数学第三模拟数学的故事

2020年11月21日发(作者：靳文然)

数学的故事，解题的领悟



陕西师范大学数学教学论博士导师

惠州市华罗庚中学数学教育总指
导 罗增儒

老师们，同学们：

下午好．我将通过数学解题的简单故事（案例）来说明数学学习
的有关道理．

事实表明，学生解了大量的题但还“不开窍”的一个基本原因是：
这些学生没有分析过所解的题，也没 有分析过典型的习题，解题常常
只是为了得个答案．因此

●我们应当学会这样一种对 待习题的态度，即把习题看做是精密
研究的对象，而把解答问题看做是设计和发明的目标．
< br>●我们应该有这样的信念，没有任何一道题是可以解决得十全十
美的，总剩下些工作要做，经过充 分的探讨总结，总会有点滴的发现，
总能改进这个解答的理解水平．

●我们应把解答 问题发展为获得新知识和新技能的学习过
程．（而不仅仅是学习结果的巩固）

●我们 的解题实践表明：分析典型例题的解题过程是学会解题的
有效途径，至少在没有找到更好的途径之前，这 是一个无以替代的好
主意．因而，解题学习要经历：简单模仿、变式练习、自发领悟、自
觉领悟 ．

考虑到在这个报告厅里既有学生又有老师，既有初中未毕业的学
生，又有比我中学 教龄更长的高级教师，为了不辜负这个美好的下午，
使每一个人都有所思考、都有所获，我将采用低起点 的故事和高落点
的分析来进行．首先，让我们从一个传颂千古的故事开始。

故事1：反思“曹冲称象”．

第1、曹冲称象的故事．

曹操获得 一头大象，与大家一边看一边议论，“大象到底有多重
呢?”由于当时没有这么大的秤杆，没有先进的仪 器，这就成了一个
问题，一个非常规应用问题．

存在不同水平的“问题解决”．有人 提议把大象宰了，一块一块
地称，这是一种“化整为零”的策略，重量虽然出来了，但珍贵的大
象却不复存在了．曹操的儿子曹冲才7岁，他提出一个聪明的办法：
先把大象赶到一艘大船上，看船身下 沉多少，就沿着水面，在船舷上
画一条线．然后，把大象赶上岸，往船上装石头，直至船下沉到画线的地方为止．最后，称一称船上的石头，石头有多重，就知道大象有
多重了．

理 解曹冲方案需要物理知识（没有物理知识作保证，不能保证石
头与大象等重，难保不会出现“刻舟求剑” 的错误），下面的分析不
涉及物理定律，纯粹数学教育的视角．

第2、问题解决的分析．

我们从数学上分析曹冲的“问题解决”过程主要有两个步骤：（解
题过程的结构分析）

（1）把“整体”的大象对应为等价物：“零散”的石头（映射
--化整为零）；

（2）称一小块一小块石头，得出大象的重量（逆映射--集零为
整）．

一头大象————一堆石块

?↓

大象重量————称出石块总重量

图1

请 注意，曹冲先“化整为零”、再“集零为整”的做法，与愚蠢
的“宰象”方案有思想方法上的共同性，曹 冲的聪明之处在于，既从
别人的不成功想法中吸取了合理成分，又用等价物代替大象．（思维
亮 点：通过物理知识找出等价物）

第3、反思曹冲方案．

曹冲方案的大前提 是“把大象赶上船、再赶上岸”，这当中若有
一次大象不愿走动，那么抬大象的困难与称大象的困难是类 似的．大
象自已走上走下对我们抬石头、称石头能带来什么启示呢?

就此，笔者与一位小学二年级学生进行了如下的对话．

教师：假如我们这块地方是个 平原，一马平川全是黄土，没有石
头，你怎么办?（把等价物从“石头”的传统认识中突破出来——不< br>是唯一的）

学生：那我就把黄土挑上船，直至船沉到画线的地方，然后称黄
土 的重量．（用水也可以）

教师：挑黄土上船、下船，既费工又费时，有没有既省工又省时的更简单办法?（寻找更方便的等价物）

学生：用电子秤直接称大象．

教师：这不行，不能改变当时的技术条件．

学生：组织围观的人代替黄土，让人自己 走上船、自己走下船过
秤，既省工又省时，要不，赶一群羊上船也可以．

第4、反思的启示．

这个办法确实比曹冲的强．由此，可以得出3个结论：

（1）即使是“智慧典范”的解题过程也有创新的空间．

（2）即使是对小学生作解题过程的分析与启引，也能开发出解
题智慧来．

（3）找回被浪费的重要信息是解题分析获得进展的一个有效途
径．在曹冲方案中，“大象自己上船、下 船”本已存在，只不过是在
使用石头等价物时被浪费了，“小学二年级学生”无非是“找回被浪
费的重要信息”．

（罗增儒：从“曹冲称象”的解题愚蠢说起——例说解题过程的
改 进，中学数学教学参考，2000，9）

故事2：看图说事．

第1、事实的陈述．


例1如图2，表示某人从家出发任一时 刻到家的距离（s）与所花时
间（t）之间的关系
编一个故事．

（每人编一
，请根据图象
个故
事）

（图2）

（1）在新疆的一次听课中（2004年 ），同学们说的故事很多，
也得到教师的完全认可，但抽象出来的运动特征基本上都是：

①在OP上匀速直线运动；

②在PQ上静止；

③在QR上匀速直线运动．

课后与教师交流时，我问为什么“在PQ上静止？”，教 师认为，
到家的距离不变，所以是静止．我说，到家（定点）的距离不变（定
长）就是“到定点 （家）的距离为定长（不变）”，这样的点一定是定
点吗？教师立即反应过来．这里的认识封闭在于，面 临“到一定点的
距离为定长”的数学情景时，只想到静止、想不到运动（轨迹！圆周
运动，空间 为球），数与形的双向流动不够通畅．从知识上看，可能
还有“距离”与“路程”的混淆：随着时间的推 移而路程不变，当然是静
止，但随着时间的推移而距离不变，则可能是静止也可能是运动．
< br>（2）值得注意的是，这是“一个很普遍的认识封闭现象”（被一
些教师称为“可能会封闭一辈子 ”的问题），我们在杭州骨干教师培
训班（2005年）、本科生（选修课上）、中学生中进行过多次测 试，
能回答圆周运动（空间为球）的极为个别，每一次都“几乎全军覆
没”．（认识封闭1）< br>
并且，当我们进一步问会有多少种运动方式时，也存在认识封闭
现象，也经常“几乎全 军覆没”，普遍没考虑到在圆周上既可以运动又
可以静止，既可以前进又可以来回走动，既可以原路返回 又可以另路
返回．（认识封闭2）

第2、案例的初步分析．

（1 ）题目自然涉及“圆”的概念和逻辑“或”，触及“明确知
识的认识封闭现象”（顺便提起：以
为判别式的二次方程有条），并
且在PQ上有明显的3个层次．

①一种情况：在PQ 上静止．有静无动,能背熟圆的定义，面临圆
（或球）的情景时看不见圆（或球）．

②两种情况：看到PQ静止时全静止，看到PQ运动时全运动．有
进无退，逻辑“或”对PQ的全程．< br>
③无数种情况．看到PQ静止或圆周运动，可以前进也可以后
退．有静有动，有进有退 ，逻辑“或”对PQ的每一点．

（2）考察了数学的核心知识——函数，广泛涉及：

①函数的概念，包括定义域、值域、对应关系．

②函数的表示方法，突出了一次函数的解析式与图象这两种表示
法．

③一次函数的增减性与图象形状的关系．

④通过生活情景和图象很自然的出现分段定义函数．

⑤考察学生分析实际情景，认识函数变化规律的基本能力．

（3）设计为开放题．

①需要学生将一次函数的图象和性质赋予实际意义，而学生根 据
自己的生活体验和对数学知识的理解，编拟出来的实际情节将是不惟
一的．

②每个学生都可以回答问题，但不同的水平到达不同的层次

（罗增儒．教育叙事：圆的遭遇．中学数学教学参考（初中版），
2007，3）

故事3：什么是数学解题

例2有两个圆，一个的半径等于地球的半径，另一 个的半径
等于一枚硬币的半径．现将两圆向外膨胀（相
当于作同心圆），使周长都增加 1米，问哪
个圆的半径伸长得较多？

解直观上想，相对于地球赤道而言，增加1米实 在微不足道；而
硬币的周长增加1米其膨胀肯定更加显著．答案应是小圆的半径伸长
得较
多．


这是一个常数，因而，大小不等两圆的半径伸长是相同的．

感悟直观情景给了我们一个错觉， 而数学的理性思维恢复了它的
原貌．这就是数学解题，通过推理、论证得出一个符合事实的结论．数学解题可以促进数学的理解．

例3 请阅读下面的事实：某校高中一年级有两个班，教导 处工
作人员统计期末数学考试成绩时，计算出每一个班中男生的及格率都
比女生的及格率高（计 算没有错误），于是得出全年级男生及格率比
女生及格率高的结论．校长听完他的汇报后，根据同样的成 绩表却得
出全年级女生及格率比男生及格率高的相反结论．事实证明校长是对
的，工作人员感到 费解．

请通过数学方法说服工作人员．

方法1：举反例

班级

男女人
数

男25
人

甲班

女30
人

男29
人

乙班

女24
人

及格人
23

数

及格率


27

17

14

92%

90%

58．
6%

58．
3%





感悟这也是数学解题，通过推理、论证推翻一个不符合事实的
结论．
数学解题，就是消除已知与未知之间的障碍，就是解决现有认识
与客观需要之间的矛盾．数学解题， 既有证实又有证伪．

数学解题既有确认又有理解和发现的功能．是三大功能

故事4:即使我很笨，我也能学会聪明

例4已知3个空汽水瓶可以换1整瓶汽水．现 有10整瓶汽水．若
不添钱，问最多还可喝几瓶汽水？（整瓶汽水指瓶子带盖装好的汽水）

第1．解法l可作3次对换：

第1次，用原有的10个空瓶去换3整瓶汽水，剩1个空瓶．

第2次，用4个空瓶去换l整瓶汽水，剩1个空瓶．

第3次，2个空瓶换不来1整瓶，但可先借1个空瓶，换一整瓶，
喝完后，还空瓶．

最多共可喝

3+1+1=5
瓶．

第2．反思分析这个解 法分3步完成对换，每步都重复着“3空
换1整”的要求．其中最富于智慧的应是第3步，对其作正面思 考：
第3步的聪明就在于“借一还一”吗？（是不是？）它的实质是什么？
（谁来说）我们通过 下图的直观启发


学生立即透过“借一还一”的技术表象而领悟到实质：2个空瓶< br>可以换来一瓶里的“汽水”（不包括瓶子）．

可见，第3步隐含着问题的本质，已知条 件中“3个空汽水瓶可
以换1整瓶汽水”等价于“2个空瓶子”可以换1个瓶里的“汽水”．于
是分三步完成可以合并为1步（整体处理）：

解法2依题意，2个“空瓶”可以换1个瓶里的“汽水”，现有
10个空瓶，最多可换

瓶里的“汽水”．

第3．感悟也许，我们一开始并不能抓住已知条件的“本质”，< br>但解法1是可以做到的，通过对“初步解法”的分析，就有机会找回
被浪费了的重要信息，获得更 接近问题深层结构的解法——即使我很
笨，我也能学会聪明．并且，一旦抓住了题目的本质，推广立即就 成
为可能：

例4-1已知
a
个空汽水瓶可以换
c
整瓶汽水．现有
b
整瓶汽水．若
不添钱，则最多还可喝
bc/a-c
瓶汽水．（
a,b,c

为正整数，
a
>
c

）


例5已知
a,b,c
为互不相等的实数，且
，求
（1951年高考数学第4题）

x+y+z

．

第1．由于直接对三个比例式用等比定理会出现分母为0的问题

①

②

所以，有一个流行的说法，此题不能用等比定理．我的老师当学生的时候人们这样说，到了我的学生也当老师的时候，人们还是这样
说．设比例系数

是一个经典的处理（当年高考题的标准答案），并被
认为是最关键的步骤：

解法1设，③

则有
得


④
⑤

⑥





=0．

⑦

第2．反思分析整体分解这个解题过程我们看到三个步骤（解题
过程的结构分析）：

第1步，引进参数
k
，把三个外形不同而比值相等的代数
式



用同一个符号
k

来表示，可以有效防止“形异”对“ 值同”的干扰．（体
现了“用字母表示数的思想”和“换元法”的应用）

第2步，把
x,y,z
与
a,b,c
分离，以便于计算
x+y+z
的值 ．（方法就是
变形）

第3步，计算
x+y+z
的值，这是实质性的 运算，其最基本的想
法是转化为
a,b,c
有关式的计算，关键步骤是第⑤式．（有“ 转换化
归的思想”）

根据这个分析，可见设比例系数
k

的作用有两个：

第一，有效防止“形异”对“值同”的干扰；

第 二，把
x,y,z
与
a,b,c
分离以便于计算
x+y+z
的值．

但这都只是辅助步骤，前两步并未开始
x,y,z
的求和，真正产生
解题实质性进展、并反映问题深层结构的是第３步，抓住实质性的第
3步提出问题：

（1）（正面思考）有与
k

功能类似的替代式吗？

（2）（反面思考）不用
k

还能计算
x
+
y+
z
吗？
回应1如果对
很清楚，那就可以把第③式直接代入式⑤，取代< br>k

得


“等值”看得