高等数学上答案2017年最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)

2020年11月20日发(作者：滕迈)


第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程

1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．
2．掌握一元二次方程的一般形式ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．
3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．

重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．
难点：由实际问题列出一 元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一
次项和系数及常数项．

一、自学指导．(10分钟)
问题1：

如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，
然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600
cm
2
，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(5 0－
2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得_ _x
2
－75x＋350＝0__．①
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每 两个队之间都要比赛一场．根据场地和时
间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者 应邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．
设应邀请x个队参 赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共
x（x－1）x（x－1）__场．列方程__＝28__，化简整理，得__x
2
－x－56＝0__．②
22
探究：
(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．
(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．


归纳：方程①②的共 同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知
数(一元)，并且未知数的最高 次数是__2__的方程．
1．一元二次方程的定义
等号两边都是__整式__ ，只含有 __一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是
__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程 ．
2．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0)．
这种形式叫做一元二次方程的一般形式 ．其中__ax
2
__是二次项，__a__是二次项系数，
__bx__是一次项， __b__是一次项系数，__c__是常数项．
点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包 含它前面的符号．二次项系数a≠0
是一个重要条件，不能漏掉．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)
1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？
(1)x
3
－2x
2
＋5＝0； (2)x
2
＝1；
13
(3)5x
2
－2x－＝x
2
－2x＋；
45
(4)2(x＋1)
2
＝3(x＋1)；
(5)x
2
－2x＝x
2
＋1; (6)ax
2
＋bx＋c＝0.
解：(2)(3)(4)．
点拨精讲：有 些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知
数，这样的方程仍然是整式方程．
2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、< br>一次项系数及常数项．
解：去括号，得3x
2
－3x＝5x＋10.移项，合 并同类项，得3x
2
－8x－10＝0.其中二次项
系数是3，一次项系数是－8，常 数项是－10.
点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分
钟)


1．求证：关于x的方程(m
2
－8m＋17)x
2< br>＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一
元二次方程．
证明：m
2
－8m＋17＝(m－4)
2
＋1，
∵(m－4)
2
≥0，
∴(m－4)
2
＋1>0，即(m－4)
2
＋1≠0.
∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．
点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一 元二次方程，只要证明m
2
－8m＋17≠0
即可．
2．下面哪些数是方程2x
2
＋10x＋12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
解：将上面的这些数代入后，只有－2和－ 3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元
二次方程2x
2
＋10x＋12＝0的两 根．
点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否
相等即可．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)
1．判断下列方程是否为一元二次方程．
(1)1－x
2
＝0; (2)2(x
2
－1)＝3y；
12
(3)2x
2
－3x－1＝0; (4)
2
－＝0；
xx
(5)(x＋3)
2
＝(x－3)
2;
(6)9x
2
＝5－4x.
解：(1)是；(2)不是；(3)是；
(4)不是；(5)不是；(6)是．
2．若x＝2是方程ax
2
＋4x－5＝0的一个根，求a的值．
解：∵x＝2是方程ax
2
＋4x－5＝0的一个根，
∴4a＋8－5＝0，
3
解得a＝－.
4
3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
解：(1)4x
2
＝25，4x
2
－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x
2
－2x－100＝0.


学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.
3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
21．2 解一元二次方程
21．2.1 配方法(1)

1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．
2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．

重点：运用开平方法解形如(x＋m )
2
＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．
难点：通过根据平方根 的意义解形如x
2
＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意
义解形如(x＋ m)
2
＝n(n≥0)的方程．

一、自学指导．(10分钟)
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm
2
，小李用这桶油漆恰好刷完10 个同样的
正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为x d m，则一个正方体的表面积为__6x
2
__dm
2
，根据一桶油漆可刷的< br>面积列出方程：
__10×6x
2
＝1500__，
由此可得__x
2
＝25__，
根据平方根的意义，得x＝__±5__，
即x
1
＝__5__，x
2
＝__－5__．
可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.
探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)
2
＝5及方程x
2
＋6x＋9
＝4?
方程(2x－1)
2
＝5左边是一个 整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可
将方程变形为__2x－1＝±5__，即将方 程变为__2x－1＝5和__2x－1＝－5__两个一元一


1＋51－5次方程，从而得到方程(2x－1)
2
＝5的两个解为x
1
＝__
，x
2
＝____．
22
在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二 次方程“降次”，转化为两个一元一
次方程，这样问题就容易解决了．
方程x
2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)
2
＝4，进行 降次，
得到 __x＋3＝±2__ ，方程的根为x
1
＝ __－1__，x
2
＝__－5__.
归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次” 把它转化为两个一元一次方程．如果方
程能化成x
2
＝p(p≥0)或(mx＋n)< br>2
＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)
解下列方程：
(1)2y
2
＝8； (2)2(x－8)
2
＝50；
(3)(2x－1)
2
＋4＝0; (4)4x
2
－4x＋1＝0.
解：(1)2y
2
＝8， (2)2(x－8)
2
＝50，
y
2
＝4， (x－8)
2
＝25，
y＝±2， x－8＝±5，
∴y
1
＝2，y
2
＝－2； x－8＝5或x－8＝－5，
∴x
1
＝13，x
2
＝3；
(3)(2x－1)
2
＋4＝0， (4)4x
2
－4x＋1＝0，
(2x－1)
2
＝－4<0， (2x－1)
2
＝0，
∴原方程无解； 2x－1＝0，
1
∴x
1
＝x
2
＝.
2
点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x
2
＝p(p≥0)或(mx＋n)
2
＝p(p≥0)的形式，若能，
则可运用直接开平方法解．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分
钟)
1．用直接开平方法解下列方程：
(1)(3x＋1)
2
＝7; (2)y
2
＋2y＋1＝24；
(3)9n
2
－24n＋16＝11.


－1±7
4±11
解：(1)；(2)－1±26；(3).
33
点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)
2
＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉 负
根．
2．已知关于x的方程x
2
＋(a
2
＋1)x－3 ＝0的一个根是1，求a的值．
解：±1.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)
用直接开平方法解下列方程：
(1)3(x－1)
2
－6＝0 (2)x
2
－4x＋4＝5；
(3)9x
2
＋6x＋1＝4; (4)36x
2
－1＝0；
(5)4x
2
＝81; (6)(x＋5)
2
＝25；
(7)x
2
＋2x＋1＝4.
解：(1)x
1
＝1＋2，x
2
＝1－2；
(2)x
1
＝2＋5，x
2
＝2－5；
1
(3)x
1
＝－1，x
2
＝；
3
11
(4)x
1
＝
，x
2
＝－；
66
99
(5)x
1
＝
，x
2
＝－；
22
(6)x
1
＝0，x
2
＝－10；
(7)x
1
＝1，x
2
＝－3.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．用直接开平方法解一元二次方程．
2．理解“降次”思想．
3．理解x
2
＝p(p≥0)或(mx＋n)2
＝p(p≥0)中，为什么p≥0?
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

21．2.1 配方法(2)

1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．
2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．



重点：掌握配方法解一元二次方程．
难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)
2
＝b的过程．
(2分钟)
1．填空：
(1)x
2
－8x＋__16__＝(x－__4__)
2
；
(2)9x
2
＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)
2
；
pp
(3)x
2
＋px＋__()
2
__＝(x＋____ )
2
.
22
2．若4x
2
－mx＋9是一个完全平方式， 那么m的值是__±12__．

一、自学指导．(10分钟)
问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m
2
，场地的长和宽分别是
多少米？
设场地的宽为x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16 m
2
，得到方程__x(x＋6)< br>＝16__，整理得到__x
2
＋6x－16＝0__．
探究：怎样解方程x
2
＋6x－16＝0?
对比这个方程与前面讨论过的方 程x
2
＋6x＋9＝4，可以发现方程x
2
＋6x＋9＝4的左边
是 含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x
2
＋6x－16＝0< br>不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？
解：移项，得x
2
＋6x＝16，
6b
两边都加上__9__即_ _()
2
__，使左边配成x
2
＋bx＋()
2
的形式，得
22
__x
2
__＋6__x__＋9＝16＋__9__，
左边写成平方形式，得
__(x＋3)
2
＝25__，
开平方，得
__x＋3＝±5__， (降次)
即 __x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，
解一次方程，得x
1
＝__2__，x
2
＝__－8__．
归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的


是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．
问题2：解下列方程：
(1)3x
2
－1＝5； (2)4(x－1)
2
－9＝0；
(3)4x
2
＋16x＋16＝9.
15
解：(1)x＝±2；( 2)x
1
＝－
，x
2
＝；
22
71
(3)x
1
＝－
，x
2
＝－.
22
归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：
(1)把方程化为一般形式ax
2
＋bx＋c＝0；
(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
(3)方程两边同时除以二次项系数a；
(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(5)此时方程的左边是一个完全平方式， 然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两
个一元一次方程来解．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)
1．填空：
(1)x
2
＋6x＋__9__＝(x＋__3__)
2
；
11
(2)x
2
－x＋____＝(x－____)
2
；
42
(3)4x
2
＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)
2
.
2．解下列方程：
(1)x
2
＋6x＋5＝0; (2)2x
2
＋6x＋2＝0；
(3)(1＋x)
2
＋2(1＋x)－4＝0.
解：(1)移项，得x
2
＋6x＝－5，
配方得x
2
＋6 x＋3
2
＝－5＋3
2
，(x＋3)
2
＝4，
由此可得x＋3＝±2，即x
1
＝－1，x
2
＝－5.
(2)移项，得2x
2
＋6x＝－2，
二次项系数化为1，得x
2
＋3x＝－1，
335
配方得x
2
＋3x＋()
2
＝(x＋)
2
＝
，
224
3553
由此可得x＋＝±
，即x
1
＝－
，
2222


x
2
＝－
53
－.
22
(3)去括号，整理得x
2
＋4x－1＝0，
移项得x
2
＋4x＝1，
配方得(x＋2)
2
＝5，
x＋2＝±5，即x
1
＝5－2，x
2
＝－5－2.
点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分
钟)
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B两点
出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积
为Rt△ABC面积的一半？


解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：
111
(8－x)(6－x)＝××8×6，
222
即x
2
－14x＋24＝0，
(x－7)
2
＝25，
x－7＝±5，
∴x
1
＝12，x
2
＝2，
x
1
＝12 ，x
2
＝2都是原方程的根，但x
1
＝12不合题意，舍去．
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．
点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积 为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根
据已知条件列出等式．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．用配方法解下列关于x的方程：
(1)2x
2
－4x－8＝0； (2)x
2
－4x＋2＝0；


1
(3)x
2
－x－1＝0 (4)2x
2
＋2＝5.
2

解：(1)x
1
＝1＋5，x
2
＝1－5；
(2)x
1
＝2＋2，x
2
＝2－2；
117117
(3)x
1
＝＋
，x
2
＝－；
4444
(4)x
1
＝
66
，x
2
＝－.
22
2．如果x
2
－4x＋y
2
＋6y＋z＋2＋13＝0 ，求(xy)
z
的值．
解：由已知方程得x
2
－4x＋4＋y2
＋6y＋9＋z＋2＝0，即(x－2)
2
＋(y＋3)
2
＋ z＋2＝0，
∴x＝2，y＝－3，z＝－2.
∴(xy)
z
＝[2×(－ 3)]
2
＝
－
1
.
36
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．用配方法解一元二次方程的步骤．
2．用配方法解一元二次方程的注意事项．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

21．2.2 公式法

1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．

重点：求根公式的推导和公式法的应用．
难点：一元二次方程求根公式的推导．
(2分钟)
用配方法解方程：
(1)x
2
＋3x＋2＝0； (2)2x
2
－3x＋5＝0.
解：(1)x
1
＝－2，x
2
＝－1； (2)无解．



一、自学指导．(8分钟)
问题：如果这个一元二次方程是一般形式a x
2
＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法
的步骤求出它们的两根？ －b＋b
2
－4ac
问题：已知ax＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个 根x
1
＝
，x
2
＝
2a
2
－b－b
2
－4ac
.
2a
分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a， b，c也当成一个具体数字，根
据上面的解题步骤就可以一直推下去．
探究：一元二次方程a x
2
＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：
(1)解 一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax
2
＋bx＋c＝0，当b
2
－4ac≥0时，
－b±b
2
－4ac
将a，b，c代入式子x＝就得到方程 的根，当b
2
－4ac＜0时，方程没有实数
2a
根．
－b±b< br>2
－4ac
(2)x＝叫做一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0(a≠ 0)的求根公式．
2a
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
( 4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__
没有_ _实根．
(5)一般地，式子b
2
－4ac叫做方程ax
2
＋bx ＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字
母Δ表示，即Δ＝b
2
－4ac.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？
(1)2x
2
－3x＝0； (2)3x
2
－23x＋1＝0；
(3)4x
2
＋x＋1＝0.
3
解：(1)x
1
＝0，x
2
＝；有两个不相等的实数根；
2
(2)x
1
＝x
2
＝
3
；有两个相等的实数根；
3
(3)无实数根．
点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有 两个相等的实数根；Δ＜0
时，没有实数根．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分


钟)
1．方程x
2
－4x＋4＝0的根的情况是( B )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
2．当m为何值时，方程(m＋1)x
2
－(2m－3)x＋m＋1＝0，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
111
解：(1)m＜； (2)m＝； (3)m ＞.
444
3. 已 知x
2
＋2x＝m－1没有实数根，求证：x
2
＋mx＝1－2m必有两个不 相等的实数根.
证明：∵x
2
＋2x－m＋1＝0没有实数根，
∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.
对于方程x
2
＋mx＝1－2m，即x
2
＋mx＋2m－1＝0，
Δ＝m
2
－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，
∴x
2
＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．利用判别式判定下列方程的根的情况：
3
(1)2x
2
－3x－＝0; (2)16x
2
－24x＋9＝0；
2
(3)x
2
－42x＋9＝0 (4)3x
2
＋10x＝2x
2
＋8x.
解：(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)无实数根；
(4)有两个不相等的实数根．
2．用公式法解下列方程：
1
(1)x
2
＋x－12＝0 (2)x
2
－2x－＝0；
4
(3)x
2
＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x；
(5)x
2
＋2x＝0 (6)x
2
＋25x＋10＝0.


解：(1)x
1
＝3，x
2
＝－4；
(2)x
1
＝
2＋32－3
，x
2
＝；
22
(3)x
1
＝1，x
2
＝－3；
(4)x
1
＝－2＋6，x
2
＝－2－6；
(5)x
1
＝0，x
2
＝－2; (6)无实数根．
点拨精讲： (1)一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，< br>c确定的；
(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b
2
－4ac≥0的前提下，把
－b±b
2
－4ac
2
a，b，c的值 代入x＝(b－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；
2a
(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1.求根公式的推导过程．
2.用 公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定出b
2
－4ac的值、
．
a，b， c的值，再算
．
最后代入求根公式求解．
．
3.用判别式判定一元二次方程根的情况．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
21．2.3 因式分解法

1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．
2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多
样性．

重点：用因式分解法解一元二次方程．
难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．
(2分钟)
将下列各题因式分解：
(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；
(2)a
2
－b
2
＝__(a＋b)(a－b)__；


(3)a
2
±2ab＋b
2
＝__(a±b)
2
__．

一、自学指导．(8分钟)
问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过
x s物体离地的高度(单位：m)为10x－4.9x
2
.你能根据上述规律求出物体经过多少秒 落回地面
吗？(精确到0.01s)
设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x
2
＝0， ①
思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？
分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：
x(10－4.9x)＝0，
于是得x＝0或10－4.9x＝0， ②
∴x
1
＝__0__，x
2
≈2.04．
上述解中，x
2
≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面，而x
1
＝0表示物体被上抛离开地
面的时刻，即0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.
点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化 为0，然后对方程左边进行因式分
解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等 于零，从而实现降
次，这种解法叫做因式分解法．
(2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝ 0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝
0，那么__x＋1＝0或__x－1＝ 0__，即__x＝－1__或__x＝1．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．说出下列方程的根：
(1)x(x－8)＝0； (2)(3x＋1)(2x－5)＝0.
15
解：(1)x
1
＝0，x
2
＝8； (2)x
1
＝－
，x
2
＝.
32
2．用因式分解法解下列方程：
(1)x
2
－4x＝0; (2)4x
2
－49＝0；
(3)5x
2
－20x＋20＝0.
77
解：(1)x
1
＝0，x
2
＝4; (2)x
1
＝
，x
2
＝－；
22
(3)x
1
＝x
2
＝2.



一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分
钟)
1．用因式分解法解下列方程：
(1)5x
2
－4x＝0； (2)3x(2x＋1)＝4x＋2；
(3)(x＋5)
2
＝3x＋15.
4
解：(1)x
1
＝0，x
2
＝；
5
21
(2)x
1
＝
，x
2
＝－；
32
(3)x
1
＝－5，x
2
＝－2.
点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因
式．
2．用因式分解法解下列方程：
(1)4x
2
－144＝0；
(2)(2x－1)
2
＝(3－x)
2
；
13
(3)5x
2
－2x－＝x
2
－2x＋；
44
(4)3x
2
－12x＝－12.
解：(1)x
1
＝6，x
2
＝－6；
4
(2)x
1
＝
，x
2
＝－2；
3
11
(3)x
1
＝
，x
2
＝－；
22
(4)x
1
＝x
2
＝2.
点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．用因式分解法解下列方程：
(1)x
2
＋x＝0; (2)x
2
－23x＝0；
(3)3x
2
－6x＝－3; (4)4x
2
－121＝0；
(5)(x－4)
2
＝(5－2x)
2
.
解：(1)x
1
＝0，x
2
＝－1；
(2)x
1
＝0，x
2
＝23；
(3)x
1
＝x
2
＝1；


1111
(4)x
1
＝
，x
2
＝－；
22
(5)x
1
＝3，x
2
＝1.
点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将方程右边化为__0__；
(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；
(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
2．把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场
地的半径．
解：设小圆形场地的半径为x m.
则可列方程2πx
2
＝π(x＋5)
2
.
解得x
1
＝5＋52，x
2
＝5－52(舍去)．
答：小圆形场地的半径为(5＋52) m.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得 a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．
2．正确的因式分解是解题的关键．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系

bc
1. 理 解并掌握根与系数的关系：x
1
＋x
2
＝－
，x
1
x
2
＝.
aa
2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．

重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．
难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．

一、自学指导．(10分钟)
自学1：完成下表：


方程
x
2
－5x＋6＝0
x
2
＋3x－10＝0
问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
x
1

2
2
x
2

3
－5
x
1
＋x
2

5
－3
x
1
x
2

6
－10
答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．
②x
2
＋px＋ q＝0的两根x
1
，x
2
用式子表示你发现的规律.
答：x1
＋x
2
＝－p，x
1
x
2
＝q.
自学2：完成下表：
方程
2x
2
－3x－2＝0
3x
2
－4x＋1＝0
x
1

2
1

3
x
2

1
－
2
1
x
1
＋x
2

3

2
4

3
x
1
x
2

－1
1

3
问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)
请完善规律：
①用语言叙述发现的规律；
答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项
系数之比．
②ax
2
＋bx＋c＝0的两根x
1
，x
2
用式子 表示你发现的规律．
bc
答：x
1
＋x
2
＝－
， x
1
x
2
＝.
aa
自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)
－b＋b
2
－4ac－b－b
2
－4ac
ax＋bx＋c＝0的两根x
1
＝____，x
2
＝____．
2a2a
2
bc
x1
＋x
2
＝－
，x
1
x
2
＝.
aa
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)x
2
－3x－1＝0 ； (2)2x
2
＋3x－5＝0；
1
(3)x
2
－2x＝0.
3
解：(1)x
1< br>＋x
2
＝3，x
1
x
2
＝－1；


35
(2)x
1
＋x
2
＝－
，x
1
x
2
＝－；
22
(3)x
1
＋x
2
＝6，x
1
x
2
＝0.

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分
钟)
1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)x
2
－6x－15＝0; (2)3x
2
＋7x－9＝0；
(3)5x－1＝4x
2
.
解：(1)x
1
＋x
2
＝6，x
1
x
2
＝－15；
7
(2)x
1
＋x
2
＝－
，x
1
x
2
＝－3； < br>3
51
(3)x
1
＋x
2
＝
，x
1
x
2
＝.
44
点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a，b，c.
2．已知方程2x
2
＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．
3
解：另一根为
，k＝3.
2
点拨精讲：本题有两种解法，一种是 根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求
另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．
3．已知α，β是方程x
2
－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．
11
(1)＋； (2)α
2
＋β
2
； (3)α－β.
αβ
3
解：(1)－；(2)19；(3)29或－29.
5
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
(1)x
2
－3x＝15; (2)5x
2
－1＝4x
2
；
(3)x
2
－3x＋2＝10; (4)4x
2
－144＝0.
解：(1)x
1
＋x
2
＝3，x
1
x
2< br>＝－15；
(2)x
1
＋x
2
＝0，x
1
x
2
＝－1；
(3)x
1
＋x
2
＝3，x
1
x
2
＝－8；
(4)x
1
＋x
2
＝ 0，x
1
x
2
＝－36.
2．两根均为负数的一元二次方程是( C )


A．7x
2
－12x＋5＝0 B．6x
2
－13x－5＝0
C．4x
2
＋21x＋5＝0 D．x
2
＋15x－8＝0
点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系 满足两根之和为负数，两根
之积为正数．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的
值；求得方程的另 一根和方程中的待定系数的值．
1．先化成一般形式，再确定a，b，c.
2．当且仅当b
2
－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．
bc
3．要注意比的符号：x
1
＋x
2
＝－(比前面有负号)，x
1< br>x
2
＝(比前面没有负号)．
aa
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
21．3 实际问题与一元二次方程(1)

1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问 题等)中的数量关系列一元二
次方程并求解．
2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．
3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．

重点：列一元二次方程解决实际问题．
难点：找出实际问题中的等量关系．

一、自学指导．(12分钟)
问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流 感，每轮传染中平均一个
人传染了几个人？
分析：
①设每轮传染中平均一个人传染 了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了
__x__人，第一轮后共有__(x＋1)__人 患了流感；
②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x＋1) (x＋1)__
人患了流感．


则列方程：
__(x＋1)
2
＝121__，
解得__x＝10或x＝－12(舍)__，
即平均一个人传染了__10__个人．
再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
问题2：一个两位数，它的两个 数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数
与原两位数的积是1008，求原来的两位数．
分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋ x][10x＋(6－x)]
＝1008__，
解得 x
1
＝__2__，x
2
＝__4__，∴原来的两位数为24或42.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
某初中毕业班的每 一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班
共送了2550张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( )
A．x(x＋1)＝2550
B．x(x－1)＝2550
C．2x(x＋1)＝2550
D．x(x－1)＝2550×2
分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相 片，则每人送出(x－1)张相
片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝255 0. 故选B.

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分
钟) < br>1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、
支干和小分 支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？
解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x
2
＝91，
即x
2
＋x－90＝0，
解得x
1
＝9，x
2
＝－10(舍去)，
故每个支干长出9个小分支．
点拨精讲：本例与传染问题的区别．

< br>2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和
比这个两位 数小4，设个位数字为x，则列方程为：__x
2
＋(x＋4)
2
＝10(x ＋4)＋x－4__．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)
1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( C )
A．2和4 B．6和8 C．4和6 D．8和10
2．教材P
21
第2题、第3题
学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)
1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；
(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；
(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；
(4)“解”：即求出所列方程的__根__；
(5)“检验”：即验证根是否符合题意；
(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．
2. 对于数字问题应注意数字的位置．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

21．3 实际问题与一元二次方程(2)

1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程
并求解．
2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．
3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．

重点：如何解决增长率与降低率问题．
难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)< br>n
＝b，其中a是原有量，x为增长(或降
低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增 长(或降低)后的量．

一、自学指导．(10分钟)


自学 ：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000
元，随着生产技术 的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的
成本是3600元，哪种药品 成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)
绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－ 3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的
年平均下降额为(6000－3600)÷2＝12 00(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对 量的大小呢？也就是能否说明乙种药品
成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．
分析：
①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－ x)__元，
两年后甲种药品成本为__5000(1－x)
2
__元．
依题意，得__5000(1－x)
2
＝3000__．
解得__x
1
≈0.23，x
2
≈1.77__．
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．
②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，
列方程：__6000(1－y)
2
＝3600__．
解得__y
1
≈0.23，y
2
≈1.77(舍)__．
答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．
点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药 品，它的成本下降率不一定较大，应比较
降前及降后的价格．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)
某商店10月份的 营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多
少？
【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则
11月份的营业额为__5000(1＋x)__元，
12月份的营业额为__5000(1 ＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)
2
__元．
由此就可列方程：__5000(1＋x)
2
＝7200__．
点拨精讲： 此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是
增长数与基准数的比．
增长率＝增长数∶基准数
设基准数为a，增长率为x，


则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；
二月(或二年)后产量为a(1＋x)
2
；
n月(或n年)后产量为a(1＋x)
n
；
如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋x)
n
.
解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分
钟) < br>某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000
元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320
元，求这种 存款方式的年利率．(利息税20%)
分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1 000元，剩下的本金和利息
是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋20 00x·80%，其他依此类推．
解：设这种存款方式的年利率为x，
则1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320， 整理，得1280x
2
＋800x＋1600x＝320，即8x
2
＋1 5x－2＝0，
解得x
1
＝－2(不符，舍去)，x
2
＝0.125＝12.5%.
答：所求的年利率是12.5%.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟)
青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg，2013年平均每公顷产8460 kg，求水稻
每公顷产量的年平均增长率．
解：设年平均增长率为x，
则有7200(1＋x)
2
＝8460，
解得x
1
＝0.08，x
2
＝－2.08(舍)．
即年平均增长率为8%.
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.
点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解．
学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)
1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符


合实际意义．
2. 若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基数是a，增长(或降 低)n次后的量是b，
则有：a(1±x)
n
＝b(常见n＝2)．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
21．3 实际问题与一元二次方程(3)

1. 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程， 体会方程是刻画现实世界的一
个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
2. 列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题．

重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实
际问题．
难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．

一、自学指导．(10分钟)
问题：如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封
面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的阴影边衬所占面积
< br>是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的
宽度？(精确 到0.1 cm)
分析：封面的长宽之比是27∶21＝__9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是 __9∶7__，
若设中央的长方形的长和宽分别是__9a_cm__和__7a_cm__，由此得 上下边衬与左右边衬的
宽度之比是__(27－9a)∶(21－7a)＝9∶7__．
探究：怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请试一试．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
在一幅长8分米， 宽6分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成
一幅矩形挂图(如图②)．如果要 使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．



解：设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得(2x＋6)(2x＋8)＝80.
解得x
1
＝1，x
2
＝－8(不合题意，舍去)．
答：金色纸边的宽为1分米．
点拨精讲：本题和上题一样，利用矩形的面积公式做为相等关系列方程．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分
钟)

如图，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽
度的马路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的
面积 都是144 m
2
，求马路的宽．
解：假设三条马路修在如图所示位置．
设马路宽为x，则有

(40－2x)(26－x)＝144×6，
化简，得x
2
－46x＋88＝0，
解得x
1
＝2，x
2
＝44，
由题意：40－2x＞0，26－x＞0, 则x＜20.
故x
2
＝44不合题意，应舍去，∴x＝2.
答：马路的宽为2 m.
点拨精讲：这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形．


二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)

1．如图，要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部
分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何
设计彩条 的宽度．(精确到0.1 cm)
解：设横彩条的宽度为3x cm，则竖彩条的宽度为2x cm.
1
根据题意，得(30－4x)(20－6x)＝(1－)×20×30.
4
解得x
1
≈0.6，x
2
≈10.2(不合题意，舍去)．
故3x＝1.8，2x＝1.2.
答：横彩条宽为1.8 cm，竖彩条宽为1.2 cm.
2．用一根长40 cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm
2
.
(1)求此长方形的宽是多少？
(2)能围成一个面积为101 cm
2
的长方形吗？若能，说明围法．
(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm
2
)，长方形的宽为x(cm)，求S与x的函数关系式，
并求出当x为何值时，S的 值最大？最大面积为多少？
解：(1)设此长方形的宽为x cm，则长为(20－x) cm.
根据题意，得x(20－x)＝75，
解得x
1
＝5，x
2
＝15(舍去)．
答：此长方形的宽是5 cm.
(2)不能．由x(20－x)＝101，即x
2< br>－20x＋101＝0，知Δ＝20
2
－4×101＝－4＜0，方程
无解，故 不能围成一个面积为101 cm
2
的长方形．
(3)S＝x(20－x)＝－x
2
＋20x.
由S＝－x
2＋20x＝－(x－10)
2
＋100知，当x＝10时，S的值最大，最大面积为100 cm
2
.
点拨精讲：注意一元二次方程根的判别式和配方法在第(2)(3)问中的应用．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关
系列方程．


学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)


第二十二章 二次函数

22．1 二次函数的图象和性质

22．1.1 二次函数


结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次 函数的有关概念；能够表示简单变量之
间的二次函数关系．

重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系．
难点：理解二次函数的有关概念．

一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空．
总结 归纳：一般地，形如y＝ax
2
＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函
数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次
函 数、二次函数，其表达式分别是y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)、y＝ax
2
＋bx ＋c(a，b，
c为常数，且a≠0)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__．
A．y＝(x－3)
2
－1
B．y＝1－2x
2

1
C．y＝(x＋2)(x－2)
3
D．y＝(x－1)
2
－x
2

2．二次函数y ＝－x
2
＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是__2__，常数项是


__0__．
3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的 函数关系式为y＝
πx
2
＋2πRx(x≥0)．
点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分
钟)
探究1 若y＝(b－2)x
2
＋4是二次函数，则__b≠2__．
探究2 某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出
500 个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定
为x元(x>50 )，每月销售这种篮球获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)超市计划下月 销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售
价为多少元？
解：(1)y＝－10x
2
＋1400x－40000(50(2)由题意得：－10x
2
＋1400x－40000＝8000，
化简 得x
2
－140x＋4800＝0，∴x
1
＝60，x
2
＝ 80.
∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．如果函数y＝(k＋1)xk
2
＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？
1
2．设y＝y
1
－y
2
，若y
1
与x< br>2
成正比例，y
2
与成反比例，则y与x的函数关系是( A )
x
A．二次函数 B．一次函数
C．正比例函数 D．反比例函数 3．已知，函数y＝(m－4)xm
2
－m＋2x
2
－3x－1是关于x 的函数．
(1)m为何值时，它是y关于x的一次函数？
(2)m为何值时，它是y关于x的二次函数？
点拨精讲：第3题的第(2)问，要分情况讨论．




4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线
BC 方向运动，设BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm
2
，试分别
写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式．
点拨精讲：1.二次函数不要忽视二次项系数a≠0.
2．有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)
22．1.2 二次函数y＝ax
2
的图象和性质


1．能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解其性质．
2．初步建立二次函数 表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内
在的美感．

重点：描点法作出函数的图象．
难点：根据图象认识和理解其性质．

一、自学指导．(7分钟)
自学：自学课本P30～31“例1”“思考”“探究”，掌握用 描点法作出函数的图象，
理解其性质，完成填空．
(1)画函数图象的一般步骤：取值－描点－连线；
1
(2)在同一坐标系中画出函 数y＝x
2
，y＝
x
2
和y＝2x
2
的图象； < br>2
点拨精讲：根据y≥0，可得出y有最小值，此时x＝0，所以以(0，0)为对称点，对称< br>取点．
(3)观察上述图象的特征：形状是抛物线，开口向上，图象关于y轴对称，其顶点坐标


是(0，0)，其顶点是最低点(最高点或最低点)；
(4)找出上述三条抛物线的异同：__________．
1
(5)在同一坐标系 中画出函数y＝－x
2
，y＝－
x
2
和y＝－2x
2
的图象，找出图象的异同．
2
点拨精讲：可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律．
总结归纳： 一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口
向上，顶点是抛物线的 最低点．a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，
顶点是抛物线的最高点，a越大 ，抛物线的开口越大．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．教材P41习题22.1第3，4题．


一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分
钟)
探究1 填空：(1)函数y＝(－2x)
2
的图象形状是______，顶点坐标是 ______，对称轴
是______，开口方向是______．
1
(2)函数y ＝x
2
，y＝
x
2
和y＝－2x
2
的图象如图所示 ，请指出三条抛物线的解析式．
2
解：(1)抛物线，(0，0)，y轴，向上；
(2)根据抛物线y＝ax
2
中，a的值来判断，在x轴上方开口小的抛物线为y＝x
2
，开口大
1
的为y＝x
2
，在x轴下方的为y＝－2x
2
.
2
点拨精讲：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线 y＝ax
2
中，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；|a|越大，开口越小．
探究2 已知函数y＝(m＋2)xm
2
＋m－4是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x为何值时，y随x的增大而增
大？
(3)m为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？


2
?
?
m＋m－4＝2，
解：(1)由题意得
?

?
m＋2≠0.
?
?
m＝2或m＝－3，
?
解得< br>?
∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数．
?
m≠－2.
?< br>(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m＋2>0，即m>－2，∴只能取m＝2.
∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y随x的增大而增大．
(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m＋2<0，即m<－2，
∴只能取m＝－3.
∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，
∴m＝－3时，函数有最大值为0.
∴x>0时，y随x的增大而减小．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．二次函数y＝ax
2
与y＝－ax
2
的图象之间有何关系？
2．已知函数y＝ax
2
经过点(－1，3)．
(1)求a的值；
(2)当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况．
3．二次函数y＝－2x
2
，当x
1
>x
2
>0，则y
1
与y
2的关系是__y
1
＜y
2
__．
4．二次函数y＝ax
2
与一次函数y＝－ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( B )

点 拨精讲：1.二次函数y＝ax
2
的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取5～7个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用
平滑的曲线 顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；
2．抛物线y＝ax
2
的开 口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)
2
＋k的图象和性质(1)




1．会作函数y＝ax
2
和y＝ax
2
＋k的图象，能比 较它们的异同；理解a，k对二次函数
图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐 标．
2．了解抛物线y＝ax
2
上下平移规律．

重点：会作函数的图象．
难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P32～33“例2”及两个思考， 理解y＝ax
2
＋k中a，k对二次函数图
象的影响，完成填空．
总结归纳 ：二次函数y＝ax
2
的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是(0，0)，开
口方向由a的符号决定：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向__下__．当a>0时，在
对称 轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．抛物线有最
__低__点，函 数y有最__小__值．当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对
称轴的右侧，y随x 的增大而减小．抛物线有最__高__点，函数y有最__大__值．
抛物线y＝ax
2＋k可由抛物线y＝ax
2
沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到，当k>0时 ，
向__上__平移；当k<0时，向__下__平移．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．在抛物线y＝x
2
－2上的一个点是( C )
A．(4，4) B．(1，－4)
C．(2，2) D．(0，4)
2．抛物线y＝x
2
－16与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的面积为__64__．
点拨精讲：与x轴的交点的横坐标即当y等于0时x的值，即可求出两个交点的坐标．
3．画 出二次函数y＝x
2
－1，y＝x
2
，y＝x
2
＋1的图象 ，观察图象有哪些异同？
点拨精讲：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分
钟)
探究1 抛物线y＝ax
2
与y＝ax
2
±c有什么关系？


解：(1)抛物线y＝ax
2
±c的形状与y＝ax
2
的形状完全相同，只是位置不同；
(2)抛物线y＝ax
2
向上平移c个单 位得到抛物线y＝ax
2
＋c；
抛物线y＝ax
2
向下平移c个单位得到抛物线y＝ax
2
－c.
探究2 已知抛物线y＝ax
2
＋c向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－2x< br>2
＋4，试
求a，c的值．
?
?
a＝－2，
?a＝－2，
解：根据题意，得
?
解得
?

?
c ＝6.
?
c－2＝4，
?
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流 ，上台展示并讲解思路．(13分钟)
1．函数y＝ax
2
－a与y＝ax－a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )


2．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为( B )
A．y＝x
2
－4
3
B．y＝－x
2
＋3
4
3
C．y＝(2－x)
2

2
3
D．y＝(x
2
－2)
2
3．二次函数y＝ －x
2
＋4图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，4)，当x<0，y随x的
增大而 增大．

4．抛物线y＝ax
2
＋c与y＝－3x
2
的形 状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，
5)，则其表达式为y＝－3x
2
＋ 5，它是由抛物线y＝－3x
2
向__上__平移__5__个单位得到的．
5．将 抛物线y＝－3x
2
＋4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y＝3x
2＋4．
6．已知函数y＝ax
2
＋c的图象与函数y＝5x
2
＋1的图象关于x轴对称，则a＝__－5__，


c＝__－1__．
点拨精讲：1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律．(可结合图象理解)
2．抛物线 平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平
移的方向与单位长，有时也可 以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定
平移的方向与单位长．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)


22．1.3 二次函数y＝a(x－h)
2
＋k的图象和性质(2)


1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)
2
的图象．
2．能正确说出y＝a(x－h)
2
的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握抛物线y＝a(x－h)
2
的平移规律．

重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)
2
的图象．
难点：能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)
2
的平< br>移规律．

一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P33～34“探 究”与“思考”，掌握y＝a(x－h)
2
与y＝ax
2
之间的关系，
理解并掌握y＝a(x－h)
2
的相关性质，完成填空．
111
画函数y ＝－x
2
、y＝－(x＋1)
2
和y＝－(x－1)
2
的图 象，观察后两个函数图象与抛物
222
1
线y＝－x
2
有何关系？它 们的对称轴、顶点坐标分别是什么？
2
点拨精讲：观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况．
总结归 纳：二次函数y＝a(x－h)
2
的顶点坐标为(h，0)，对称轴为直线x＝h．当a>0时 ，
在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，抛物线有最


低点，函数y有最小值；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右< br>侧y随x的增大而减小，抛物线有最高点，函数y有最大值．抛物线y＝ax
2
向左平移 h个
单位，即为抛物线y＝a(x＋h)
2
(h>0)；抛物线y＝ax
2< br>向右平移h个单位，即为抛物线y＝a(x
－h)
2
(h>0)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．教材P35练习题；
1
2．抛物线y＝－(x－1)
2
的开口 向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是x＝1，通过向左平
2
1
移1个单位后，得到 抛物线y＝－x
2
.
2

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分
钟)
1
探究1在直角坐标系中画出函数y＝(x＋3)
2
的图象．
2
(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)根据图象回答，当x取何值时， y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大
而增大？当x取何值时，y取最大值或最小值？ < br>11
(3)怎样平移函数y＝x
2
的图象得到函数y＝(x＋3)
2< br>的图象？
22
解：(1)对称轴是直线x＝－3，顶点坐标(－3，0)；(2)当x <－3时，y随x的增大而减
1
小；当x>－3时，y随x的的增大而增大；当x＝－3时，y 有最小值；(3)将函数y＝x
2
的
2
1
图象沿x轴向左平移3个单 位得到函数y＝(x＋3)
2
的图象．
2
点拨精讲：二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．
探究2 已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，抛物线y＝－2x
2
平移后的顶点与点 A重
1
合．(1)求平移后的抛物线l的解析式；(2)若点B(x
1
，y< br>1
)，C(x
2
，y
2
)在抛物线l上，且－1
2
，
2
试比较y
1
，y
2
的 大小．
解：(1)∵y＝x＋1，∴令y＝0，则x＝－1，∴A(－1，0)，即抛物线l的顶点坐 标为(－
1，0)，又抛物线l是由抛物线y＝－2x
2
平移得到的，∴抛物线l的解 析式为y＝－2(x＋1)
2
.
(2)由(1)可知，抛物线l的对称轴为x＝－1 ，∵a＝－2<0，∴当x>－1时，y随x的增
1
大而减小，又－1
< x
2
，∴y
1
>y
2
.
2


二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．不画图象，回答下列问题：
(1)函数y＝3(x－1)
2
的图象可以 看成是由函数y＝3x
2
的图象作怎样的平移得到的？
(2)说出函数y＝3(x－1)
2
的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(3)函数有哪些性质？
(4)若将函数y＝3(x－1)
2
的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象？
点拨精讲：性质从增减性、最值来说．
2．与抛物线y＝－2(x＋5)
2
顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的
函数关系式是y＝2(x＋5)
2< br>．
3．对于函数y＝－3(x＋1)
2
，当x>－1时，函数y随x的增大而 减小，当x＝－1时，
函数取得最大值，最大值y＝0．
4．二次函数y＝ax
2< br>＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度得到y＝x
2
－2x＋1的图象，
则b ＝－6，c＝9．
点拨精讲：比较函数值的大小，往往可根据函数的性质，结合函数图象，能使解题过
程简洁明了．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)
2
＋k的图象和性质(3)


1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)
2
＋k的图象．
2．能正确说出y＝a(x－h)
2
＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握抛物线y＝a(x－h)
2
＋k的平移规律．

重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)
2
＋k的图象． 难点：能正确说出y＝a(x－h)
2
＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛 物
线y＝a(x－h)
2
＋k的平移规律．

一、自学指导．(10分钟)


自学：自学课本P35～36“例3、例 4”，掌握y＝a(x－h)
2
＋k与y＝ax
2
之间的关系，
理解 并掌握y＝a(x－h)
2
＋k的相关性质，完成填空．
总结归纳：一般地，抛物线 y＝a(x－h)
2
＋k与y＝ax
2
的形状相同，位置不同，把抛物
线y＝ax
2
向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)
2＋k，平移的方向、距离要根
据h，k的值来决定：当h>0时，表明将抛物线向右平移h个单位； 当k<0时，表明将抛物
线向下平移|k|个单位．
抛物线y＝a(x－h)
2＋k的特点是：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称
轴是直线x＝h；顶点坐标是 (h，k)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟
1．教材P37练习题
2．函数y＝2(x＋3)
2
－5的图象是由函数y ＝2x
2
的图象先向左平移3个单位，再向下平
移5个单位得到的；
3．抛 物线y＝－2(x－3)
2
－1的开口方向是向下，其顶点坐标是(3，－1)，对称轴是直< br>线x＝3，当x>3时，函数值y随自变量x的值的增大而减小．

一、小组讨论：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分
钟)
探究1 填写下表：
解析式
y＝－2x
2

1
y＝x
2
＋1
2
y＝－5(x＋2)
2

y＝3(x＋1)
2
－4
开口方向
向下
向上
向下
向上
对称轴
y轴
y轴
x＝－2
x＝－1
顶点坐标
(0，0)
(0，1)
(－2，0)
(－1，－4)
点拨精讲：解这类型题要将不同形式的解析式统一为y＝a(x－h)
2
＋k的形式，便于解
答．
1
探究2 已知y＝a(x－h)
2
＋k是由抛物线y＝－x
2
向上平移2个单位长度，再向右平
2
移1 个单位长度得到的抛物线．(1)求出a，h，k的值；(2)在同一坐标系中，画出y＝a(x－
1< br>h)
2
＋k与y＝－x
2
的图象；(3)观察y＝a(x－h)
2
＋k的图象，当x取何值时，y随x的增大
2


而增大；当x 取何值时，y随x的增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察y＝a(x－h)
2
＋k的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗？


1
解： (1)∵抛物线y＝－x
2
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛
2
11
物线是y＝－(x－1)
2
＋2，∴a＝－
，h＝1，k＝2 ；
22
11
(2)函数y＝－(x－1)
2
＋2与y＝－x
2
的图象如图；
22
1
(3)观察y＝－(x－1)
2
＋2的图象可知，当x<1时，y随x的增大而增大；x>1时，y随
2
x的增大而减小；
1
(4)由y＝－(x－1)
2
＋2的图象可知，对于一切x的值，y≤2.
2
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) < br>1．将抛物线y＝－2x
2
向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析 式
是y＝－2(x－3)
2
＋2．
点拨精讲：抛物线的移动，主要看顶点位置的移动．
2．若直线y＝2x＋m经过第一、三、 四象限，则抛物线y＝(x－m)
2
＋1的顶点必在第
二象限．
点拨精讲：此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别．
3．把y＝2x
2
－1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的
解析式是y ＝2(x－1)
2
－3．
4．已知A(1，y
1
)，B(－2，y
2
)，C(－2，y
3
)在函数y＝a(x＋1)
2
＋k( a>0)的图象上，则
y
1
，y
2
，y
3
的大小关 系是y
2
3
1
．
点拨精讲：本节所学的 知识是：二次函数y＝a(x－h)
2
＋k的图象画法及其性质的总结；
平移的规律． 所用的思想方法：从特殊到一般．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)








22．1.4 二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图象和性质(1)


1．会画 二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，
对称轴的求法．
2．能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．
3．会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题．

重点：会画二次函数 y＝ax
2
＋bx＋c的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公
式，对称轴的 求法．
难点：能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．

一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P37～39“思考、探究”，掌握将一般式化成顶点式的方法，完成填空．
总结归纳：二次函数y＝a(x－h)
2
＋k的顶点坐标是(h，k)，对称轴是x＝h，当a >0时，
开口向上，此时二次函数有最小值，当x>h时，y随x的增大而增大，当x增大而减小；当a<0时，开口向下，此时二次函数有最大值，当x增 大，当x>h时，y随x的增大而减小；
4ac－b
b
用配方法将y＝ax＋bx＋ c化成y＝a(x－h)＋k的形式，则h＝－
，k＝
；则
2a4a
222
b
4ac－b
bb
二次函数的图象的顶点坐标是(－
，
)，对称轴是x＝－；当x＝－时，二次函
2a4a2a2a
2
数y＝ax
2
＋bx＋c有最大(最小)值，当a<0时，函数y有最大值，当a>0时，函数y有最小
值 ．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)


1．求二次函数y＝x
2
＋2x－1顶点的坐标、对称轴、最值，画出其函数图象．
点拨精讲：先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶
点的两边对 称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分
钟)
探究1 将下列二次函数写成顶点式y＝a(x－h)
2
＋k的形式，并写出其开口方 向、顶点
坐标、对称轴．
1
(1)y＝x
2
－3x＋21；(2) y＝－3x
2
－18x－22.
4
1
解：(1)y＝x
2
－3x＋21
4
1
＝(x
2
－12x)＋21
4
1
＝(x
2
－12x＋36－36)＋21
4
1
＝(x－6)
2
＋12
4
∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，12)，对称轴是x＝6.
(2)y＝－3x
2
－18x－22
＝－3(x
2
＋6x)－22
＝－3(x
2
＋6x＋9－9)－22
＝－3(x＋3)
2
＋5
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，5)，对称轴是x＝－3.
点拨精讲：第(2) 小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，
熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以 根据公式直接求解．
探究2 用总长为60 m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而
变化，l是多少时，场地的面积S最大？
(1)S与l有何函数关系？
(2)举一例说明S随l的变化而变化？
(3)怎样求S的最大值呢？
解：S＝l(30－l)
＝－l
2
＋30l(0＜l＜30)


＝－(l
2
－30l)＝－(l－15)
2
＋225

画出此函数的图象，如图．
∴l＝15时，场地的面积S最大(S的最大值为225)． < br>点拨精讲：二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，
同时所画的函 数图象只能是抛物线的一部分．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1． y＝－2x
2
＋8x－7的开口方向是向下，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，1)；当x＝ 2
时，函数y有最大值，其值为y＝1．
2．已知二次函数y＝ax
2
＋2 x＋c(a≠0)有最大值，且ac＝4，则二次函数的顶点在第四
象限．
3．抛物线y＝a x
2
＋bx＋c，与y轴交点的坐标是(0，c)，当b
2
－4ac＝0时， 抛物线与x
轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，交点坐标是(－
b
，0)；当b2
－4ac＞0时，抛物线与x
2a
－b±b
2
－4ac
轴有两个交点，交点坐标是(
，0)；当b
2
－4ac<0时，抛物线与x轴没有交 点，
2a
若抛物线与x轴的两个交点坐标为(x
1
，0)，(x
2< br>，0)，则y＝ax
2
＋bx＋c＝a(x－x
1
)(x－x
2
)．
点拨精讲：与y轴的交点坐标即当x＝0时求y的值；与x轴交点即当y＝0时得到一
个一元二次方程，而此一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，
所以二 次函数与x轴的交点情况也分三种．
注意利用抛物线的对称性，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时， 可先用交点式：y＝
a(x－x
1
)(x－x
2
)，x
1< br>，x
2
为两交点的横坐标．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

22．1.4 二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图象和性质(2)




能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．

重难点：能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．

一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P
39
～
40
，自学“探究、归纳”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式
的方法，完成填空．
总结归 纳：若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为y＝ax
2
＋bx＋c，利用
待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为y＝a(x－h)
2
＋k，
把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x轴的两个交点(x
1
，0)，(x
2
，0)，
可设函数的关系式为y＝a(x－x
1
)( x－x
2
)，把另一点坐标代入式中，可求出解析式．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．二次函数y＝ 4x
2
－mx＋2，当x<－2时，y随x的增大而减小；当x>－2时，y随x
的增 大而增大，则当x＝1时，y的值为22．
点拨精讲：可根据顶点公式用含m的代数式表示对称轴，从而求出m的值．
2．抛物线y＝－x
2
＋6x＋2的顶点坐标是(3，11)．
3．二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图象大致如图所示，下列判断错误的是( D )
A．a<0 B．b>0 C．c>0 D．ac>0

第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a>0)的对称 轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a
－b＋c的值为( A )
A．0 B．－1 C．1 D．2
点拨精讲：根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标 为(－1，0)，将
此点代入解析式，即可求出a－b＋c的值．
5．如图是二次函数y＝a x
2
＋3x＋a
2
－1的图象，a的值是－1．


点拨精讲：可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分
钟)
探究1 已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，求函数的关系< br>式和对称轴．
解：设函数解析式为y＝ax
2
＋bx＋c，因为二次函数的图 象经过点A(3，0)，B(2，－3)，
?
9a＋3b＋c＝0，
?
C(0 ，－3)，则有
?
4a＋2b＋c＝－3，

?
?
c＝－3 .
?
a＝1，
?
解得
?
b＝－2，

?< br>?
c＝－3.
∴函数的解析式为y＝x
2
－2x－3，其对称轴为x＝ 1.
探究2 已知一抛物线与x轴的交点是A(3，0)，B(－1，0)，且经过点C(2，9)． 试求
该抛物线的解析式及顶点坐标．
解：设解析式为y＝a(x－3)(x＋1)，则有
a(2－3)(2＋1)＝9，
∴a＝－3，
∴此函数的解析式为y＝－3x
2
＋6x＋9，其顶点坐标为(1，12)．
点拨精讲：因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代
入即可得一元一次 方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单．而顶点可根据顶点公式
求出．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1． 已知一个二次函数的图象的顶点是(－2，4)，且过点(0，－4)，求这个二次函数的解
析式及与x 轴
交点的坐标．
1
2．若二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图象 过点(1，0)，且关于直线x＝对称，那么它的图
2
象还必定经过原点．



1
3．如图，已知二次函数y＝－x
2
＋bx＋c的图 象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．
2
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
点拨精 讲：二次函数解析式的三种形式：1.一般式y＝ax
2
＋bx＋c；2.顶点式y＝a(x－
h)
2
＋k；3.交点式y＝a(x－x
1
)(x－x
2< br>)．利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知
点的情况设适当形式的解析式，可使解题 过程变得更简单．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)

22．2 二次函数与一元二次方程(1)


1．理解二次函数与一元二次方程的关系．
2．会判断抛物线与x轴的交点个数．
3．掌握方程与函数间的转化．

重点：理解二次函数与一元二次方程的关系；会判断抛物线与x轴的交点个数．
难点：掌握方程与函数间的转化．

一、自学指导．(10分钟)
自学： 自学课本P43～45.自学“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的
关系，会判断抛物线 与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近
似解，完成填空．
总结归 纳：抛物线y＝ax
2
＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x
0
， 那么当x＝
x
0
时，函数的值是0，因此x＝x
0
就是方程ax2
＋bx＋c＝0的一个根．


二次函数的图象与x轴的位置关系有 三种：当b
2
－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；
当b
2
－ 4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b
2
－4ac<0时，抛物线与x轴有0个交点． 这
对应着一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0根的三种情况：有两个不等的实数根，有 两个相等实数
根，没有实数根．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)

1．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？
方程x
2＋x－2＝0的根是：x
1
＝－2，x
2
＝1；
方程x
2
－6x＋9＝0的根是：x
1
＝x
2
＝3；
方程x
2
－x＋1＝0的根是：无实根．
2．如图所示，你能直观看出哪些方程的根？
点拨精讲：此题充分利用二次函数与一元二次方 程之间的关系，即函数y＝－x
2
＋2x＋
3中，y为某一确定值m(如4，3，0) 时，相应x值是方程－x
2
＋2x＋3＝m(m＝4，3，0)的
根．
错误! 错误!,第3题图)
3．已知抛物线y＝ax
2
＋bx＋c的 图象如图所示，则关于x的方程ax
2
＋bx＋c－3＝0的
根是x
1
＝x
2
＝1．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分
钟)
探究 已知二次函数y＝2x
2
－(4k＋1)x＋2k
2
－1的图 象与x轴交于两点．求k的取值
范围．
解：根据题意知b
2
－4ac>0，
即[－(4k＋1)]
2
－4×2×(2k
2
－1)>0，


9
解得k>－.
8
点拨精讲：根据交点的个数来确定 判别式的范围是解题关键，要熟悉它们之间的对应
关系．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(12分钟)
1 ．抛物线y＝ax
2
＋bx＋c与x轴的公共点是(－2，0)，(4，0)，抛物线的对称轴 是x＝1．
点拨精讲：根据对称性来求．
2．画出函数y＝x
2
－2x＋3的图象，利用图象回答：
(1)方程x
2
－2x＋3＝0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0?
(3)x取什么值时，函数值小于0?
点拨 精讲：x
2
－2x＋3＝0的解，即求二次函数y＝x
2
－2x＋3中函数值 y＝0时自变量x
的值．
3．用函数的图象求下列方程的解．
(1)x
2
－3x＋1＝0； (2)x
2
－6x－9＝0；
(3)x
2
＋x－2＝0; (4)2－x－x
2
＝0.
点拨精讲：(3分钟)：本节课所学知识：1.二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与 一元二次方
程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax
2
＋bx＋c＝m的
根．
2．若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c与x轴交点为 (x
0
，0)，则x
0
是方程ax
2
＋bx＋c＝0的根．
3．有下列对应关系：
二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图
象与x轴的位置关系
有两个公共点
只有一个公共点
无公共点
一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0(a≠0)
的根的情况
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
无实数根
b
2
－4ac>0
b
2
－4ac＝0
b
2
－4ac<0
b
2
－4ac的值
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)



22．2 二次函数与一元二次方程(2)


1．会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解．
2．熟练掌握函数与方程的综合应用．
3．能利用函数知识解决一些简单的实际问题．

重点：根据函数图象观察方程的解和不等式的解集．
难点：观察抛物线与直线相交后的函数值、自变量的变化情况．

一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P46.理解二次函数与一元二次方程的关系， 会判断抛物线与x轴的交
点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空． < br>总结归纳：抛物线y＝ax
2
＋bx＋c与x轴的交点坐标实质上是抛物线与直线y＝0 组成
?
?
x＝0，
的方程组的解；抛物线y＝ax＋bx＋c与y轴的交点坐 标实质上是
?
的解；抛
2
?
y＝ax＋bx＋c
?
2
?
?
y＝kx＋b，
物线y＝ax＋bx＋c与直线的交点坐标实质上是< br>?
的解．
2
?
?
y＝ax＋bx＋c
2
二 、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．若二次函数y＝(k－3 )x
2
＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为( D )
A．k＜4 B．k≤4
C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
2．已知二次函数y＝x
2
－2ax＋(b＋c)
2
，其中a，b，c是△ABC的边长，则此二次函数
图象与x轴的交点情况是( A )
A．无交点 B．有一个交点
C．有两个交点 D．交点个数无法确定
3．若二次函数y＝x
2
＋mx＋m－3的图象与x轴交于A ，B两点，则A，B两点的距离
的最小值是( C )
A．23 B．0


C．22 D．无法确定

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分
钟)
探究1 将抛物线y＝x
2
＋2x－4向右平移2个单位，又向上平移3个单位，最后 绕顶
点旋转180°.(1)求变换后新抛物线对应的函数解析式；(2)若这个新抛物线的顶点坐标恰 为
x的整式方程x
2
－(4m＋n)x＋3m
2
－2n＝0的两根， 求m，n的值．
解：(1)y＝x
2
＋2x－4＝(x＋1)
2
－5，
由 题意可得平移旋转后的抛物线解析式为y＝－(x－1)
2
－2＝－x
2
＋2 x－3；
(2)该抛物线顶点坐标为(1，－2)，设方程两根分别为x
1
，x2
，则有x
1
＋x
2
＝4m＋n＝－
?
4m＋ n＝－1，
1，x
1
·x
2
＝3m－2n＝－2，即
?2

?
3m－2n＝－2，
2
?
m＝－
3，
?
?
m＝－2，
解得
?
或
?
5
?
n＝7.
?
?
n＝
3
1
2
1
2
2
点拨精讲：熟练运用二次函数平移规律解决问题，二次函数与一元二次方程的 转化，
以及运用一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法．


探究2 如图是抛物线y＝ax
2
＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其 与x轴一
交点为(3，0)，则由图象可知，不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解集是x ＞3或x＜－1．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．若二次函数y＝ax
2
－x＋c的图象在x轴的下方，则a，c满足关系为( A )
A．a＜0且4ac＞1 B．a＜0且4ac＜1
C．a＜0且4ac≥1 D．a＜0且4ac≤1



2．若二次函数y＝－x
2
＋2x＋k的部分图象如图，关于x的一元二次方程－x
2
＋2x＋k
＝0的一个解 x
1
＝3，则另一个解x
2
＝－1．
点拨精讲：可根据抛物线的对称性求解．
3．二次函数y＝x
2
－8x＋1 5的图象与x轴交于A，B两点，点C在该函数的图象上运
动，若S
△
ABC
＝2，求点C的坐标．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
22．3 实际问题与二次函数(1)


1．经历探索实际问题中两个变量的变化过程，使学生理解用抛物线知识解决最值问题
的思路．
2．初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题．

重难点：用抛物线知识解决实际问题．

一、自学指导．(10分钟)
自 学：自学课本P49～50，自学“探究1”，能根据几何图形及相互关系建立二次函数
关系式，体会二 次函数这一模型的意义．
总结归纳：图象是抛物线的，可设其解析式为y＝ax
2
＋ bx＋c或y＝a(x－h)
2
＋k，再寻
找条件，利用二次函数的知识解决问题；实 际问题中没有坐标系，应建立适当的坐标系，
再根据图象和二次函数的知识解决实际问题．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)



1．用长16 m的绳子围成如图所示的矩形框，使矩形框的面积最大，那么这个矩形框32
的最大面积是_m
2
．
3
2．如图，点C是线段AB上的 一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，
用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断 正确的是( A )
A．当C是AB的中点时，S最小
B．当C是AB的中点时，S最大
C．当C为AB的三等分点时，S最小
D．当C是AB的三等分点时，S最大

第2题图 第3题图
3．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 cm，当水
2343
渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是．
33
点拨精讲：先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分
钟)

探究1 某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为
15 m(图中所有线条长 度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积
是多少？(结果精确到0.01 m)