初中数学分式最新人教版高中数学必修一知识点规纳

2020年11月21日发(作者：庾怿)
人教版高中数学必修一知识点规纳
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性,
(2) 元素的互异性,
(3) 元素的无序性,
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
? 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
1）列举法：{a,b,c……}
2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出 来，写在大括号内表示集合的方法。
{x?R|x-3>2} ,{x| x-3>2}
3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4） Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
? 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型交集并集补集
定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），
即A B=｛x|x A，且x B｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作
‘A并B’），即A B ={x|x A，或x B})．
设S是一个集合，A是 S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子
集A的补集（或余集）
记作，即
CSA= 韦恩图示 性质 A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ．

例题：
1.下列四组对象，能构成集合的
是 （ ）
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合{a，b，c }的真子集共有 个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .
4.设集合A= ，B= ，若A B，则的取值范围是
5.50名学生 做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正
确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合
M= .
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x|x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，
A∩C=Φ，求m的值


二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定 的对应关系f，使对于集合A中
的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么 就称f：A→B为从集合
A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量 ，x的取值范围A叫
做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函
数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有
意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域
一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2．值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵
坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)
均满足函数关系y=f(x)，反过 来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，
y)，均在C上 .
(2) 画法
A、描点法：
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某 一个确定的对应法则f，使对于集合A中的
任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 ，那么就称对应f：A B为从
集合A到集合B的一个映射。记作f：A→B
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，
x2，当x1函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 ＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2）图象的特点
如果函数y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格
的)单调性，在单调区 间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降
的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
○1 任取x1，x2∈D，且x1○2 作差f(x1)－f(x2)；
○3 变形（通常是因式分解和配方）；
○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y =f(u)的单调性密切相关，其规律：“同
增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成
其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x )，那么f(x)就叫做偶函
数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定 义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇
函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
○2确定f(－x)与f(x)的关系；
○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－
x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;
(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
（1）.函数 的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出
它们之间的对应法则，二 是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
○2 利用图象求函数的最大（小）值
○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b] 上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b
处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x= b
处有最小值f(b)；
例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴ ⑵
2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _
3.若函数的定义域为，则函数的定义域是
4.函数 ，若，则=
6.已知函数，求函数，的解析式
7.已知函数满足，则= 。
8.设是R上的奇函数，且当时, ,则当时 =
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴ (2)
10.判断函数的单调性并证明你的结论．
11.设函数判断它的奇偶性并且求证：．

三角函数公式
两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB- sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctg ActgB-1)/(ctgB+ctgA)
ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A)
ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√
((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+co sA))tan(A/2)=-
√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√ ((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√
((1+cosA)/((1-c osA))
积化和差 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
和差化积 sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)