、y字



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这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精


再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．

(
四)顺其自然介绍离心率(性质5)
由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的 直观意义也就容易掌握了，为此，介绍
一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：




变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．

这时，教师指出： 焦点在
y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的
几何性质与坐标系的选择无关，即不 随坐标系的改变而改变．
(
五)练习与例题
1
．求双曲线9y
2
-16x
2
=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、
渐近线方程 ．
请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正．


由此可知，实半轴长
a=4，虚半轴长b=3．

焦点坐标是
(0，-5)，(0，5)．
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