数学接力赛高中数学必修一三角函数图像性质总结(精华版).doc

2020年11月21日发(作者：褚人获)




一．正弦、余弦、正切函数图象和性质

函

正弦函数 y sin x, x R




余弦函数 y cos x, x R

正切函数
y tan x, x k
数
有
界
性
定
义

域




2
有界




有界


无界




x | x k

(

, )

( , )
, k

Z
2


当
x

[ 1,1]

[ 1,1]

2k (k
Z ) 时， y
max
1 当 x
2
x
2
1


2k ( k
Z) 时， y
max

1
( ,

)




值
域


当

2k (k Z ) 时 ，


当 x

2k (k Z )


时 ，





y
min

y


min
1


周
期
性
奇
偶
性



是周期函数，最小正周期
T 2

是周期函数，最小正周期

T

2

T


奇函数，图象关于原点对称












偶函数，图象关于
y
轴对称











奇函数，图象关于原点对称



在 [
2
2k ], ( k Z)

2k ,2


2k ], (k



Z ) 上
在
(
在
[

单

2


2 k ,








2

k ,k ),( k Z )
2


是单调增函数









上是单调增函数

上是单调增函数

调






在

[
2
2k ,
3

2







2k ], (k Z )
在 [ 2k ,
调减函数
2k
], (k Z ) 上 是 单
性
上是单调减函数

















对
称

x k

, ( k Z )

2
x k , (k

Z )




轴
对
( k ,0) ( k Z )
称

(k
2
,0) (k Z )
( ,0) ( k

2
k
Z )





中


心






正弦函数、余弦函数、正切函数的图像




y=sinx





y






-5

2

-7
2

-3


-

2
1
-1
y


-4




-2 -3 -
2

o
2
3
2
7
2

2
5
3
2

4
x


y=cosx
-4

-5


-7
2
-3
2
-2
-3
-
2
y


-
2

1

3

7
3 2
4



-1


o
2

2
2 5
2
y


x













-
y=tanx







y=cotx

3
2
-



-
2
o
2
3
2
x

-
o

-
2 2
3
2
2
x

（一）


三角函数的性质


1、定义域与值域


2、奇偶性


（1）基本函数的奇偶性



奇函数： y＝sinx ，y＝tanx ；

偶函数： y＝ cosx.
（2）



型三角函数的奇偶性
（x∈R）
（ⅰ） g（x）＝



g










（x）为偶函数
由此得



；
为奇函数

.
同理，




（ⅱ）





为偶函数




；

为奇函
数


.
3、周期性


（1）基本公式


（ⅰ）基本三角函数的周期

y＝sinx ，y＝cosx 的周期为

；

y＝tanx ，y＝
cotx 的周期为

.
（ⅱ）

型三角函数的周期
的周期为

；
的周期为

.
（ 2）认知
（ⅰ）
型函数的周期
的周期为

；
的周期为

.
（ⅱ）

的周期
的周期为

；
的周期为

.
均同它们不加绝对值时的周期相同，

即对 y＝

的解析式施加绝对值后，
函数的周期不变 . 注意这一点与（ⅰ）的区别

.
（ⅱ）若函数为

型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.
（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明

.
（ 3）特殊情形研究
（ⅰ） y＝tanx －cotx 的最小正周期为

；
该





























































（ⅱ）






的最小正周期为

；
（ⅲ） y＝sin
4
x＋ cos
4
x 的最小正周期为



.
由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象



.
4、单调性

（ 1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图 象识证“三部曲”：①选周期：在
原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对 称的


一个周期；


②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；


③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数


的增区间族（或减区间族）

循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族



.
. 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域



（ 2） y＝



型三角函数的单调区间
此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为


①换元、分解：令 u＝



，将所给函数分解为内、外两层：

y＝f （u）， u＝

；
②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出


f （u）的单调性，而后利用（ 1）中公
式写出关于 u 的不等式；


③还原、结论：将 u＝ 代入②中 u 的不等式，解出 x 的取值范围，并用集合或区间形成结论 .





正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

y sin x


y cosx


y tan x

x | x R且x k
y cot x

1
,k Z

y Asin x


（ A、 ＞ 0）

定义域
值域

R
[1,1]
2

R

[ 1, 1]
2


2
x | x R且 x k , k Z
R
R

R
A, A
2
周期性