数学建模知网2018年高考全国一卷理科数学真题(解析版)

2020年11月21日发(作者：许尧佐)
2018
年高考全国一卷理科数学真题（解析版）
注意事项：
1
．答卷前，考生务必将自己的姓名
、
考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2< br>．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3
．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共
12< br>小题，每小题
5
分，共
60
分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.
设，则
A. B. C. D.
【答案】
C
【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到
，从而选出正确结果
.
详解：因为
所以，故选
C.
，

，根据复数模的公式，得 到
点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法
运 算法则求得结果，属于简单题目
.
2.
已知集合
A.
C.
【答案】
B
【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出
A
，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果
.
详解：解不等式得，

的解集，从而求得集合
B.
D.
，则



所以
所以可以求得
，

，故选
B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程
中， 需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果
.
3.
某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解
该地区农村的经 济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比
例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是
A.
新农村建设后，种植收入减少
B.
新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.
新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】
A
【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为
M
，根据题意，得到新农村建设后的
经济收入为
2M
，之后从图中各项收入所占的比例， 得到其对应的收入是多少，从而可以比
较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项
.
详解：设新农村建设前的收入为
M
，而新农村建设后的收入为
2M
，

则新农村建设前种植收入为
0.6M
，而新农村建设后的种植收入为< br>0.74M
，所以种植收入增
加了，所以
A
项不正确；
新农村建设前其他收入我
0.04M
，新农村建设后其他收入为
0.1M
，故增加了一倍以上，所
以
B
项正确；
新农村建设前，养殖收入为
0.3M
，新农村建设后为
0.6M
，所以增加了一倍，所以
C
项正 确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的
以超过了经济收入的一半， 所以
D
正确；

故选
A.
，所
点睛：该题考查的 是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出
相应的信息即可得结果
.
4.
设为等差数列
A. B.
的前项和，若
D.
，
，则
C.
【答案】
B
详解：设该等差数列的公差为，

根据题中的条件可得
整理解得，所以，故选
B.
，

点睛 ：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利
用题中的条件，结 合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式
得到与
5.
设函数
A. B. C.
的关系，从而求得结果
.
，若为奇函数，则曲线

在点处的切线方程为
D.
【答案】
D
【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得
得出切线的斜率，进而求得切线方程
.
详解：因为函数
所以，
是奇函数，所以
，

，解得，

，进而得到的解析式，再对求导
所以
所以曲线
化简可得
，

在点
，故选
D.
在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程
处的切线方程为，

点睛：该题 考查的是有关曲线
中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项， 偶函
数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得
意义，结合直线方程的点 斜式求得结果
.
6.
在△
A.
C.
【答案】
A
【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得
之后应用向量的加法运算法则
-------
三角形法则，得到
，下一步应用 相反向量，求得
详解：根据向量的运算法则，可得
，
中，为边上的中线，为


的中点，则
，借助于导数的几何
B.
D.
，之后将其合并，得到
，从而求得结果
.


所以，故选
A.
，

点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的 有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向
量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量 的问题，在解题的过程中，需要
认真对待每一步运算
.
7.
某圆柱的高为
2
，底面周长为
16
，其三视图如右图
．
圆柱表面上的点在 正视图上的对
应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径
中，最短路径的长度为
A. B.
C. D. 2
【答案】
B
【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点
M
和点
N
在圆柱上所处的位置，点
M
在上底面上，点
N
在下底 面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点
M
、
N
在其四分之一的
矩形 的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果
.
详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，
可以确定点
M
和点
N
分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的
长方形的对角线的端点处，
所以所求的最短路径的长度为，故选
B.
点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两 点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，
需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上 两点间直线段最短，所以处理方法就
是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果
.
8.
设抛物线
C：y
2
=4x
的焦点为
F
，过点（
–2，0
）且斜率为
两点，则
=
的直线与
C
交于
M，N
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】
D
【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的 方程，涉及到直线与抛物线相
交，联立方程组，消元化简，求得两点
焦点坐标，之后应用向量坐 标公式，求得
公式求得结果
.
，再利用所给的抛物线的方程，写出其
，最后 应用向量数量积坐标
详解：根据题意，过点（
–2
，
0
）且斜率为的 直线方程为，

与抛物线方程联立，消元整理得：，

解得
所以
从而可以求得
，又，

，

，故选
D.
点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件 的问题，在求解的
过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从 而确
定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得
向量的坐标，之后应 用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点
M
、
N
的坐标，应用
韦达定理得到结果
.
9.
已知函数
的取值范围是
A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）
【答案】
C
【解析】分析：首先根据
g
（
x
）存 在
2
个零点，得到方程
化为有两个解，即直线
的图像（将
时，满足< br>与曲线
有两个解，将其转
有两个交点，根据题中所给的函
，并将其上下移动，< br>
．若
g（x
）存在
2
个零点，则
a
数解析 式，画出函数
从图中可以发现，当
详解：画出函数
再画出直线
去掉），再画出 直线
与曲线有两个交点，从而求得结果
.
的图像，在
y
轴右侧的去掉，
，之后上下移动，
可以发现当直线过点
A
时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程
也就是函数
此时满足
有两个解，
有两个零点，
，即，故选
C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的 取值范围问题，在求解的过程中，
解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移 项变形，转化为两条
曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形 结合思
想，求得相应的结果
.
10.
下图来自古希腊数学家希波克拉底所 研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个
半圆的直径分别为直角三角形
ABC
的斜 边
BC
，直角边
AB，AC．
△
ABC
的三边所围成
的区域记为
I
，黑色部分记为
II
，其余部分记为
III
．在整个图形中随机取一点，此点取
自
I，II，III
的概率分别记为
p< br>1
，p
2
，p
3
，则

A. p
1
=p
2
B. p
1
=p
3

C. p
2
=p
3
D. p
1
=p
2
+p
3

【答案】
A

详解：设
从而可以求得
黑色部分的面积为
，

其余部分的面积为
的面积为
，则有
，

，


，所以有
，故选
A.
，

根据面积型几何概 型的概率公式，可以得到
点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小 ，根据面积
型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图< br>形的面积公式求得结果
.
11.
已知双曲线
C：，O
为坐 标原点，
F
为
C
的右焦点，过
F
的直线与
C
OMN
为直角三角形，则
|MN|=
的两条渐近线的交点分别为
M
、
N.
若
A. B. 3 C.
【答案】
B
D. 4
【解析】分析：首先根据 双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而
得到，根据直角三角形的条件，可以确 定直线的倾斜角为或，根据
相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为< br>式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得
距离同时求得的值
.
，且右焦点为
或，

，

，利用点斜
，利用两点间
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为
从而得到，所以直线的倾斜角为
，

根据双曲线的对称性，设其倾斜角为
可以得出直线的方程为
和
，

，

联立，

分别与两条渐近线
求得
所以，故选
B.
点睛：该题考查的是有关线 段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距
离，再分析点是怎么来的，从而得到是直 线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线
的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条 件得到直线的斜率，结合过右焦
点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标 ，之后应用两点间
距离公式求得结果
.
12.
已知正方体的棱长为
1
，每条棱所在直线与平面
α
所成的角相等，则
α
截此正方体所得截面面积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】分析：首先利用正方体的棱是
3
组每组有互相 平行的
4
条棱，所以与
12
条棱所成
角相等，只需与从同一个顶点出 发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方
体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的 对角线的一半，应用面积公式求得结果
.
详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，
所以在正方体
平面
所以平面
同理平面
与线
中，

所成的角是相等的，
与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，
也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，

与中间的， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面
且过棱的中点的正六边形，且边长为，

所以其面积为，故选
A.
点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形 的面积问题，首要任务是需要先
确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为 过六条棱的中点的
正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果
.
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分。
13.
若
，
满足约束条件
【答案】
6
【解析】 分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截
式
可以发现直 线
数解析式，求得最大值
.
详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
，之后在图中画出直线， 在上下移动的过程中，结合的几何意义，
，则的最大值为
_____________． 过
B
点时取得最大值，联立方程组，求得点
B
的坐标代入目标函

由
画出直线
可得，

，将其上下移动，
结合的几何意义，可知当直线过点
B
时，
z
取得最大值，
由
此时
，解得，

，故答案为
6.
点睛：该题考 查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对
应的可行域，之后根据目标 函数的形式，判断
z
的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，
判断哪个点是最优解 ，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的