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人生不满百:有关映射个数问题的求法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-20 22:54
tags:映射个数公式

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2020年11月20日发(作者:缪鸣埙)
有关映射个数问题的求法
田尚俊
摘要:有关映射计数问题频频出现在各类试题中, 多以选择题或填空题的形式出
现。本文介绍了有关映射个数问题的求法。
关键词:映射;求法;问题
作者简介:田尚俊,任教于河南濮阳市职业中专。
近年来有关映射计数问题频频出现在各类试题中,多以选择题或填空题的形式
出现。其解题的关键在于映 射定义,欲得从A到B的一个映射即完成“A中每个
元素在B中均有唯一元素与之对应”一事。显然完成 这种有特定对应关系的“事”,
就要用分类计数原理和分步计数原理。
一、一般型映射的计数问题
这类问题是指课本中介绍的映射知识,这类问题常涉及求元素个数、 集合个数、
映射个数等,较简单的可用枚举法、图表法、分类讨论法,适当时要借助于排列
组合 的知识。
例1 已知映射:A→B,其中,集合A={-3,-2.-1,1,2,3,4},< br>集合B中的元素都是A中元素在映射下的象,且对任意的a∈A,在B中和它对
应的元素是|a| ,则集合B中元素的个数是( )
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
解:本题题意叙述虽长,但转换成图表语言, 则非常简洁。如右图,即可
选(A)。





例2集合A含有5个元素,B含3个元素.
⑴ 若从A到B可有多少个不同映射?
⑵ 若从B到A可有多少个不同映射?
分 析:⑴要建立一个从A到B的映射,必须使A中的任意一个元素在B中都
有唯一的象,一般要分步考虑; ⑵同理可解决B到A的映射。
解:⑴ A中的任一元素去选择象都有3种方法 ,且要完成一个 映射应该使A
中的每一个元素都能找到唯一的象,由分步计数原理知:共有3×3×3×3×3=35< br>=243个。
⑵同理可得从B到A可有53=125个不同映射。
评注:一般地,对于集合A中有n个元素,B中有m个元素,则可建立A到
B的映射mn个映射。
二、特殊型映射的计数问题
这类问题是指特殊的映射即满射、单射、一一映射、函数等的计数问题。
例3 我们称映射 f:A→B为一个“满射”,如果集合B中任意一个元素都有原
象的话,已知集合A中含有4个元素,B 中含有3个元素,则这样不同满射的
个数为( )
(A) 24 (B) 81 (C) 64 (D) 36
解:由题意可知,A中必有两个元素的象 是B中的一个元素,而A中的另两
个元素与B中的另两个元素分别对应,因此,从A到B可确定的满射个 数为·=
36,故应选(D)。
例4 我们称映射:f:A→B为一个“一一映射 ”,如果对于A中不同的元素,
在B中都有不同的元素与之对应,而且,对于B中的任何一个元素都有原 象存
在的话。已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c,d},设集合A到B的不同
映射的个数为m,从集合A到B的不同的一一映射的个数为n,那么等于( )
(A) 4 (B) 8 (C) 163 (D) 323
解:由m=44=256,由本 题所给出的“一一映射”的定义可知n==24。所以,
=323,故应选(D)。
三、限制型映射的计数问题
这类问题是指在一般映射的基础上,添加约束条件.这类问题灵活性 和技巧性
都很强,没有固定的解题模式可套,解题时应认真审视约束条件,常借助分类讨
论的思 想方法和排列组合的有关知识使问题得以圆满解决。
例5.已知集合A={a,b,c},B={1,0,-1},由A到B的映射f满足f(a)
-f( b)=f(c),那么这样的映射的个数是( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
分析:这里的f(a),f( b),f(c)∈B,且f(a)-f( b)=f(c),故可分类讨论。
解:根据映射的概念进行分类讨论:
⑴当f(c)=-1时,则f(a)=-1,f(b)=0或f(a)=0,f(b)=1,共2种;
⑵当f(c)=0时,则f(a)=-1,f(b)=-1或f(a)=0,f(b)=0或f(a)=1,f( b)
=1,共3种;
⑶当f(c)=1时,则f(a)=1,f(b)=0或f(a)=0,f(b)=-1,共2种。
综上可知,符合条件的共有2+3+2=7种,选(D)。
例6. 设集合A={1,2,3,4 ,5},B={6,7,8},从A到B的映射f中,
满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤ f(5)的映射的个数是( )
(A)3 (B)6 (C)12 (D)21
解法1:因为B中只有3个元素,所以f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤ f(5)中的4个不等号,
至多有两个取不等号,没有不等号的映射(即只与B中同一个元素对应) f有=3
个;有一个不等号的映射(即与B中两个元素对应) f有·=12个;有两个不等号的
映射(即与B中三个元素对应) f有·=6个。所以共有3+12+6=21个符合要求
的映射。故应选(D)。
解法2 :由题意,满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),即满足
6≤f(1)≤f(2) ≤f(3)≤f(4)≤f(5)≤8;而每一个满足的映射都唯一对应着一个6≤f(1)+
1≤f( 2)+2≤f(3)+3≤f(4)+4≤f(5)+5≤12的映射;于是问题相当于从6到12这7
个整数任取5个整数的取法数,即满足题意的映射有=21个。
例7. 设集合M={-1,0, 1},N={1,2,3,4,5},映射f:M→N,使
对任意x∈M,都有x+f(x)+xf(x )为奇数,这样的映射f的个数为_______。
分析 关键是读懂题意,其中的条件限制“x+f(x)+xf(x) 是奇数”,意思是“原象
加象再加上原象与象的乘积是奇数”。
解:分三步:①-1去 选象,此时x+f(x)+xf(x)=x=-1,一定是奇数,故-
1的象有五种;
②0选象,此时x+f(x)+xf(x)=f(x),故0的象有“1,3,5”三种;
③1 选象,此时x+f(x)+xf(x)=x+2f(x)=1+2f(x),因而2f(x)肯定是偶数,
所以1的象有五种。
由乘法原理知:共有5×3×5=75个满足题意的映射。
四、转化型映射的计数问题
是指灵活运用映射知识,则能转化为映射的计数问题,从而突破解题 难点,优
化解题思路,甚至能避免分类讨论等。
例8.有100名选手参加乒乓球赛,赛制是淘汰制,问需要安排多少场比赛
决出冠军?
分析:用常规方法,需分多轮进行,即分类相加,非常繁。而用映射方法,则
显得简捷快速。
解:一场比赛对应一个失败者(淘汰者),要决出冠军必须淘汰99人(包括亚军),
故要进行99场比 赛。
例9. 厂家为回收空瓶,规定3个空瓶可换一瓶啤酒,有人订购10瓶啤酒,
问此人能喝几瓶啤酒?
分析:用常规方法,往往错认为是可喝14瓶,剩2个空瓶,其实应为15瓶,
先到商家借1个空瓶,凑 成3个空瓶,再喝完将空瓶还给商家。也就是体现数
学中“添0法”,即“0=1-1”。
解:由题意,得3个空瓶对应一瓶啤酒(含瓶),即2个空瓶对应一瓶量的啤酒
(不含瓶),如图


故10瓶啤酒=10瓶量的啤酒+10瓶空瓶=10瓶量的啤 酒+瓶量的啤酒=15
瓶量的啤酒。所以可喝15瓶啤酒。
作者单位:河南濮阳市职业中专
邮政编码:457000

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