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2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
一、选择题：本大 题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，
则B中所含元素的个数为（ ）
A．3
B．6
C．8
D．10
2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个 小组，分别安排到甲、乙两地参加社
会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案 共有
（ ）
A．12种
B．10种
C．9种
D．8种
3．（5分）下面是关于复数z=
p
1
：|z|=2，
p
2
：z
2
=2i，
p
3
：z的共轭复数为1+i，
p
4
：z的虚部为﹣1．
A．p
2
，p
3
B．p
1
，p
2
的四个命题：其中的真命题为（ ），
C．p
2
，p
4
+
D．p
3
，p
4
4．（5分）设F
1
、F
2
是椭圆E：
x=
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直 线
上一点，△F
2
PF
1
是底角为30°的等腰三角形，则E的离心 率为（ ）
B．
C．
D．
A．
5．（5分）已知{a
n
}为等比数列，a
4
+a
7
=2，a
5
a
6
=﹣8，则a
1
+a
10
=（ ）
A．7
B．5
C．﹣5
D．﹣7
6．（5分）如果执行右边的程序框图，输 入正整数N（N≥2）和实数a
1
，a
2
，…，
a
n
，输出A，B，则（ ）
第1页（共31页）
A．A+B为a
1
，a
2
，…，a
n
的和
B．
为a
1
，a
2
，…，a
n
的算术平均数
C．A和B分别是a
1
，a
2
，…，a
n
中最大的 数和最小的数
D．A和B分别是a
1
，a
2
，…，a< br>n
中最小的数和最大的数
7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗线画出的是某几何体的三视
图，则此几何体的体积为（ ）
A．6
B．9
C．12
D．18
8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y
2
=16x的 准
第2页（共31页）
线交于点A和点B，|AB|=4
A．
，则C的实轴长为（ ）
C．4
）在区间[
D．8
，π]上单调递减，
B．
9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+
则实数ω的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（0，2]
10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为
1的正三角形， SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（5分）设点P在曲线
为（ ）
A．1﹣ln2
B．
上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值
C．1+ln2
D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．
14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为 ．
第3页（共31页）
15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连 接而成，元件1或元件2正常工
作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（ 单
位：小时）均服从正态分布N（1000，50
2
），且各个元件能否正常相互独立 ，
那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．
16． （5分）数列{a
n
}满足a
n
+
1
+（﹣1）
n
a
n
=2n﹣1，则{a
n
}的前60项和为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
1 7．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+
﹣b﹣c=0
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为
第4页（共31页）
asinC
；求b，c．
18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格 从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每
枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求
量 n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：
日需求量n
频数
14
10
15
20
16
16
17
16
18
15
19
13
20
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进 16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布
列、数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？
请说明理由．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A< br>1
B
1
C
1
中，AC=BC=AA
1
，D是 棱AA
1
的中点，
DC
1
⊥BD
（1）证明：DC
1
⊥BC；
（2）求二面角A
1
﹣BD﹣C
1
的大小．
第5页（共31页）
20．（12分）设抛物线C：x2
=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以
F为圆心，FA为半径的圆 F交l于B，D两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；
（2）若 A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个
公共点，求坐标原点到m，n距离 的比值．
21．（12分）已知函数f（x）满足f（x ）=f′（1）e
x
﹣
1
﹣f（0）x+x
2
；
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若
四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题
计分，作答时请写清题号．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB ，AC的中点，直线DE交△ABC的
外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：
（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GBD．
，求（a+1）b的最大值．
第6页（共31页）
23．选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C
1
的 参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的
正半轴为极轴建立坐标系，曲线C
2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶
点都在C
2
上，且A，B，C，D依 逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（ 2）设P为C
1
上任意一点，求|PA|
2
+|PB|
2
+ |PC|
2
+|PD|
2
的取值范围．
24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
）．
第7页（共31页）
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只< br>有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B= {（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，
则B中所含元素的个数为（ ）
A．3
B．6
C．8
D．10
【考点】12：元素与集合关系的判断．
【专题】5J：集合．
【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值 得出B中所有元素，
即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项
【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，
x=4时，y=1，2，3，
x=3时，y=1，2，
x=2时，y=1
综上知，B中的元素个数为10个
故选：D．
【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领 会集合
B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．
2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社
会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
（ ）
A．12种
B．10种
C．9种
D．8种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
第8页（共31页）
【专题】11：计算题．
【分 析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分
步计数原理，将各步结果相乘 即可得结果
【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有
第二步，为甲地选两个学生 ，有=6种选法；
=2种选法；
第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法
故不同的安排方案共有2×6×1=12种
故选：A．
【点评】 本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，
恰当分步是解决本题的关键，属 基础题
3．（5分）下面是关于复数z=
p
1
：|z|=2，
p
2
：z
2
=2i，
p
3
：z的共轭复数为1+i，
p
4
：z的虚部为﹣1．
A．p
2
，p
3
的四个命题：其中的真命题为（ ），
B．p
1
，p
2
C．p
2
，p
4
D．p
3
，p
4
【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．
【专题】11：计算题．
【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p
3
：
z的共轭复数为﹣1+i，p
4
：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．
【解答】解：∵z=
∴
，
p
3
：z的共轭复数为﹣1+i，
p
4
：z的虚部为﹣1，
第9页（共31页）
==﹣1﹣i，
，
故选：C．
【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
4．（5分）设F
1
、F
2
是椭圆E：
x=+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线
上一点，△F
2
PF
1< br>是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
B．
C．
D．
A．
【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】11：计算题．
【分析】 利用△F
2
PF
1
是底角为30°的等腰三角形，可得|PF
2|=|F
2
F
1
|，根据P为
直线x=上一点，可建立方程，由 此可求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△F
2
PF
1
是底 角为30°的等腰三角形，
∴|PF
2
|=|F
2
F
1
|
∵P为直线x=
∴
∴
上一点
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量 之间的关系，属于
第10页（共31页）
基础题．
5．（5分）已知{a
n
}为等比数列，a
4
+a
7
=2，a
5
a
6
=﹣8，则a
1
+a
10
=（ ）
A．7
B．5
C．﹣5
D．﹣7
【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．
【专题】11：计算题．
【分析】由a
4
+a
7
=2，及a
5
a
6
=a
4
a
7
=﹣8可求 a
4
，a
7
，进而可求公比q，代入等比
数列的通项可求a
1
，a
10
，即可
【解答】解：∵a
4
+a7
=2，由等比数列的性质可得，a
5
a
6
=a
4a
7
=﹣8
∴a
4
=4，a
7
=﹣ 2或a
4
=﹣2，a
7
=4
当a
4
=4 ，a
7
=﹣2时，
∴a
1
=﹣8，a
10
=1，< br>
∴a
1
+a
10
=﹣7
当a
4
=﹣2，a
7
=4时，q
3
=﹣2，则a
10
=﹣ 8，a
1
=1
∴a
1
+a
10
=﹣7
综上可得，a
1
+a
10
=﹣7
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的
能力．
6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a
1
，a
2
，…，
a
n
，输出A，B，则（ ）
，
第11页（共31页）
A．A+B为a
1
，a
2
，…，a
n
的和
B．
为a
1
，a
2
，…，a
n
的算术平均数
C．A和B分别是a
1
，a
2
，…，a
n
中最大的 数和最小的数
D．A和B分别是a
1
，a
2
，…，a< br>n
中最小的数和最大的数
【考点】E7：循环结构．
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根 据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是求出a
1
，a
2
，…， a
n
中最大的数和最小的数．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，
可知，该程序的作用是：求出a
1
，a
2
，…，a
n
中最大的数和最小的数
其中A为a
1
，a
2
，…，a
n
中最大的数，B为a
1
，a< br>2
，…，a
n
中最小的数
故选：C．
第12页（共31页）
【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键 是建立数学模型，根据每一步分
析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．
7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视
图 ，则此几何体的体积为（ ）
A．6
B．9
C．12
D．18
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【专题】11：计算题．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即
可．
【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；
底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，
此几何体的体积为V=
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算
能力．
8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y
2
=16x的准
线交于点A和点B，|AB|=4
A．
第13页（共31页）
×6×3×3=9．
，则C的实轴长为（ ）
C．4
D．8
B．
【考点】KI：圆锥曲线的综合．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设等轴双曲线C：x
2< br>﹣y
2
=a
2
（a＞0），y
2
=16x的准线l： x=﹣4，由C与抛
物线y
2
=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．
【解答】解：设等轴双曲线C：x
2
﹣y
2
=a
2
（a＞0），
y
2
=16x的准线l：x=﹣4，
< br>∵C与抛物线y
2
=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，
∴A（﹣4， 2），B（﹣4，﹣2），
=4，
将A点坐标代入双曲线方程得
∴a=2，2a=4．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖
掘题设中的隐含 条件，合理地进行等价转化．
9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+
则实数ω的取值范围是（ ）
A．
）在区间[，π]上单调递减，
B．
C．
D．（0，2]
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1 ，验证三角函数的角的范围，排除选项，
得到结果．
法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．
【解答】解：法一：令：
合题意 排除（B）（C）
法二：
第14页（共31页）
不合题意 排除（D）
，
得：
故选：A．
．
【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能
力．
10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】11：计算题．
【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可 排除A，C，由f（x）
的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明
【解答】解：设
则g′（x）=
∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数
∴g（x）＜g（0）=0
∴f（x）=＜0
得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，
又f（x）=中，，能排除D．
第15页（共31页）
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