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第一讲 方阵问题（一）
学生排队，士兵列队，横着 排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形
就叫方队 ，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
方阵的基本特点是：
① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相
同.每向里一层，每边上的人数就少2。
② 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：
四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；
每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。
③ 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边
人（或物）数。
例：有一条公路长900 米，在公路的一侧从头到尾每隔
10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？
分析：要以两棵电 线杆之间的距离作为分段标准.公路
全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线
杆的根数比分成的段数多1。
解：以10米为一段，公路全长可以分成
900÷10＝90（段）共需电线杆根数：90+1=91（根）
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练习与作业（一）
1、四年级同学参加广播体操比赛，要排列成每行11
人，共11行的方阵。这个方阵里有多少同学？
2、用棋子排成一个6×6的正方形，共需用棋子多少
枚？
3、有1764棵树苗， 准备在一块正方形的苗圃（实心方
阵）里栽培。这个正方形苗圃的每边要栽多少棵树苗？
4、576人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？
5、棋子若干只，恰好可以排成每边6只的正方形，棋
子的总数是多少？棋子最外层有多少？
6、在大楼的正方形平顶四周装彩灯，四个角都装一盏，
每边装25盏，四周共装彩灯多少盏？
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第二讲 方阵问题（二）
例1：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数
为60人。问方阵外层每边有多少人？这个方阵共 有五年级
学生多少人？
分析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数= 四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人
数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）
整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）
答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。
例2：晶晶用围棋子摆成 一个三层空心方阵，最外一层
每边有围棋子14个。晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
分析 ：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个。知
道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层 每边
个数。知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）
第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）
第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）
摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）
答：晶晶摆这个方阵共用围棋子132个。
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练习与作业（二）
1、有16个学生站在正方形场地的 四周，四个角上都站
1人，如果每边站的人数相等，那么每边站几个学生？
2、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，如果每
边栽6棵，四边一共栽多少棵树？
3、有100个少先队员参加广播操比赛，十人一行，排
成了一个正方形 队。这个正方形四周站了多少个少先队员？
4、在一块正方形场地的四周竖电线 杆，四个角上都竖
1根，一共竖28根，正方形场地每边竖多少根电线杆？
5、某会议室的天棚是正方形，准备在天棚四周每边安
装8灯（包括四个角上都安装1盏），四周一 共安装多少盏
灯？
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第三讲 巧求周长（一）
我们已经会计算长方形和正 方形的周长了，但对于一些
不是长方形、正方形而是多边形的图形，怎样求它的周长
呢？可以把 求多边形的周长转化为求长方形和正方形的周
长。
例：如图13—1所示，求这个多边形的周长是多少厘
米？
分析 ：要求这个多边形的周长，也就是求线段AB＋BC
＋CD＋DE＋EF+FA的和是多少，而在这六条 线段中，只有AB
和BC这两条线段的长度是已知的，其余四条线段的长度均
是未知的.当然， 这个多边形的周长还是可以求的.用一个大
正方形把这个图形圈起来，如图13—2所示，这个大正方形
是ABCG.把线段EF水平向上移动，移到CG边上，这样CD
＋EF的长度正好与AB的长 度相等.同样把竖直方向上的DE
边向左移动，移到AG边上，这样AF＋DE的长度正好与BC
边的长度相等.这样虽然CD、DE、EF、FA这四条线段的长度
不知道，但这四条线段的长度和我 们可以求出来，这样求这
个多边形的周长就转化为求一个正方形的周长。
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练习与作业（三）
1、下图的周长与长 厘米，宽 厘米的长方形周
长相同，所以它的周长为 厘米（单位：厘米）。
2、下图的周长可以看成一个长由 个1厘米的小线
段组成，宽由 个1厘米的小线段成的长方形的周长，所
以它的周长是 厘米。
3、求下列各图形的周长（单位：厘米）。
①周长为 厘米。
②周长为 厘米（围成图形的小线段长l厘米）。
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第四讲 巧求周长（二）
例：把长2厘米宽1厘米的 长方形一层、两层、三层地
摆下去，摆完第十五层，这个图形的周长是多少厘米？
分析：先观察图13—3，第一层有一个长方形，第二层
有两个长方形，第三层有三个长方形……找到规 律，第十五
层有十五个长方形.同样，用一个大长方形把这个图形圈起
来.因此求这个多边形的 周长就转化为求一个长为2×
15=30（厘米）、宽为1×15＝15（厘米）的长方形周长。
解：（2×15＋1×15）×2
=45×2＝90（厘米）
答：这个图形的周长为90厘米。
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练习与作业（四）
1、求下列各图形的周长（单位：厘米）。
①周长为多少厘米。
②周长为多少厘米（每条小线段长度都是1厘米）？
2、用9个边长为2厘米的小正方形摆成下图形状，它
的周长为多少厘米？
3、街心公园有一块草坪（如下图），图上所标数字是线
段的米数。在草坪四周从某顶点开始每2米种 一棵月季花，
一共需种 棵。
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第五讲 逻辑推理初步
在有些问题中，条件和结论中 不出现任何数和数字，也
不出现任何图形，因而，它既不是一个算术问题，也不是一
个几何问题 。
也有这样的题目，表面看来是一个算术或几何问题，但
在解决它们的过程中却很少用到算术 或几何知识。
所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和结
论，分析关键所在，找到突 破口，由此入手，进行有根有据
的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案。这类问题
我们 称它为逻辑推理。
例：一桩谋杀案中，两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人
正在受到讯问。第一 个证人说：“我只知道甲是无罪的。”第
二个证人说：“我只知道乙是无罪的。”第三个证人说：“前< br>面两个证词中至少有一个是真的。”第四个证人说：“我可以
肯定第三个证人的证词是假的。”通 过调查研究，已证实第
四个证人说了实话，请你分析一下，凶手是谁？
分析与解：题目中条件 较多，且四个人的证词有真有假，
在这种情况下，要善于抓住关键，由此入手进行有根有据的
逐 步推理。本题的关键是：第四个人说了实话。
因为第四个人说了实话，所以第三个人的证词是伪证，< br>也就是说“前两个证词中至少有一个是真的”是句假话。由
此可以断定，第一个和第二个证人都说 了假话。从而判断出
甲和乙都是凶手。
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练习与作业（五）
1、有甲、乙两同学，其中一个人有奇数根铅笔，一个
人有偶数根 铅笔。如果再给甲原有的铅笔数，再给乙原有铅
笔数的2倍，他们俩共有铅笔数为偶数。那么，甲同学原 有
铅笔数是 。
2、有甲、乙、丙、丁、戊五位 同学，其中丙同学比丁
同学高，比戊同学矮；丁同学比乙同学高；戊同学比甲同学
矮。则最高的 同学是 ，最矮的同学是 。
3、有四种树的 照片，它们是桃树、杏树、李树、梨树，
生物老师将照片从1到4编了号，让同学们区分四种树，每人说出两个，学生回答如下；第一个学生：2号是桃树，3
号是李树；第二个学生：1号是梨树，2 号是杏树；第三个
学生：2号是桃树，4号是梨树；第四个学生：4号是梨树d
号是李树。老师 发现这四个同学都只说对了一半，那么，1
号是 ，2号是 ，3号是 ，4号是 。
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第六讲 枚举问题（一）
电工买回一批日光灯，在灯 座上逐一试一遍，结果全部
日光灯都是好的。像这样将事物一个一个全部列举出来的方
法就是枚 举法。
问题：小明有1个5分币，4个2分币，8个1分币，
要拿出8分钱，你能找出几种拿法？
分析：为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，“找”
就要按照一定的规则进行。
先找只拿一种硬币的拿法，有两种：
①1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝8（分）；
②2＋2＋2＋2＝8（分）。
再找拿两种不同硬币的拿法，有四种：
①1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝8（分）；
②1＋1＋1＋1＋2＋2＝8（分）；
③1＋1＋2＋2＋2＝8（分）；
④1＋1＋1＋5＝8（分）。
最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种：
①1＋2＋5＝8（分）。由此可见，共有7种不同的拿法。
在上面用枚举法寻找可能拿法的 过程中，我们对全部拿
法作了适当分类。合理分类是枚举法解题中力求又快又省的
技巧。
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练习与作业（六）
1、用2、5、8三个数字可以组成几个不同的三位数？
其中最大 的三位数是什么？最小的三位数是什么？
2、用0、l、3、6可以组成多少个四位数？
3、有四张 卡片分别写有数字0.l、2、3，从中取出2
张卡片并排放在一起，可以组成多少个两位数？
4、用两个1、一个2、一个3可以组成种种不同的四位
数，这些四位数一共有多少个？
5、在两位整数中，十位数字大于个位数字的共有几个？
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第七讲 枚举问题（二）
例：假设有A、B、C三个城市，从A到C必须经过B．已
知从A到B可以坐 汽车或坐火车到达，而从B到C则可以坐
汽车或坐火车或坐飞机到达．问：从A到C可以有多少种不同的旅行方式？
分析：从A到C（A→C）可分两个阶段进行：第一阶段，
从A到B（A →B）；第二阶段，从B到C（B→C），按照第一
阶段使用的交通工具不同可以分为两类：
A→B B→C A→
所以，从A到C共有2×3＝6种不同的旅行方式。
上述解法中的图示叫做枝形图（图44—1），在解不太
复杂的计数问题中很有用。
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练习与作业（七）
1、有五顶不同的帽 子，两件不同的上衣，三条不同的
裤子，从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装
束 。问：最多有多少种不同的装束？
2、从甲地到乙地有2条不同的路可走，从乙 地到丙地
有4条不同的路可走。问：从甲地到丙地有几条不同的路可
走？
3、从甲地到乙地可以坐飞机、火车、汽车，从乙地到
两地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人 从甲地经乙地到丙
地共有几种走法？
4、小英从家到学校有三条路可走 ，从学校到少年之家
有四条路可走，小英从家经过学校到少年之家共有几种走
法？
5、有红、黄、绿、蓝、白五种颜色的铅笔，每两种颜
色的铅笔为一组，最多可以配 成不重复的几组？
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