数学题六年级上册高中高一数学必修1各章知识点总结

2020年11月21日发(作者：霍维德)
高中高一数学必修1各章知识点总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫
元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元 素是确定的，任何一个对象或者是
或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一 个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一
个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需
比 较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2．集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集
合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合 中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个 集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}

4、集合的分类：

1．有限集 含有有限个元素的集合

2．无限集 含有无限个元素的集合

3．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

结论：对于两个 集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，
同时,集合B的任何一个元素都是集合A的 元素，我们就说集合A等于集合B，
即：A=B

① 任何一个集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1 B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

③如果 AíB, BíC ,那么 AíC

④ 如果AíB 同时 BíA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B
的交集．

记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，
叫做A,B的并集 。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,

A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集与补集

（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于
A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

记作： CSA 即 CSA ={x | x?S且 x?A}

S

CsA

A

（2）全集：如果集合S含有我 们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就
可以看作一个全集。通常用U来表示。

（3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U



二、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、 B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对
于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯 一确定的数f(x)和它对应，那么
就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f( x)，x∈A．其中，x
叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函
数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：2如果只 给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即
是指能使这个式子有意义的实数的 集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区
间的形式．

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等
式组的主要依据 是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)
如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各
部分都有意义的x的值组 成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题
中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：（1）构成函数三个要素是 定义域、对应关系和值域．由于值域是由定
义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应 关系完全一致，即
称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域
和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方
法：①表达式相同；② 定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数 的值域都
应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各
三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值
y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f (x)，反过来，以满足y=f(x)的每一
组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) ,
x∈A }

图象C一般 的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的
直线最多只有一个交点的若干条曲 线或离散点组成。

(2) 画法

A、描点法：根据函数解析式和定义 域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)
为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法（请参考必修4三角函数）

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

(3)作用：

1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解
题的速度。

发现解题中的错误。

4．快去了解区间的概念

（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区
间的数轴表示．

5．什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个 确定的对应法则f，使对于
集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那 么
就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”

给定 一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，
我们把元素b叫做元素a 的象，元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，① 集合A、B及对应法
则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与< br>从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）
集合A中的每 一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A
中不同的元素，在集合B中对应的象可以 是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的
每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直 线、折线、离散的点等等，注意判
断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图
象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的
特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量
出函数值

补充一：分段函数 （参见课本P24-25）

在定义域的不同部 分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时
必须把自变量代入相应的表达式。分段函数 的解析式不能写成几个不同的方程，
而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注 明各部分的
自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2 ）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

补充二：复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合
函数。

例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)

7．函数单调性

（1）．增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区 间D内的任意两个自
变量x1，x2，当x1数。区间D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1
（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或 减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上
具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左 到右是上升的，减函数的
图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

1 任取x1，x2∈D，且x1和配方）；4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)
在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其
规律如下：

函数
单调性

u=g(x)
增
增
减
减

y=f(u)
增
减
增
减

y=f[g(x)]
增
减
减
增


注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间
和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调
性吗？

8．函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都 有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫
做偶函数．

（2）．奇函数