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圆锥曲线、导数
2018 年全国高考数学分类真题（含答案）
一．选择题（共
7 小题）
1．双曲线
﹣y
2
=1 的焦点坐标是（
）
A．（﹣
，0），（ ，0）
B．（﹣2，0），（2，0） C．（0，﹣
），（ 0， ）
D．（0，﹣ 2），（0，2）
2．已知双曲线
=1（a＞ 0， b＞ 0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于
x 轴
的直线与双曲线交于
A， B 两点．设 A， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别
为 d
1
和
2
，且
1 2
，则双曲线的方程为（
）
d
d +d =6
A．
﹣
=1B．
﹣
=1C．
﹣
=1D．
﹣
=1
3．设 F
1
，F
2
是双曲线 C：
﹣
=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点， O 是坐标原
，则 的离心
C
点．过 F
作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若
C
P|PF
1
|= |OP|
2
率为（
）
A．
B．2
C．
D．
4．已知 F
1
，F
2
是椭圆 C：
点 P在过 A且斜率为
=1（a＞b＞0）的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，
的直线上，△ PF
1 2
为等腰三角形，∠
1 2
°，则
F F F P=120
C
的离心率为（
A．B．
5．双曲线
）
C． D．
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，则其渐近线方程为（
）
A．y=± xB．y=± x C．y=± xD．y=± x
6．已知双曲线 C：
﹣y=1，O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C
）
2
的两条渐近线的交点分别为 M ，N．若△ OMN 为直角三角形，则 | MN| =（
1
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A．
B．3
C．2
D．4
7．设函数 f（x）=x
3
+（a﹣1） x
2
+ax．若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点
（ 0， 0）处的切线方程为（
）
A．y=﹣2x B．y=﹣ x
C．y=2x D． y=x
二．填空题（共
6 小题）
8．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点
c，则其离心率的值为
．
F
（ c，0）到一条渐近线的距离为
9．已知椭圆 M ： +
=1（a＞b＞0），双曲线 N：
﹣
=1．若双曲线 N 的
M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶
．
两条渐近线与椭圆
M 的四个交点及椭圆
点，则椭圆 M 的离心率为
；双曲线 N 的离心率为
10．已知点 P（0，1），椭圆
+y=m（m＞1）上两点 A， B 满足 =2
，则当
2
m=
时，点 B 横坐标的绝对值最大．
2
11．已知点 M（﹣ 1，1）和抛物线 C：y=4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C
交于 A，B 两点．若∠ AMB=90°，则 k=
．
12．曲线 y=（ax+1）e 在点（ 0，1）处的切线的斜率为﹣ 2，则 a=
x
．
13．曲线 y=2ln（x+1）在点（ 0，0）处的切线方程为
．
三．解答题（共
13 小题）
14．设函数 f （x）=[ ax
﹣（ 4a+1）x+4a+3] e．
2x
（ Ⅰ）若曲线 y=f（x）在点（ 1，f（1））处的切线与 x 轴平行，求 a；
（ Ⅱ）若 f（ x）在 x=2 处取得极小值，求
a 的取值范围．
15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（
），焦点 F
1
（﹣ ，
0），F
2
（
，0），圆 O 的直径为 F
1
F
2
．
（ 1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；
2
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（ 2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P．
①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；
②直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点．若△ OAB 的面积为
，求直线 l 的方程．
16．如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y
2
=4x 上存在不同
的两点 A，B 满足 PA， PB的中点均在 C 上．（ Ⅰ）设 AB 中点为 M ，证明：
PM 垂直于 y 轴；
（ Ⅱ）若 P 是半椭圆 x
2
+ =1（ x＜0）上的动点，求△ PAB面积的取值范围．
17．设椭圆
+ =1（ a＞ b＞ 0）的左焦点为 F，上顶点为
B．已知椭圆的离心
率为
，点 A 的坐标为（ b，0），且 | FB| ?| AB| =6
．
（ Ⅰ）求椭圆的方程；
（ Ⅱ）设直线 l：y=kx（k＞ 0）与椭圆在第一象限的交点为
P，且 l 与直线 AB 交
于点 Q．若
=
sin∠AOQ（ O 为原点），求 k 的值．
3
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18．已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： +
=1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中
点为 M （ 1， m）（ m＞0）．
（ 1）证明： k＜﹣
；
（2）设 F 为 C 的右焦点， P为 C上一点，且
+ + = ．证明： | | ，| | ，
|
| 成等差数列，并求该数列的公差．
19．设抛物线 C： y
2
=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k＞0）的直线 l 与 C 交于
A，B 两点， | AB| =8．
（ 1）求 l 的方程；
（ 2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程．
20．设椭圆 C： +y
2
=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M
的坐标为（ 2，0）．
（ 1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；
（ 2）设 O 为坐标原点，证明：∠ OMA=∠OMB．
21．记 f （′x），g′（x）分别为函数 f（ x），g（ x）的导函数．若存在 x
0
∈R，满足f（x
0
）=g
（ x
0
）且 f （′x
0
）=g′（ x
0
），则称 x
0
为函数 f（ x）与 g（x）的一个 “S点”．
（ 1）证明：函数 f （x）=x 与 g（x）=x
2
+2x﹣2 不存在 “S点 ”；
（ 2）若函数 f（ x）=ax
2
﹣1 与 g（ x）=lnx 存在 “S点”，求实数 a 的值；
（ 3）已知函数 f（ x）=﹣x
2
+a，g（ x）=
．对任意 a＞0，判断是否存在 b＞0，
使函数 f（x）与 g（ x）在区间（ 0， +∞）内存在 “S点”，并说明理由．
22．已知函数 f （x）= ﹣ lnx．
（ Ⅰ）若 f（ x）在 x=x
1
，
2
（
1
≠
2
）处导数相等，证明：
（
1
） （
2
）＞
﹣
x x
x
f
x
+f
x8
8ln2；
（ Ⅱ）若 a≤3﹣ 4ln2，证明：对于任意 k＞0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯
一公共点．
23．已知函数 f （x）=a
，g（x）=log
a
x，其中 a＞1．
x
（ Ⅰ）求函数 h（ x）=f（ x）﹣ xlna 的单调区间；
（ Ⅱ）若曲线 y=f（x）在点（ x
1
， f（x
1
））处的切线与曲线
y=g（x）在点（ x
2
，g
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（ x
2
））处的切线平行，证明
1
（
2
）
；
=
x +g x
（ Ⅲ）证明当 a≥e 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线 y=g
（ x）的切线．
24．已知函数 f （x）=（2+x+ax
2
） ln（ 1+x）﹣ 2x．
（ 1）若 a=0，证明：当﹣ 1＜x＜0 时， f （x）＜ 0；当 x＞0 时， f（x）＞ 0；
（ 2）若 x=0 是 f （x）的极大值点，求 a．
25．已知函数 f （x）=e
x
﹣ax
2
．
（ 1）若 a=1，证明：当 x≥0 时， f（x）≥ 1；
（ 2）若 f （x）在（ 0，+∞）只有一个零点，求 a．
26．已知函数 f （x）=
﹣x+alnx．
（ 1）讨论 f（x）的单调性；
（ 2）若 f （x）存在两个极值点 x
1
，
2
，证明：
x
＜ ﹣ ．
a 2
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圆锥曲线、导数 2018 年全国高考数学分类真题 （含答案）
参考答案与试题解析
一．选择题（共
7 小题）
1．双曲线
﹣y
2
=1 的焦点坐标是（
）
A．（﹣ ，0），（ ，0） B．（﹣2，0），（2，0） C．（0，﹣ ），（ 0，
）
D．（0，﹣ 2），（0，2）
2
2
， ，
x 轴上，且 a
【解答】 解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在
=3 b =1
由此可得 c= =2，
∴该双曲线的焦点坐标为（± 2，0）
故选： B．
2．已知双曲线
=1（a＞ 0， b＞ 0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于
x 轴
的直线与双曲线交于
A， B 两点．设 A， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别
为 d
1
和 d
2
，且 d
1
+d
2
=6，则双曲线的方程为（
）
﹣
=1 A．
﹣
=1B．
﹣
=1C．
﹣
=1D．
【解答】 解：由题意可得图象如图， CD是双曲线的一条渐近线
y=
，即 bx﹣ay=0， F（ c，0），
AC⊥CD，BD⊥ CD， FE⊥CD，ACDB是梯形，
F 是 AB 的中点， EF=
=3，
EF=
=b，
所以 b=3，双曲线
=1（ a＞0，b＞0）的离心率为 2，可得
，
6
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可得：
，解得 a=
．
则双曲线的方程为：
﹣
=1．
故选： C．
3．设 F
1
，F
2
是双曲线 C：
﹣
=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点， O 是坐标原
，则 的离心
C
点．过 F
作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若
C
P|PF
1
|= |OP|
2
率为（
）
A．
B．2
C．
D．
【解答】 解：双曲线 C：
﹣
=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为 y=
x，
∴点 F
2
到渐近线的距离
d=
，即
2
，
=b | PF | =b
=
=a， cos∠ PF
2
，
O=
1
∴| OP| =
1 2
∠
∵| PF
1
| =
∴| PF
1
，
| OP|
，
2
2
2
在三角形 F
1 2
中，由余弦定理可得
| = a
+| F
1 2
2
﹣2| PF
2
PF | PF| =| PF| F |
|?|F F|COS
PF
2
O，
∴ 6a
2
=b
2
+4c
2
﹣ 2× b×2c×
< br>=4c
2
﹣3b
2
=4c
2
﹣3（c
2﹣ a
2
），
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即 3a
2
=c
2
，
即 a=c， ∴
e= = ，
故选： C．
4．已知 F
1
，F
2
是椭圆 C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点， A 是 C 的左顶点，
点 P在过 A且斜率为
的直线上，△ PF
1 2
为等腰三角形，∠
12
°，则
F F F P=120C
的离心率为（
）
C．
D．
A．
B．
【解答】 解：由题意可知： A（﹣ a，0），F
1
（﹣ c， 0），F
2
（c，0），
直线 AP 的方程为： y= （x+a），
由∠ F
°， ，则 （ ， ），
1
F
2
P=120| PF
2
| =| F
1
F
2
| =2c P 2c c
代入直线 AP： c=
（ 2c+a），整理得： a=4c，
∴题意的离心率 e= =
．
故选： D．
5．双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，则其渐近线方程为（
）
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A．y=±
xB．y=± x C．y=±
x
D．y=±
，
，
x
【解答】 解：∵双曲线的离心率为 e= =
则 =
=
=
=
=
即双曲线的渐近线方程为
y=± x=±
x，
故选： A．
6．已知双曲线 C：
﹣y
2
=1，O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C
的两条渐近线的交点分别为
M ，N．若△ OMN 为直角三角形，则 | MN| =（
）
A．
B．3
C．2
D．4
【解答】 解：双曲线 C：
﹣ y
=1 的渐近线方程为： y=
，
2
，渐近线的夹角
为： 60°，不妨设过 F（ 2，0）的直线为： y=
则：
解得M（
，
），
解得： N（
），
则| MN| =
=3．
故选： B．
7．设函数 f（x）=x
3
+（a﹣1） x
2
+ax．若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点
（ 0， 0）处的切线方程为（
）
A．y=﹣2x B．y=﹣ x
C．y=2x D． y=x
【解答】 解：函数 f （x） =x
3
+（a﹣1）x
2
+ax，若 f（ x）为奇函数，
可得 a=1，所以函数 f（ x） =x
3
+x，可得 f ′（ x）
=3x
2
+1，曲线 y=f（x）在点（ 0，0）处的切线的斜率
为： 1，则曲线 y=f（ x）在点（ 0，0）处的切线方程
为： y=x．故选： D．
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二．填空题（共
6 小题）
8．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点
c，则其离心率的值为
2
．
F
（ c，0）到一条渐近线的距离为
【解答】解：双曲线
=1（a＞ 0， b＞ 0）的右焦点 F（c，0）到一条渐近线
y= x 的距离为
c，
可得：
=b=
，
可得
，即 c=2a，
． 所以双曲线的离心率为： e=
故答案为： 2．
9．已知椭圆 M ： +
=1（a＞b＞0），双曲线 N：
﹣
=1．若双曲线 N 的
M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶
2
．
两条渐近线与椭圆
M 的四个交点及椭圆
点，则椭圆 M 的离心率为
；双曲线 N 的离心率为
【解答】解：椭圆 M：
+ =1（a＞b＞0），双曲线 N：
﹣
=1．若双曲线
N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的
顶点，
可得椭圆的焦点坐标（ c，0），正六边形的一个顶点（
得：
，
，
），可
可得
，可得 e
4
﹣8e
2
+4=0， e∈（ 0，1），
解得 e=
．
10
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- 让每个人平等地提升自我
同时，双曲线的渐近线的斜率为
，即
，
可得：
，即
，
可得双曲线的离心率为 e=
=2．
故答案为：
；2．
10．已知点 P（0，1），椭圆
+y
2
=m（m＞1）上两点 A， B 满足 =2
，则当
m= 5
时，点 B 横坐标的绝对值最大．
【解答】 解：设 A（ x
1
，y
1
），B（x
2
， y
2
），
由 P（0，1）， =2
，
可得﹣ x
1
=2x
2
，1﹣y
1
=2（ y
2
﹣1），
即有 x
1
=﹣2x
2
，y
1
+2y
2
=3，
又 x
1
2
+4y
1
2
=4m，
即为 x
2
2
+y
1
2
=m，①
x
2
+4y
2
=4m，②
22
①﹣②得（ y
1
﹣2y
2
）（y
1
+2y
2
） =﹣ 3m，
可得 y
1
﹣ 2y
2
=﹣m，
解得 y
1
=
， y
2
=
，
则 m=x
2
2
+（
）
2
，
即有 x
2
2
﹣（
=m
）
2
=
2
，
=
即有 m=5 时， x
2
有最大值 16，
即点 B 横坐标的绝对值最大．
故答案为： 5．
11．已知点 M（﹣ 1，1）和抛物线 C：y
2
=4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C
交于 A，B 两点．若∠ AMB=90°，则 k=
11
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2 ．
【解答】 解：∵抛物线 C： y
2
=4x 的焦点 F（1，0），
∴过 A，B 两点的直线方程为
y=k（x﹣1），
联立
可得， k
x
﹣2（2+k）x+k
=0，
2222
设 A（x
1
，y
1
），B（x
2
， y
2
），
则 x
1
+x
2
=
，x
1
x
2
=1，
∴ y
1
+y
2
=k（ x
1
+x
2
﹣2）= ，y
1
y
2
=k
2
（ x
1
﹣1）（x
2
﹣ 1）=k
2
[ x
1
x
2
﹣（ x
1
+x
2
）+1] =﹣4，
∵M（﹣1，1），
∴ =（x
1
+1， y
1
﹣1）， =（x
2
+1， y
2
﹣1），
∵∠ AMB=90°=0，∴ ? =0
∴（ x
1
+1）（x
2
+1）+（y
1
﹣1）（ y
2
﹣1）=0，
整理可得， x
1
x
2+（x
1
+x
2
）+y
1
y
2
﹣（ y
1
+y
2
）+2=0，
∴ 1+2+ ﹣4﹣ +2=0，
即 k
2
﹣4k+4=0，
∴ k=2．
故答案为： 2
在点（ 0，1）处的切线的斜率为﹣
2，则 a= ﹣ 3 ．
．曲线
y=（ax+1）e
12
x x x
x
【解答】 解：曲线 y=（ ax+1） e ，可得 y′=ae+（ax+1） e
，
曲线 y=（ ax+1） e
x
在点（ 0， 1）处的切线的斜率为﹣
2，
可得： a+1=﹣2，解得 a=﹣ 3．
故答案为：﹣ 3．
13．曲线 y=2ln（x+1）在点（ 0，0）处的切线方程为
y=2x
．
【解答】 解：∵ y=2ln（x+1），
∴ y′= ，
12
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当 x=0 时， y′=2，
∴曲线 y=2ln（ x+1）在点（ 0，0）处的切线方程为
y=2x．
故答案为： y=2x．
三．解答题（共
13 小题）
14．设函数 f （x）=[ ax
2
﹣（ 4a+1）x+4a+3] e
x
．
（ Ⅰ）若曲线 y=f（x）在点（ 1，f（1））处的切线与 x 轴平行，求 a；
（ Ⅱ）若 f（ x）在 x=2 处取得极小值，求
a 的取值范围．
【解答】 解：（Ⅰ）函数 f （x）=[ ax
2
﹣（ 4a+1）x+4a+3] e
x
的导
数为 f （′x）=[ ax
2
﹣（ 2a+1） x+2] e
x
．
由题意可得曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（1））处的切线斜率为
0，
可得（ a﹣2a﹣ 1+2）e=0，
解得 a=1；
（ Ⅱ）f（x）的导数为 f ′（x）=[ ax
2
﹣（ 2a+1） x+2] e
x
=（x﹣2）（ ax﹣1）e
x
，
若 a=0 则 x＜ 2 时， f ′（x）＞ 0， f（x）递增； x＞2，f ′（x）＜ 0，f（ x）递减．
x=2 处 f （x）取得极大值，不符题意；
若 a＞0，且 a=
，则 f ′（ x） =
（ x﹣ 2）
2
e
x
≥0，f （x）递增，无极值；
若 a＞
，则 ＜2，f（ x）在（ ，2）递减；在（ 2，+∞），（﹣∞，
）递增，
可得 f （x）在 x=2 处取得极小值；
若 0＜a＜
，则 ＞2，f （x）在（ 2， ）递减；在（
，+∞），（﹣∞， 2）递
增，
可得 f （x）在 x=2 处取得极大值，不符题意；
若 a＜0，则
＜ 2， f（x）在（ ，2）递增；在（ 2， +∞），（﹣∞，
）递减，
可得 f （x）在 x=2 处取得极大值，不符题意．
综上可得， a 的范围是（
， +∞）．
15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（
），焦点 F
1
（﹣ ，
13
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0），F
2
（
，0），圆 O 的直径为 F
1
F
2
．
（ 1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；
（ 2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P．
①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；
②直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点．若△ OAB 的面积为
，求直线 l 的方程．
【解答】
解：（1）由题意可设椭圆方程为
∵焦点 F
1
（﹣
2
，
∵∴
，0），F （ ，0），∴
，又 a
2
+b
2 2
，
=c =3
．
解得 a=2， b=1．
∴椭圆 C 的方程为：
，圆 O 的方程为： x
2
+y
2
=3．
（ 2）①可知直线 l 与圆 O 相切，也与椭圆 C，且切点在第一象限，
∴可设直线 l 的方程为 y=kx+m ，（k＜0，m＞ 0）．
由圆心（ 0， 0）到直线 l 的距离等于圆半径
，可得
．
由
，可得（ 4k
2
+1） x
2
+8kmx+4m
2
﹣4=0，
222
△ =（ 8km）﹣4（4k
+1）（4m
﹣4）=0，
可得 m
=4k+1，∴ 3k +3=4k+1，结合 k＜0，m＞0，解得 k=﹣
， m=3．
2222
将 k=﹣
，m=3 代入
可得
，
解得 x=
，y=1，故点 P 的坐标为（
．
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②设 A（x
1
， y
1
）， B（ x
2
，y
2
），
由
? k＜﹣
．
联立直线与椭圆方程得（
4k
2
+1）x
2
+8kmx+4m
2
﹣ 4=0，
| x
2
﹣
1
x | =
O 到直线 l 的距离 d=
|AB|=
| x
2
﹣
1
x | =
OAB
，
=
，
，
△
的
=
面
积
=
，
为
S=
解得 k=﹣
，（正值舍去）， m=3 ．
为所求．
∴ y=﹣
16．如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y=4x 上存在不同
的两点 A，B 满足 PA， PB的中点均在 C 上．
2
（ Ⅰ）设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴；
（ Ⅱ）若 P 是半椭圆 x
2
+
=1（ x＜0）上的动点，求△ PAB面积的取值范围．
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本文更新与2020-11-21 11:14，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/452611.html