数学仿真试卷—高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何专题复习(附详细解析)(2)

2020年11月21日发(作者：钟元辉)
2012-2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编
立体几何
一、选择题
【2 017，6】如图，在下列四个正方体中，
这四个正方体中，直接
A，B为正方体的两个顶点， M，N，Q为所在棱的中点，则在
AB与平面MNQ不平行的是（）
【2016，7】如图所示 ，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂
直的半径．若该几何体的体积是
A．
17π
【2016，11】平面
B．
18π
过正方体
A BCD
28π
3
，则它的表面积是（）
C．
20π
D．28π
A
1
B
1
C
1
D
1
的 顶点
A
，
∥
平面
CB
1
D
1
，< br>I
平面
ABCDm
，
I
平面
ABB
1
A
1
3
2
n
，则
m,n
所成角的正弦值为（）< br>2
2
3
3
1
3
A．B．C．D．
【2015 ，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：
“今有委M依垣内角，下周 八尺，高五尺，问”积及为M几何？”其意思为：“在
屋内墙角处堆放M（如图，M堆为一个圆锥的四分 之一），M堆底部的弧长为
8尺，M堆的高为5尺，M堆的体积和堆放的M各位多少？”已知1斛M的体
积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的M有( )
A．14斛B．22斛C． 36斛D．66斛
r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的
16+20π，则r=( ) B
【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为
正视图和俯视图如图所示 ，若该几何体的表面积为
A．1 B．2 C．4 D．8
【2015，11】【2014， 8】【2013，11】【2012，7】
【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线 画出的一个几何体的三视图，
()．
则这个几何体是( )
A．三棱锥B．三棱柱C ．四棱锥D．四棱柱
【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． 16＋8π　B．8＋8π　
【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为
A．6 B．9
C．16＋16π　D．8＋16π
1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体 的体积为
D．15
1 / 17
C．12
【2012，8】平面
A．
截球O的球面所得圆的半径为
B．
43
1，球心O到平面
C．
46
的距离为
2
，则此球的体积为（）
6
D．
63
【2018，5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为
为8的正方形，该圆柱的表面积为
A.12πB. 12π
【2018，9】某圆柱的高为2，底面周长为
为A，圆柱表面上的 点
的长度为
A. 2
C. 3
B.
D. 2
O
1
，
O
2
，过直线O
1
O
2
的平面截该 圆柱所得的截面是面积
C. 8πD. 10π
16，其三视图如右图，圆柱表面上的点
B，则在此圆柱侧面上，从
M在正视图上的对应点
N在左视图上的对应点为M到N的路径中， 最短路径
【2018，10】在长方形
A. 8 B.
ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，AB=BC=2，AC
1< br>与平
6C. 8D. 8
面
BB
1
C
1
C所 成的角为30°，则该长方体的体积为
二、填空题
【2017，16】已知三棱锥
SA BC
的所有顶点都在球
O
的球面上，
SC
是球
O
的 直径．若平面
则球
O
的表面积为
_______
．
AC，
SBBC
，三棱锥
SABC
的体积为
9
，
S CA平面SCB
，
SA
【2013，15】已知H是球O的直径AB上一点，AH∶H B＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得
截面的面积为
三、解答题
【20 17，18】如图，在四棱锥
（1）证明：平面
π，则球O的表面积为______．
PABCD
中，
AB
∥
CD
，且
平面
PAD
；（2）若
BAP
AB
CDP
DC
，
90
．APD90
，且四棱锥
PAB
8
3
PAPD
PABCD
的体积为
，求该四棱锥的侧面积．
2 / 17
【2016，18】如图所 示，已知正三棱锥
的正投影为点
PABC
的侧面是直角三角形，
PA6
，顶点
P
在平面
ABC
内
D
，
D
在平面
PAB
内的正投影为点
（1）求证：
G
是
AB
的中 点；
（2）在题图中作出点
E
．连结
PE
并延长交
AB于点
G
．
E
在平面
PAC
内的正投影
F
（说明作法及理由），并求四面体
PDEF
的体积．
P
A
G
E
D
B
C
【2015，18】如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD 交点，BE⊥平面ABCD，
(Ⅰ)证明：平面AEC⊥平面BED；
(Ⅱ)若∠ABC=12 0°，AE⊥EC，三棱锥E- ACD
的体积为
6
3
，求该三棱锥的侧面积 ．
【2014,19】如图，三棱柱
ABC
面
BB
1
C1
C
.
（1）证明：B
1
C
（2）若ACAB
1
,
AB
;
CBB
1
A
1
B
1
C
1
中，侧面BB
1
C
1
C
为菱形，B< br>1
C的中点为
O
，且
AO
平
60,BC1,
求三棱柱ABCA
1
B
1
C
1
的高.
3 / 17
【2013，19】如图，三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，CA＝CB，AB＝AA
1
，∠BAA
1
＝60°．
(1)证明：AB⊥A
1
C；(2)若AB＝CB＝2，A
1
C＝
6
，求三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的体积．4 / 17
【2012，19】如图，三棱柱ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，侧棱垂直底面，
的中点．
（1）证明：平面B DC
1
⊥平面BDC；
（2）平面BDC
1
分此棱柱为两部分，求这 两部分体积的比．
ACB90
，AC=BC=
C
1
A
11
2
AA
1
，D是棱AA
1
B
1
D< br>C
A
B
【2018，18】如图，在平行四边形
（1）
（2）
ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，
使点M到达 点D的位置，且AB⊥DA。
证明：平面ACD⊥平面ABC；
Q为线段AD上一点，P为线段 BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q-ABP的体积。
解读
一、选择题
【2 017，6】如图，在下列四个正方体中，
接
AB
与平面
MNQ
不平 行的是（）
A，B为正方体的两个
顶点，
M
，
N
，
Q
为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直
【解法】选A．由B，AB∥MQ，则直线AB∥ 平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由
D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MN Q．故A不满足，选A．
【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中 两条相互垂直的半径．若该几
28π
何体的体积是，则它的表面积是（）．
3
5 / 17
A．
17π
B．
18π
C．
20π
D．
28π
解读：选A．由三视图可知，该几何体是一个球截去球的
1
8，设球的半径为
R
，则
7
8
4
3
πR
3
28π
3
1
4
，
，解
得
R2
． 该几何体的表面积等于球的表面积的
7
8
7
8
3
1
4
，加上
3
个截面的面积，每个截面是圆面的
所以该几何体的表面积为
S4π2
2
π2
2
．故选A．
14π3π17π
【201 6，11】平面
平面
ABB
1
A
1
过正方体
ABC DA
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A< br>，
∥
平面
CB
1
D
1
，
I
平面
ABCDm
，
I
n
，则
m,n
所成角的正弦值 为（）
2
2
3
3
1
3
，
A．
3< br>2
B．C．D．
解读：选A．解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示．通 过寻找线线平行构造出平面
即平面
AEF
，即研究
AE
与
A F
所成角的正弦值，易知
E
D
EAF
3
，所以其正弦值为< br>3
．故选A．
2
A
C
B
F
D
1A
1
C
1
B
1
解法二（原理同解法一）：过平面外一点
A
作平面，并使
∥
平面
CB
1
D
1
，不妨将点
A
变换成
B
，作
A
1
B
与< br>BD
所成角
使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到，即为平面
A
1
BD
，如图所示，即研究
的正弦值，易知
A
1
BD
3
，所以其正弦值为
3
．故选A．
2
6 / 17
D< br>A
C
B
D
1
A
1
B
1
C< br>1
【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：
下周八尺，高五尺，问”积及为M几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放
四分之一），M堆底部的弧 长为
算出堆放的M有(
A．14斛
) B
C．36斛D．66斛
8尺，M堆的高为5尺，M堆的体积和堆放
3，估
“今有委M依垣内角，
M（如图，M 堆为一个圆锥的
的M各位多少？”已知1斛M的体积约为1．62立方尺，圆周率约为
B．22 斛
解：设圆锥底面半径为
为
r，依题
1
4
23r8
320
9
r
16
3
，所以M堆的体积
1
4
1
3
3(
16
3
)
2
5
320
9
，故堆放的M约为÷1．62≈22，故选B．
【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分 后与半球（半径为
正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为
r）组成一个几何体，该几 何体的三视图中的
16+20π，则r=( ) B
r，圆柱的高为2r，其表面积
A．1 B．2 C．4 D．8
解：该几何体是半 球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为
22
为2πr
2
+πr× 2r+πr
2
+2r×2r=5πr+4r=16+20π，
解得r=2，故选B．< br>【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的
一个几何体的三视图，则这个 几何体是( )B
A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱
解：几何体是一个横放着的三棱柱．故选B 【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．
A．16＋8π　B． 8＋8π　C．16＋16π　
7 / 17
D．8＋16π
解读：选A．该几何体 为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．
V
半圆柱
＝
1
22
π×２×4＝8π，V
长方体
＝4×2×2＝16．所以所求体积为16＋8π ．故选A．
【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为
（）
A．6 B．9
1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
D．15
A
C．12
【解读】由三视图可知，该几何体为
三棱锥A-BCD，底面△ BCD为
底边为6，高为3的等腰三角形，
侧面ABD⊥底面BCD，
AO⊥底面BC D，
因此此几何体的体积为
B
O
C
1，球心O到平面的
D< br>V
1
3
(
1
2
63)39
，故选择B．【2012，8】8．平面
距离为
A．
截球O的球面所得圆的半径为
2< br>，则此球的体积为（）
6
B．
43
D．
63
C．46
【解读】如图所示，由已知
O
1
A
R
3
1
，
OO
1
OA
2
，
3
，
在
RtOO
1
A
中，球的半径
所以此球的体积
V
4
3
R43
，故选择B．
【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算．
【2011，8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）
【解 读】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由
等腰 三角形及底边上的高构成的平面图形．
【2018，5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为
为 8的正方形，该圆柱的表面积为
【2018，9】某圆柱的高为
为A，圆柱表面上的点
的长度为B
A. 2
C. 3
B.
D. 2
B
1 6，其三视图如右图，圆柱表面上的点
B，则在此圆柱侧面上，从
M在正视图上的对应点
M到N的路径中，最短路径
2，底面周长为
故选D．
O
1
，
O
2
，过直线O
1
O
2
的平面截该圆柱所得的截面是面积
N在左视图上的对应点为
8 / 17