高中数学优秀教学设计三年高考(2016-2018)高考数学试题分项版解析-专题17-椭圆-文(含解析)

2020年11月21日发(作者：强至)

专题
17
椭圆 文
考纲解读明方向
考纲解读
考点

内容解读 要求 常考题型 预测热度
选择题
1.
椭圆的定义及其标准方程
掌握
解答题
★★★
掌握椭圆的定义、几何图
填空题
掌握 ★★★
解答题
2.
椭圆的几何性质
形、标准方程及简单性质

3.
直线与椭圆的位置关系

掌握 解答题 ★★★
分析解读
1.
能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程
.2.
能熟练运用几何性质
（
如范围、对 称性、顶点、离心
率
）
解决相关问题
.3.
能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题
,
判断位 置关系及解决相关问题
.4.
本节
在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主
,
与 向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强
,
分值
约为
12
分
,
难度较大
.
2018
年高考全景展示
1
．【
2018
年全国卷
II
文】已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ， 则 的离心率为
1


A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】分析：设 ，则根据平面几何知识可求 ，再结合椭圆定义可求离心率
.

点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义 求焦点三角形的周长、
面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知 识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定
理，余弦定理以及椭圆的定义
.
2
．【
2018
年浙江卷】已知点
P
（0
，
1）
，椭圆
+
y
=
m
（
m
>1）
上两点
A
，
B
满足
=2
，则当
m
= ________________
时，
点
B
横坐标的绝对值最大．
【答案】
5
【解析】分析
:
先根据条件得到
A
,
B
坐标间的关系，代入椭圆方程解得
B
的纵坐标，即得
B
的横坐标关于
m
的函数关系，
最后根据二次函数性质确定最值取法
.
2
点睛：解 析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为 在深刻认识运动变化的
过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个
于函数最值的探求来使问题得以解决
.
（
或者多个
）
变量的函数，然后借助
3
．【
2018
年天津卷文】设椭圆
的右顶点为
A
，上顶点为
B
.
已知椭圆的离心率为
（
I
）求椭圆的方程；
（
II
）设直线 与椭圆交于 两点，与直线 交于点
M
，且点
P
，
M
均在第四象限
.
若 的
面积是 面积的
2
倍，求
k
的值
.
【答案】
（
Ⅰ
）
；
（
Ⅱ
） .


2


解析】分析： （
I
）由题意结合几何关系可求得
.
则椭圆的方程为
，由题意可得
.

II
）设点
P
的坐标为



，点
M
的坐标为


易知直线 的方程为 ，由方程组
可得
或
.
经检验 的值为
.
由方程组
可得
结合 ，可得 ，

详解：（
I
）设椭圆的焦距为
2
c
，由已知得 ，又由 ，可得 ．由
,
从而 ．所以，椭圆的方程为 ．
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）
注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭 圆的条件；
（2）
强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力， 重视根与系数之间的关系、 弦长、
斜率、三角形的面积等问题．
4
．【
2018
年文北京卷】 已知椭圆
M
有两个不同的交点
A
，
B
.
（Ⅰ）求椭圆
M
的方程；
Ⅱ）若 ，求 的最大值；
的离心率为 圆
，焦距为
.
斜率为
k
的直线
l
与椭
Ⅲ）设
共线，求
k
.

，直线
PA
与椭圆
M
的另一个交点为
C
，直线
PB
与椭圆
M
的另一个交点为
D
.
若
C
,
D
和点

3


答案】（Ⅰ）

Ⅱ） （Ⅲ）
的方程组，求解 的值，代入可得椭圆方程； （
2
）设直线方程为 解析】分析： （
1
）根据题干可得
，联立， 消 整理得 ，利用根与系数关系及弦长公式表示出 ，求其最值；
3
）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合 三点共线，利用共线向量基本定理
得出等量关系，可求斜率
.
详解：（Ⅰ） 由题意得 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，所以椭圆 的
标准方程为
Ⅱ）设直线 的方程为 ，由
消去 可得 ，则


，

，即 ，设 ， ，

，易得当 时，
的最大值为 ．
点睛： 本题主要考查椭圆与直线的位置关系， 第一问只要找到 三者之间的关系即可求解； 第二问主要考
查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式

变形为

，再将根与系数关系代入求解； 第三问考查椭圆与向量的综合知识，

，故
关键
4





在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解
2017
年高考全景展示
22
1.
【
2017
浙江，
2
】椭圆
x y
1
的离心率是
94
5

．
C
D
2
5
．
．
．
1
3





答案】
B
解析】
试题分析：
e

94
3
5
，选
3
B
．
考点】 椭圆的简单几何性质
名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 式，再根据
a,b,c
的方程或不等
a,b,c
的关系消掉
b
得到
a,c
的关系式，建立关于
a,b, c
的方程或不等式，要充分利用椭圆和双
曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
22
2.
【
2017
课标
1
，文
12
】设
A
、
B
是椭圆
C
：
x y
1
长轴的两个端点， 若
C
上存在点
M
满足∠
AMB
=120
°，
3m
则
m
的取值范围是
A
．
(0,1] U [9, )
C
．
(0,1] U [4, )
答案】
A
解析】



B
．
(0, 3] U [9,
D
．
(0, 3] U [4,
)


)

考点】椭圆
5


名师点睛】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确
定
a,b
的关系，求解时充分借助题设条件

AMB 120
转化为
a
tan60
b
3
，这是简化本题求解过程
的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．
3.
【
2017
课标
3
，文
11
】已知椭圆
C
：
2
x
2
y
2

1
的左、右顶点分别为
A
1
，
A
2
，且以线段
A
1
A
2
a
b
2
，（
a
>
b
>0
）
为直径的圆与直线
bx ay 2ab
0
相切，则
C
的离心率为
A
．
6
B
．
3

3
3
C
．
D
．
答案】
解析】 以线段
A
2

1
A
2
为直径的圆是
x
2
a
2

，直线
bx
ay 2ab 0
与圆相切，所以圆心到直线的距
离
d
离

a
2
2ab
b
2

a
，整理为
a
2

3b
2

，即
a
2

3 a
2

c
2
2
2a
2
3c
2

，即
c
2

e
c
a 3
6

，故
a
2
选
A.
考点】椭圆离心率
名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 式，再根据
a,b,c
的方程或不等
a,b,c
的关系消掉
b
得到
a, c
的关系式，而建立关于
a,b,c
的方程或不等式，要充分利用椭圆和
双曲线的几何性质、点的坐标的范围等
4.
【
2017
课标
II
，文
20
】设
O
为坐标原点，动点
M
在椭圆
C
上，过
M
作
x
轴的垂线，垂足为
uuur uuuur
NP
点
P
满足
2NM


（1）
求点
P
的轨迹方程；
uuur uuur
（2）
设点
Q
在直线
x 3
上，且
OP PQ 1
.
证明过点
P
且垂直于
OQ
的直线
l
过
C
的左焦点
F.
【答案】（
1
） （
2
）见解析
【解析】
试题分析： （
1
）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代
入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程， （
2
）证明直线过定点问题，一般方法以算代证：即证
uuur uuur
，先设
P
（
m
，
n
），则需证
3 3m tn 0
，根据条件
OP PQ 1
可得
3m m
2
tn n
2
1
，
而 ，代入即得
3 3m tn 0
.


N
，
6




（
2
）由题意知
F
（
-1,0
），设
Q
（
-3
，
t
），
P
（
m
，
n
），则
，
.

由 得
3m m
2
tn n 1
，又由（
1
）知
2
，故
3 3m tn 0
.
所以 ，即
.
又过点
P
存在唯一直线垂直于
OQ
，所以过点
P
且垂直于
OQ
的直线
l
过
C
的 左焦点
F
【考点】求轨迹方程，直线与椭圆位置关系 【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、
“定值”是多少，或 者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的
.
定点、定值问题同证明问题类
似， 在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定 值显现
.
5.
【
2017
北京，文
19
】已知椭圆
C
的两个顶点分别为
A
（ - 2,0）
，
B（2,0）
，焦点在
x
轴上，离心率为

．
3
2
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）点
D
为
x
轴上一点，过
D
作
x
轴的垂线交椭圆
C
于不同的两点
M
，
N
，过
D
作
AM
的垂线交
BN
于点
E
.
求证：△
BDE
与△
BDN
的面积之比为
4:5
．
2 2
x
【答案】（Ⅰ）
y 1
；（Ⅱ）详见解析
.
2
4
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据条件可知
a 2,
c 3

，以及
b a c
，求得椭圆方程；（Ⅱ）设
M （m,n）
，
a2

222
则
D（m,0）, N（m, n）
，根据条件求直线
DE
的方程，并且表示直线
BN
的方程，并求两条直线的交点，根
7