古数学2019历年高考数学全国卷及详细解析

2020年11月20日发(作者：路一鸣)
2015年高考数学试卷
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）（201 5?原题）复数i（2﹣i）=（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．（5分）（2015?原题）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（
A．0 B．1 C．D．2
3．（5分）（2015?原题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）
A． （﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）
4．（5分）（2015?原题） 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”
的（）
A．充分而不 必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分） （2015?原题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（
第1页（共20页）
）
）
A．2+B．4+C．2+2D．5
）6．（5分）（2015?原题）设{a
n
}是等差数列，下列结论中正确的是（
A．若a
1
+a
2
＞0，则a
2
+a
3
＞0
C．若0＜a
1
＜a
2
，则a
2
B．若a
1
+a
3
＜0 ，则a
1
+a
2
＜0
D．若a
1
＜0，则（a< br>2
﹣a
1
）（a
2
﹣a
3
）＞0
ACB，则不等式f（x）≥log
2
（x+1）7．（5分）（2015?原题）如图，函数 f（x）的图象为折线
的解集是（）
A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}
8．（5分）（2015?原题）汽车的“燃 油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描
）述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率 情况，下列叙述中正确的是（
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶
C．甲车以80千米/小时的 速度行驶
5千米
1小时，消耗10升汽油
第2页（共20页）
B．以相同速度 行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
D．某城市机动车最高限速
二、填空题（每小题< br>80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
5分，共30分）
539．（5分）（2015?原题）在（2+x）的展开式中，x的系数为（用数字作答）
10．（5 分）（2015?原题）已知双曲线
a= ．
﹣y=1（a＞0）的一条渐近线为
2< br>x+y=0，则
11．（5分）（2015?原题）在极坐标系中，点（2，
为．
）到直线ρ（cos+θsinθ）=6的距离
12．（5分）（2015?原题）在△ABC中，a =4，b=5，c=6，则
13．（5分）（2015?原题）在△ABC中，点M，N满足
则 x= ，y= ．
=2，
=
=，若=x
．
+y，
14．（ 5分）（2015?原题）设函数f（x）=
①若a=1，则f（x）的最小值为
②若f（x） 恰有2个零点，则实数
三、解答题（共6小题，共80分）
sincos﹣sin
；< br>a的取值范围是．
，
15．（13分）（2015?原题）已知函数f（x）=
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．
．
16．（13分）（2015?原题）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间
天） 记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16
B组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求 甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（ 结论不要求证明）
A，B两组随机各选
（单位：
1人，A组选出的人记为甲，B
17．（14分）（2015?原题）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面
⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥BE．
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AO C，求a的值．
AEF
第3页（共20页）
18．（13分）（2015?原题）已知 函数f（x）=ln
（Ⅰ）求曲线
（Ⅱ）求证，当
（Ⅲ）设实数
，
y =f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
x∈（0，1）时，f（x）＞
k使得f（x ）
；
k的最大值．对x∈（0，1）恒成立，求
19．（14分）（2015?原题） 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）
和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆 C上，直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
Q 的坐标，若不存在，说明理由．
*
（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x 轴于点N，问：y轴上是否存
在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点
20．（13分 ）（2015?原题）已知数列{a
n
}满足：a
1
∈N，a
1≤36，且a
n+1
=
（n=1，2，…），记集合M={a
n
|n∈N}．
（Ⅰ）若a
1
=6，写出集合M的所有元素；
（Ⅱ）如集合（Ⅲ）求集合
M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
*
M的元素个数的最大值．
第4页（共20页）
2015年原题市高考数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共40分）
）
D．﹣1﹣2i
1．（5分）（2015?原题）复数i（2﹣i）=（
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i
【分析】利用复数的运算法则解答．
【解答】解：原式=2i﹣i=2i﹣（ ﹣1）=1+2i；
故选：A．
2
【点评】本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法 则．注意i=﹣1．
2
2．（5分）（2015?原题）若x，y满足，则z=x+2y的最大 值为（）
A．0 B．1 C．D．2
z=x+2y对应的直线进行平移，【分析】作出题中 不等式组表示的平面区域，再将目标函数
即可求出z取得最大值．
【解答】解：作出不等式组表 示的平面区域，
当l经过点B时，目标函数
∴z
最大值
z达到最大值
=0+2〓1=2．
故选：D．
【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y 的最大值，着重考查了二元一次
不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
3．（5分）（2015?原题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）
第5页（共20页）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）
【分析】模拟程序框图的 运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
x =1，y=1，
k=0时，s=x﹣y=0，t=x+y=2；
x=s=0，y=t=2，k=1时，s=x﹣y=﹣2，t=x+y=2；
x=s=﹣2，y=t=2，
k=2时， s=x﹣y=﹣4，t=x+y=0；
x=s=﹣4，y=t=0，
k=3时，循环终止，输出（x，y）是（﹣4，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解 题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目．
4．（5分）（2015?原题）设α，β是两个不同的 平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”
的（）
B．必要而不充分条件
α 内的两相交直线都平行于
m和α，β的交线平行即
A．充分而不必要条件
C．充分必要 条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有β，而α∥β，并且m?α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．
【解答】解：m?α，m ∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要
可得到m∥β；
α∥β，m?α，∴m和β没有 公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；
∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．
故 选B．
第6页（共20页）
【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定 义，面面平行的判定定
理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．
5．（5分） （2015?原题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+ 2D．5
【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA= 2，EA=EB=1
OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=
判断几何体的各个面的特点 ，计算边长，求解面积．
【解答】解：根据三视图可判断直观图为：
OA⊥面ABC，AC=A B，E为BC中点，
EA=2，EC=EB=1，OA=1，
∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，
运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=
∴S
△ABC
= 2〓2=2，S
△OAC
=S
△OAB
=〓1=．
S
△BC O
=2〓=．
故该三棱锥的表面积是2，
故选：C．
【点评】本题考查了空间 几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直
观图，得出几何体的性质．
6 ．（5分）（2015?原题）设{a
n
}是等差数列，下列结论中正确的是（）
第7 页（共20页）
，
A．若a
1
+a
2
＞0，则a
2
+a
3
＞0
C．若0＜a
1
＜a
2
，则 a
2
B．若a
1
+a
3
＜0，则a
1
+a
2
＜0
D．若a
1
＜0，则（a
2
﹣a
1
）（a
2
﹣a
3
）＞0
【分析】对选项分别进行判断， 即可得出结论．
【解答】解：若a
1
+a
2
＞0，则2a
1
+d＞0，a
2
+a
3
=2a
1
+3d＞2d，d ＞0时，结论成立，即
确；
若a
1
+a
3
＜0，则a
1
+a
2
=2a
1
+d＜0，a
2
+a
3
=2a
1
+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即
{a
n
}是等差数列，0＜a
1
＜a
2
，2a
2
=a
1< br>+a
3
＞2
2
A不正
B不正确；
，∴a
2< br>＞，即C正确；
若a
1
＜0，则（a
2
﹣a
1
）（a
2
﹣a
3
）=﹣d≤0，即D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．
7．（5分）（2015?原题） 如图，函数f（x）的图象为折线
的解集是（）
ACB，则不等式f（x）≥log
2
（x+1）
A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}
【分析】在已知坐标系内作出y=log2
（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．
y=log
2
（ x+1）的图象，如图【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出
第8页（共20页）满足不等式f（x）≥log
2
（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式
解集是{x|﹣1＜x≤1}；
故选C．
【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了 图象的平移．
8．（5分）（2015?原题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗
f（x）≥ log
2
（x+1）的
1升汽油行驶的里程，如图描
）述了甲、乙、丙三辆汽 车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶
C． 甲车以80千米/小时的速度行驶
D．某城市机动车最高限速
断各个选项即可．
【解答 】解：对于选项
5千米
1小时，消耗10升汽油
1升汽油行驶的里程，以及图象，分别 判
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
80千米/小时，相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油
【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗
A，从图中可以 看出当乙车的行驶速度大于
1升汽油的行驶路程远大于
1小时，里程为
40千米每小时 时的燃油
5千米，故A错误；
B错误，
10，故
D正确．
80千米， 燃油效率为
效率大于5千米每升，故乙车消耗
对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中 ，甲车消耗汽油最小，故
对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶
消耗8升汽油，故C错 误，
对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故
【点评 】本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．
二、填空题（每小题5分，共30分）53
9．（5分）（2015?原题）在（2+x）的展开式中，x的系数为
【分析】写出 二项式定理展开式的通项公式，利用
值．
【解答】解：（2+x）的展开式的通项公式为：所求x的系数为：
故答案为：40．
3
5
40 （用数字作答）
x的指数为3，求出r，然后求解所求数
T
r+1
=2
5﹣rr
x，
=40．
【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．
第 9页（共20页）
10．（5分）（2015?原题）已知双曲线﹣y=1（a＞0）的一条渐近线为< br>2
x+y=0，则a=
．
【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=〒，结合条 件可得=，即可得到a的值．
【解答】解：双曲线﹣y=1的渐近线方程为
2
y=〒，
由题意可得
解得a=
故答案为：
．
=，
．
主要考查 双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，
11．（5分）（2 015?原题）在极坐标系中，点（2，
为1 ．
）到直线ρ（cos+θsinθ）=6的距 离
【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．
【解答】解：点P（ 2，）化为P．
．直线ρ（cos+θsinθ）=6化为
∴点P到直线的距离
故答案 为：1．
d==1．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、
算能力，属于中档 题．
点到直线的距离公式，考查了推理能力与计
12．（5分）（2015?原题）在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则
【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．= 1 ．
【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，
∴cosC=
∴sinC=，sinA=
=，cosA=
，
=
第10页（共20页）