数学考研计划世界著名数学家的故事

2020年11月21日发(作者：夏如爱)
关于无理数的发现
古希腊 的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的
一条信条.有一天,这 个学派中的一个成员希伯斯(Hippasus)突然发现边长为1的正方形的对
角线是个奇怪的数,于 是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥
拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯 命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达
哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃, 然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献
出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为无理 数.无理数的发现,导致了第一次数学危机,
为数学的发展做 出了重大贡出了重大贡献. 1947年小约翰-福布斯-纳什(罗素-克洛饰，
Russell Crowe)进入普林斯顿大学学 习并研究数学。这个神秘的来自西弗吉尼亚的天才并没
有上预备班的经历，也没有遗产或富足的亲戚资助 他进入“常春藤盟校”(Ivy League)----但
普林斯顿最具声誉的奖学金证明他确实属于普林斯顿这个团队。 这对纳什或 是对普林斯顿
来说是很不容易的。优雅的社会交际他根本不屑一顾，上课也提不起什么兴致。他整天沉迷
着的只是一件事：寻找一个真正有创意的理论。他深信这才是他应该从事的事情。 普林斯
顿的 数学系竞争十分激烈，纳什的一些同学也十分乐于看到纳什的失败。但是，他们仍然十
分容忍他，有意无 意地怂恿他当个伟人。一个晚上他与一些同学在当地洒吧娱乐，当时他们
对一个热情的金发碧眼女人的反 应引发了他的灵感。当纳什观察着这些竞争对手时，常常在
他脑海里酝酿的想法突然变得清晰起来。他随 之撰写出了关于博奕论的论文----“竞争中的
数学”----大胆地将现代经济之父亚当- 斯密(Adam Smith)的理论作出了不同的解释。这个已
经被人们接受了150年的思想突然变 得陈旧过时了，纳什的生活也从此发生了改变。 纳什
后来获得了在麻省理工学院(MIT)进行研究和 教学的工作，这可是一个众人觊觎的工作，但
是他对这些并不满意。科学曾为美国在第二次世界大战中的 获胜发挥了巨大的作用。现在，
冷战盛行，纳什渴望在这场新的冲突中发挥自己的优势。他的愿望得到了 实现，神秘兮兮的
威廉-帕彻(William Parcher，埃德-哈里斯饰，Ed Harris)招募他参加一个绝密的任务，破解敌
人的密码。 纳什在麻省理工学院工作的同时，全身 心地投入到这个耗神的工作中。在这里，
纳什受到了一种全新的挑战，但是这次的挑战却是来自光彩照人 的艾丽西亚-拉迪(Alicia
Larde，珍妮弗-康奈利饰，Jennifer Connelly),一个物理系学生，她向纳什引入了一个从来没
有认真考虑过的观念----爱情。 不久，纳什和艾丽西亚结婚了，但是他不能告诉她他正在为
帕彻所从事的危险项目。这项工作稍有不慎泄 了密，后果将不堪设想。纳什一直是悄悄地在
干，他被这项工作深深地迷住了，并最终迷失在这些无法抵 御的错觉中。经诊断，他得的是
妄想型精神分裂症。 纳什的遭遇让艾丽西亚吓坏了，她挣扎在被毁天才 爱的重压下。随着
每一天都似乎会给他们带来新的恐怖，这对令人羡慕的伴侣已失去了当初让人羡慕的份 儿。
但是艾丽西亚仍然在她爱着的男人身上发现了他的超凡魅力，这也是支撑她对他承诺的源泉
所在。受到她那坚贞不渝的爱情和忠诚的感动，纳什最终决定与这场被认为是只能好转、无
法治愈的疾病 作斗争。 谦卑的纳什目标很简单，但要实现这些目标却是难上加难。处在病
魔的重压之下，他仍然被那 令人兴奋的数学理论所驱使着，他决心寻找自己的恢复常态的方
法。绝对是通过意志的力量，他才一如既 往地继续进行着他的工作，并于1994年获得了诺
贝尔奖。与此同时，他在博奕论方面颇具前瞻性的工 作成为20世纪最具影响力的理论，而
纳什也成了一个不仅拥有美好情感，并具有美丽心灵的卓越的数学 家
两位卓越的女数学家
第一位女教授——苏菲娅，柯瓦列夫斯卡娅
苏菲娅 出生在沙皇俄国立陶宛边界的一座贵族庄园里，他父亲是退役的炮兵团团长．她
很小就对数学很痴迷，经 常对着墙壁上的数学公式和符号，一看就是好半天，原来，她房间
里的糊墙纸是用高等数学的讲义做成的 ．苏菲娅14岁时便能够独立推导出三角公式，被称
为“新巴斯卡”．随着时间的流逝，苏菲娅逐渐长大 成人，她对数学的兴趣也与日俱增．但
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那时正处于沙皇时代，妇女是不允许注册高等学校 学习的．而她的父亲又一心想让她像别的
贵族姑娘一样，步人社交界，对她想学数学的心愿横加阻拦．于 是，苏菲娅不顾父母的反对，
与年轻的古生物学家柯瓦列夫斯基“假结婚”，来到德国的海德尔堡．但在 那里，妇女听课
要有一个专门的委员会认可才行．经过努力，她被允许旁听基础课．在此期间，她勤奋好 学，
掌握了深奥的数学知识，轰动了整个海德尔堡，成为人们谈论的话题．可她只被允许听了三
个学期的课，便不得不离开了那里．苏菲娅深造心切，又慕名前往柏林工学院，打算去听著
名数学家维尔 斯特拉斯的课．但遗憾的是，柏林的大学不允许妇女听教授的课，苏菲娅到处
吃闭门羹，最后，只好抱一 线希望登门到维尔斯特拉斯家求教．维尔斯特拉斯（1815—1899）
是一位德高望重的老数学家， 他接见了苏菲娅，并向他提了一些超椭圆方面的问题，这些问
题在当时都很新颖，没想到这位貌不惊人的 女青年，解题技巧娴熟，思维方法独特，给老教
授留下了深刻的印象．于是，维尔斯特拉斯破例答应苏菲 娅每星期日在家里给她上课，每周
还另抽一日到她的寓所登门授课．这样，苏菲娅在维尔斯特拉斯的悉心 指导下学习了4年．她
回忆这段经历时说：“这样的学习，对我整个数学生涯影响至深，它最终决定了我 以后的科
学研究方向．” 苏菲娅得到了维尔斯特拉斯的鼓励和指点．更加有了攀登科学高峰的勇气．她
经过了4年的刻苦努力．写出了三篇出色的论文，引起了强烈的反响．这是史无前例的开创
性工 作．1874年，在维尔斯特拉斯的推荐下，24岁的苏菲娅荣获了德国第一流学府——哥
廷根大学博士 学位，成为世界上首屈一指的女数学家． 获得博士学位的苏菲娅，怀若一颗
赤子之心回到了祖国，可俄 国还是同她出国之前一样黑暗．她在祖国无法立足，只好又回到
柏林．她根据维尔斯特拉斯的建议，研究 光线在晶体中的折线问题．在1883年奥德赛科学
大会上，她以出色的研究成果作了报告．可命运偏偏 与她作对，当年春天．她丈夫因破产而
自杀．听到这个不幸的消息，肝肠寸断．她把自己关在房间里，四 天不吃不喝，第五天昏迷
过去．不幸的遭遇，并没有打跨苏菲娅的斗志，第六天苏醒过后又开始顽强的工 作．在瑞典
数学家米达?列佛勒的帮助下，经过一番周折，苏菲娅才得以担任斯德哥尔摩大学的讲师，< br>但当地报纸公然对她攻击：“一个女人当教授是有害和不愉快的现象——甚至，可以说那种
人是一 个怪物．”但苏菲娅无所畏惧，像男人那样走上了讲台．以生动的讲课，赢得了学生
的热爱，击败了“男 人样样胜过女人”的偏见．一年后，她被正式聘为高等分析教授，后来
又兼聘为力学教授．苏菲娅在瑞典 的任期满了，她一心想回国任教，可没能成功，只好在国
外继续任教． 1891年，苏菲娅患肺炎因误 诊导致病情恶化，与世长辞．她为争取妇女的自
由斗争做出了艰苦努力，是妇女攀登科学高峰的光辉榜样 ．
在逆境中成长的女数学家-----诺德
1933年1月，希特勒一上台，就发布 第一号法令，把犹太人比作“恶魔”，叫嚣着要
粉碎“恶魔的权利”．不久，哥廷根大学接到命令，要学 校辞退所有从事教育工作的纯犹太
血统的人．在被驱赶的学者中，有一名妇女叫爱米?诺德（A．E．N oether 1882—1935），她
是这所大学的教授，时年5l岁．她主持的讲座被迫停止，就 连微薄的薪金也被取消．这位
学术上很有造诣的女性，面对困境，却心地坦然，因为她一生都是在逆境中 度过的．诺德生
长在犹太籍数学教授的家庭里，从小就喜欢数学．1903年，21岁的诺德考进哥廷根 大学，
在那里，她听了克莱因、希尔伯特、闽可夫斯基等人的课，与数学解下了不解之缘．她学生
时代就发表了几篇高质量的论文，25岁便成了世界上屈指可数的女数学博士．诺德在微分
不等式、环 和理想子群等的研究方面做出了杰出的贡献．但由于当时妇女地位低下，她连讲
师都评不上，在大数学家 希尔伯特的强烈支持下，诺德才由希尔伯特的“私人讲师”成为哥
廷根大学第一名女讲师．接下来，由于 她科研成果显著，又是在希尔伯特的推荐下，取得了
“编外副教授”的资格，虽然她比起很多“教授”更 有实力．
诺德热爱数学教育事业，善于启发学生思考．她终生未婚，却有许许多多“孩子”．她与学生交往密切，和蔼可亲，人们亲切地把她周围的学生称为“诺德的孩子们”．我国代数
2 < br>学家曾炯之就是诺德“孩子”们中的一个．在希特勒的淫威下，诺德被迫离开哥廷根大学，
去了美 国工作．在美国，她同样受到学生们的尊敬和爱戴，同样有她的“孩子们”．1934年
9月，美国设立 了以诺德命名的博士后奖学金．不幸的是，诺德在美国工作不到两年，便死
于外科手术，终年53岁．她 的逝世，令很多数学同僚无限悲痛．爱因斯坦在《纽约时报》
发表悼文说：“根据现在的权威数学家们的 判断，诺德女士是自妇女受高等教育以来最重要
的富于创造性数学天才．”
几何之父——欧几里德
我们现在学习的几何学，是由古希腊数学家欧几里德(公无前330 —前275)创立的。他在
公元前300年编写的《几何原本》，2000多年来都被看作学习几何的标 准课本，所以称欧几
里德为几何之父。欧几里德生于雅典，接受了希腊古典数学及各种科学文化，30岁 就成了
有名的学者。应当时埃及国王的邀请，他客居亚历山大城，一边教学，一边从事研究。古希
腊的数学研究有着十分悠久的历史，曾经出过一些几何学著作，但都是讨论某一方面的问题，
内容不够 系统。欧几里德汇集了前人的成果，采用前所未有的独特编写方式，先提出定义、
公理、公设，然后由简 到繁地证明了一系列定理，讨论了平面图形和立体图形，还讨论了整
数、分数、比例等等，终于完成了《 几何原本》这部巨著。《原本》问世后，它的手抄本流
传了1800多年。1482年印刷发行以后，重 版了大约一千版次，还被译为世界各主要语种。
13世纪时曾传入中国，不久就失传了，1607年重新 翻译了前六卷，1857年又翻译了后九卷。
欧几里德善于用简单的方法解决复杂的问题。他在人的身影 与高正好相等的时刻，测量了金
字塔影的长度，解决了当时无人能解的金字塔高度的大难题。他说：“此 时塔影的长度就是
金字塔的高度。”欧几里德是位温良敦厚的教育家。欧几里得也是一位治学严谨的学者 ，他
反对在做学问时投机取巧和追求名利，反对投机取巧、急功近利的作风。尽管欧几里德简化
了他的几何学，国王（托勒密王）还是不理解，希望找一条学习几何的捷径。欧几里德说：
“在几何学里 ，大家只能走一条路，没有专为国王铺设的大道。”这句话成为千古传诵的学
习箴言。一次，他的一个学 生问他，学会几何学有什么好处?他幽默地对仆人说：“给他三个
钱币，因为他想从学习中获取实利。”
20世纪最杰出的数学家之一的冯-诺依曼
约
翰·冯·诺依曼 （ John von Neumann，1903－1957），美籍匈牙利人，1903年12月28
日生于匈牙利 的布达佩斯，父亲是一个银行家，家境富裕，十分注意对孩子的教育．冯·诺
依曼从小聪颖过人，兴趣广 泛，读书过目不忘．据说他6岁时就能用古希腊语同父亲闲谈，
一生掌握了七种语言．最擅德语，可在他 用德语思考种种设想时，又能以阅读的速度译成英
语．他对读过的书籍和论文．能很快一句不差地将内容 复述出来，而且若干年之后，仍可如
此．1911年一1921年，冯·诺依曼在布达佩斯的卢瑟伦中学 读书期间，就崭露头角而深受老
师的器重．在费克特老师的个别指导下并合作发表了第一篇数学论文，此 时冯·诺依曼还不
到18岁．1921年一1923年在苏黎世联邦工业大学学习．很快又在1926年 以优异的成绩获
得了布达佩斯大学数学博士学位，此时冯·诺依曼年仅22岁．1927年一1929年 冯·诺依曼相
继在柏林大学和汉堡大学担任数学讲师。1930年接受了普林斯顿大学客座教授的职位， 西
渡美国．1931年他成为美国普林斯顿大学的第一批终身教授，那时，他还不到30岁。1933< br>年转到该校的高级研究所，成为最初六位教授之一，并在那里工作了一生． 冯·诺依曼是普
林斯 顿大学、宾夕法尼亚大学、哈佛大学、伊斯坦堡大学、马里兰大学、哥伦比亚大学和慕
尼黑高等技术学院 等校的荣誉博士．他是美国国家科学院、秘鲁国立自然科学院和意大利国
立林且学院等院的院士． 1954年他任美国原子能委员会委员；1951年至1953年任美国数
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学会主席． 1954年夏，冯·诺依曼被发现患有癌症，1957年2月8日，在华盛顿去世，终
年54岁． 被人们称为“现代电子计算机之父”。
贡献 ----------最简单的来说 他的精髓贡献是2点：2进制思想与程序内存思想
回顾20世纪科学技术的辉煌发展时，不能不 提及20世纪最杰出的数学家之一的冯·诺
依曼．众所周知，1946年发明的电子计算机，大大促进了 科学技术的进步，大大促进了社
会生活的进步．鉴于冯·诺依曼在发明电子计算机中所起到关键性作用， 他被西方人誉为计
算机之父．而在经济学方面，他也有突破性成就，被誉为“博弈论之父”。在物理领域 ，冯·诺
依曼在30年代撰写的《量子力学的数学基础》已经被证明对原子物理学的发展有极其重要的价值。在化学方面也有相当的造诣，曾获苏黎世高等技术学院化学系大学学位。与同为犹
太人的哈 耶克一样，他无愧是上世纪最伟大的全才之一。
冯·诺依曼在数学的诸多领域都进行了开创性 工作，并作出了重大贡献．在第二次世界
大战前，他主要从事算子理论、集合论等方面的研究．1923 年关于集合论中超限序数的论
文，显示了冯·诺依曼处理集合论问题所特有的方式和风格．他把集会论加 以公理化，他的
公理化体系奠定了公理集合论的基础．他从公理出发，用代数方法导出了集合论中许多重 要
概念、基本运算、重要定理等．特别在1925年的一篇论文中，冯·诺依曼就指出了任何一种
公理化系统中都存在着无法判定的命题．
1933年，冯·诺依曼解决了希尔伯特第5问题， 即证明了局部欧几里得紧群是李群．1934
年他又把紧群理论与波尔的殆周期函数理论统一起来．他还 对一般拓扑群的结构有深刻的认
识，弄清了它的代数结构和拓扑结构与实数是一致的． 他对算子代数进 行了开创性工作，
并奠定了它的理论基础，从而建立了算子代数这门新的数学分支．这个分支在当代的有 关数
学文献中均称为冯·诺依曼代数．这是有限维空间中矩阵代数的自然推广． 冯·诺依曼还创立
了博弈论这一现代数学的又一重要分支． 1944年发表了奠基性的重要论文《博弈 论与经济
行为》．论文中包含博弈论的纯粹数学形式的阐述以及对于实际博弈应用的详细说明．文中还包含了诸如统计理论等教学思想．冯·诺依曼在格论、连续几何、理论物理、动力学、连
续介质力 学、气象计算、原子能和经济学等领域都作过重要的工作．
冯·诺依曼对人类的最大贡献是对计 算机科学、计算机技术、数值分析和经济学中的博
弈论的开拓性工作．
现在一般认为E NIAC机是世界第一台电子计算机，它是由美国科学家研制的，于1946
年2月14日在费城开始运 行．其实由汤米、费劳尔斯等英国科学家研制的科洛萨斯计算
机比ENIAC机问世早两年多，于194 4年1月10日在布莱奇利园区开始运行．ENIAC机证
明电子真空技术可以大大地提高计算技术，不 过，ENIAC机本身存在两大缺点：（1）没有
存储器；（2）它用布线接板进行控制，甚至要搭接几 天，计算速度也就被这一工作抵消
了．ENIAC机研制组的莫克利和埃克特显然是感到了这一点，他们 也想尽快着手研制另一
台计算机，以便改进．
1944年，诺伊曼参加原子弹的研制工 作，该工作涉及到极为困难的计算。在对原子核
反应过程的研究中，要对一个反应的传播做出“是”或“ 否”的回答。解决这一问题通常需要通
过几十亿次的数学运算和逻辑指令，尽管最终的数据并不要求十分 精确，但所有的中间运算
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过程均不可缺少，且要尽可能保持准确。他所在的洛·斯阿拉莫 斯实验室为此聘用了一百多
名女计算员，利用台式计算机从早到晚计算，还是远远不能满足需要。无穷无 尽的数字和逻
辑指令如同沙漠一样把人的智慧和精力吸尽。
被计算机所困扰的诺伊曼在 一次极为偶然的机会中知道了ENIAC计算机的研制计划，
从此他投身到计算机研制这一宏伟的事业中 ，建立了一生中最大的丰功伟绩。
1944年夏的一天，正在火车站候车的诺伊曼巧遇戈尔斯坦 ，并同他进行了短暂的交谈。
当时，戈尔斯坦是美国弹道实验室的军方负责人，他正参与ENIAC计算 机的研制工作。在
交谈在，戈尔斯坦告诉了诺伊曼有关ENIAC的研制情况。具有远见卓识的诺伊曼为 这一研
制计划所吸引，他意识到了这项工作的深远意义。
冯·诺依曼由ENIAC机研 制组的戈尔德斯廷中尉介绍参加ENIAC机研制小组后，便带
领这批富有创新精神的年轻科技人员，向 着更高的目标进军．1945年，他们在共同讨论的
基础上，发表了一个全新的存储程序通用电子计算机 方案AC（Electronic Discrete
Variable AutomaticCom pUter的缩写）．在这过程中，冯·诺依曼显示出他雄厚的数理基础知识，
充分发挥了他的顾问作用 及探索问题和综合分析的能力。诺伊曼以“关于EDVAC的报告草
案”为题，起草了长达101页的总 结报告。报告广泛而具体地介绍了制造电子计算机和程序
设计的新思想。这份报告是计算机发展史上一个 划时代的文献，它向世界宣告：电子计算机
的时代开始了。
EDVAC方案明确奠定了 新机器由五个部分组成，包括：运算器、逻辑控制装置、存储
器、输入和输出设备，并描述了这五部分的 职能和相互关系．报告中，诺伊曼对EDVAC中
的两大设计思想作了进一步的论证，为计算机的设计树 立了一座里程碑。
设计思想之一是二进制，他根据电子元件双稳工作的特点，建议在电子计算机 中采用二
进制。报告提到了二进制的优点，并预言，二进制的采用将大简化机器的逻辑线路。
现在使用的计算机，其基本工作原理是存储程序和程序控制，它是由世界著名数学家
冯·诺 依曼提出的。美籍匈牙利数学家冯·诺依曼被称为“计算机之父”。
实践证明了诺伊曼预言的正 确性。如今，逻辑代数的应用已成为设计电子计算机的重要
手段，在EDVAC中采用的主要逻辑线路也 一直沿用着，只是对实现逻辑线路的工程方法和
逻辑电路的分析方法作了改进。
程序内 存是诺伊曼的另一杰作。通过对ENIAC的考察，诺伊曼敏锐地抓住了它的最大
弱点－－没有真正的存 储器。ENIAC只在20个暂存器，它的程序是外插型的，指令存储在
计算机的其他电路中。这样，解 题之前，必需先相好所需的全部指令，通过手工把相应的电
路联通。这种准备工作要花几小时甚至几天时 间，而计算本身只需几分钟。计算的高速与程
序的手工存在着很大的矛盾。
针对这个问 题，诺伊曼提出了程序内存的思想：把运算程序存在机器的存储器中，程序
设计员只需要在存储器中寻找 运算指令，机器就会自行计算，这样，就不必每个问题都重新
编程，从而大大加快了运算进程。这一思想 标志着自动运算的实现，标志着电子计算机的成
熟，已成为电子计算机设计的基本原则。
1946年7，8月间，冯·诺依曼和戈尔德斯廷、勃克斯在EDVAC方案的基础上，为普林
斯顿大学 高级研究所研制IAS计算机时，又提出了一个更加完善的设计报告《电子计算机
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