小学生趣味数学题2018全国1卷理科第12题——立体几何截面

2020年11月21日发(作者：邹衡)
节选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》，参考《立体几何的微观深入和宏观把握》淘
宝的博约书斋店铺唯一正版
1. 2018 全国 1 卷理科第 12 题
——对正方体结构的认知和运用+截面面积计算
1.（2018 全国 1 卷理科第 12 题）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面
角都相等，则

3 3
A．

4

所成的

截此正方体所得截面面积的最大值为（
2 3

B．

3
3 2

C．

4
）
3

D．

2
【解析】注意到正方体 12 条棱分为三组平行的棱，则只需与共顶点的三条棱所成角相等即
可，注意到正方体的结构，则平面应为图 1 中所示，所以只需由图中平面

最大面积截面如图 2 所示，
平移即可。
S
A。
max
6
3

4
2
(
2
3 3
)
4
，故本题正确答案为
变式 1：（1994 全国联赛填空题第 5 题）已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于
则
sin
=___



，
3
3


.
1
【解析】如上图 1，顶点到平面
ABC
的距离为体对角线的
3
，则
a
3
sin
变式 2：（2004 湖南数学竞赛第 8 题）过正方体
ABCD

A
1
B C D
a 3

的对角线
BD
的截面面
1
S

积为
S
，则
max
的值为（

1 1 1
）
S
A.

3
min

2
B.

6

2
C.
2 3

3
2 6
D.
3
【解析】如图，因为正方体对面平行，所以截面
BED F
1
为平行四边形，则
1 1


S
2S

BED


1
1
2 BD

2
1

h

，此时
E
到

BD
的最小值为
CC
与

BD
的距离，即当
E
为中点
1
时，
h
min

因为

2
a
（
a
为正方体棱长），
S
2
min
1

3a
2

a
6
a
2

2

S
，又
max
为
2 2 2
节选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》，参考《立体几何的微观深入和宏观把握》淘
宝的博约书斋店铺唯一正版
四边形
BC D F
1
1
的面积，选 C.
变式 3：（2005 全国高中数学联赛第 4 题）在正方体
ABCD A'B'C'D'
中，任作平面

与
对角线
AC'
垂直，使得

与每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为
S
，周
长为
l
，则（ ）
A.
S
为定值，
l
不为定值
C.
S
与
l
均为定值
B.
S
不为定值，
l
为定值
D.
S
与
l
均不为定值
【解析】选 B，将正方体切去两个正三棱锥
A A'BD
与
C'D'B'C
后,得到一个以平行平
面
A'BD
与
D'B'C
为上、下底面的几何体 V,V 的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形
W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行,将 V 的侧面沿棱
A'B'
剪开,展平在一张平面
上,得到一个平行四边形

A'B'B A
,如图
1 1

而多边形 W 的周界展开后便成为一条与

A' A
平行的线段(如图中

E'E
),显然
E'E
1
1
1
A' A

,
故 l 为定值.
当 E'位于
A'B'
中点时,多边形 W 为正六边形,而当 E'移至 A'处时,W 为正三角形,易知周长为
3
定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为
3
l
2

与
l
2

,故 S 不为定值.
36 24
变式 4：在长方体

ABCD
1
B C D
中，
A
1 1
AD 4, AA
AB
1
2

A
作平面
1

与

AB, AD
分别交于
M , N
两点，若
AA
与平面

1
1

，过点
．

所成角为
45
0

，则截面面积的最小值为
解析：过
A
作
MN
的垂线，垂足为
T
，
第一步：寻找
T
的轨迹：
T
的轨迹是平面
ABCD
内，以
A
为圆心，
2
为半径的圆