数学符号比九年级数学学习周报答案

2020年11月20日发(作者：费声福)
九年级数学学习周报答案
解答题
1. （2001上海市10分）如图，已知抛物 线y＝2x2－4x＋m与x轴交于不同的两点A、B，
其顶点是C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交 点．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含有m的式子表示）；
（3）若直线 分别交x 轴、y轴于点E、F，问△BDC与△EOF是否有可能全等，如果可能，
请证明；如果不可能，请说明 理由．

【答案】解：（1）令y=0，则有2x2－4x＋m=0，依题意有，△=16－8 m＞0，∴m＜2。
又∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，∴m＞0.
因此实数m的取值范围为0＜m＜2。
（2）∵ ，∴C（1，m－2）。
令y=0，2x2－4x＋m =0，则 （由（1）知 ）。
∴AB＝ 。
（3）在 中令y=0，得x＝ ，∴E（ ，0）。
令x=0，得y＝1，∴F（0，1）。
∴OE= ，OF=1。
由（2）可得BD= ， CD=2－m。
当OE=BD时， ，解得m =1。
此时OF=DC=1。
又∵∠EOF=∠CDB=90°，∴△BDC≌△EOF（SAS）。∴两三角形有可能全等。 【考点】二次函数综合题，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，二次函数的性质
和应用， 全等三角形的判定。
【分析】（1）由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，因此对应的一元二次方程 的根的判别
式△＞0，求解即可。
（2）直接根据顶点式得到顶点坐标和与x轴的交点坐标，再求AB的长度。
（3）要求判定 △BDC与△EOF是否有可能全都，即指探索全都的可能性，本题已有∠CDE=
∠EOF=90°， BD与OE或OF都可能是对应边，证出其中一种情形成立即可。
2. （2001上海市12分）已 知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC
＝2．
（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
①求证；△ABP∽△DPC
②求AP的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE ＝∠A，PE交直线
BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线 上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出
函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．

【答案】解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC。∴∠A=∠D。
∵∠AB P+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A。
∴∠ABP=∠DPC。∴△ABP∽△DPC。
∴ ，即： ，解得：AP=1或AP=4。
（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ，
∴ ，即： 。
∴ 。
②当CE=1时，AP=2或 。
【考点】动点型问题，二次函数综合 题，等腰梯形的性质，三角形内角和定理，相似三角形
的判定和性质，解高次方程。
【分析】 （1）当∠BPC=∠A时，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠
DPC =180°，因此∠ABP=∠DPC，此时△APB与△DPC相似，那么可得出关于AP，PD，
A B，CD的比例关系式，AB，CD的值题中已有，可以先用AP表示出PD，然后代入上面
得出的比例 关系式中求出AP的长。
（2）①与（1）的方法类似，只不过把DC换成了DQ，那么只要用DC+ CQ就能表示出DQ
了．然后按得出的关于AB，AP，PD，DQ的比例关系式，得出x，y的函数关 系式。
②和①的方法类似，先通过平行得出△PDQ和△CEQ相似，根据CE的长，用AP表示出< br>PD，然后根据PD，DQ，QC，CE的比例关系用AP表示出DQ，然后按①的步骤进行求解
即可：
∵AD∥BC，∴△PDQ∽△CEQ。∴ ，即 。
当点E在BC上时，
式中AD=5，EC=1，AP＝x，CQ＝ ，DQ= ，
∴ ,即 ， 。
解得，适合条件的解为 （ 和 在 之外）。
当点E在BC延长线上时，此时 。
式中AD=5，EC=1，AP＝x，CQ＝ ，DQ= ，
∴ ,即 ， 。
解得， 或 或 ，舍去在 之外的 和 ，
∴ 。
综上所述，当CE＝1时， AP的长为 或 。
3. （上海市2002年10分）如图，直线y＝ x＋2分别交x、y轴于点 A、C，P是该直线上
在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9．
（1）求点P的坐标；
（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧， 作RT⊥x轴，
T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.

【答案】解：（1）由题意，得点C（0，2），点A（－4，0）。
设点P的坐标为（a， a＋2），其中a＞0。
由题意，得S△ABP＝ （a＋4）（ a＋2）＝9，
解得a＝2或a＝－10（舍去）。
而当a＝2时， a＋2＝3，∴点P的坐标为（2，3）。
（2）设反比例函数的解析式为 。
∵点P在反比例函数的图象上，∴ ，k＝6 。
∴反比例函数的解析式为 。
设点R的坐标为（b， ），点T的坐标为（b，0）其中b＞2，那么BT＝b－2，RT＝ 。
①当△RTB∽△AOC时， ，即 ，
∴ ，解得b＝3或b＝－1（舍去）。
∴点R 的坐标为（3，2）。
②当△RTB∽△COA时， ，即 ，
∴ ，解得b＝1＋ 或b＝1－ （舍去）。
∴点R 的坐标为（1＋ ， ）。
综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1＋ ， ）。
【考点】一次函数综合题， 曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解一
元二次方程。
【分析】（1） 根据点在直线上，点的坐标满足方程的性质，求出BP，AB的值从而可求出
点P的坐标。
（ 2）设R点坐标为（x，y），求出反比例函数．又因为△BRT∽△AOC，利用线段比联立
方程组求 出x，y的值。
4.（上海市2002年12分）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的
直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q ．

图123
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观
察得到结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，
并写出函数的定义域；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如 果可能，指出
所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说
明理由．
（图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2和图3备用）
【答案】解：（1）PQ＝PB。证明如下：
过点P作MN∥BC，分 别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND
和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP 都是等腰直角三角形（如图1）。
∴NP＝NC＝MB。
∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°。
而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN＝∠PBM。
又∵∠QNP＝∠PMB＝90°，∴△QNP≌△PMB（AAS）。
∴PQ＝PB。
（2）作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形。
∴PT＝CB＝PN．
又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN（HL）。
∴S四边形PBCQ ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形
PTCN ＝CN2＝（1－ ）2＝ x2－ ＋1
∴y＝ x2－ ＋1（0≤x＜ ）。
（3）△PCQ可能成为等腰三角形。
①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，
此时x＝0。
②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）
此时，QN＝PM＝ x，CP＝ －x，CN＝ CP＝1－ x。
∴CQ＝QN－CN＝ x－（1－ x）＝ x－1。
当 －x＝ x－1时，得x＝1。