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2018年普通高等学校招生全国统一考试
（全国一卷）理科数学及参考答案
1 2018年普通高等学校招生全国统一考试
（全国一卷）理科数学
一、选择题：（本题有1 2小题，每小题5分，共60分。）
1、设z=，则∣z∣=（）
A.0 B. C.1 D.
2、已知集合A={x|x
2
-x-2>0}，则
A
=（）
A、{x|-1
地区农 村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，
得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例
建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是（）
A. 新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后， 养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4、记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，若3S
3
= S
2
+ S
4
，a
1
=2，则a
5
=（）
A、-12 B、-10 C、10 D、12
5、设函数
f
（x）=x3+（a-1）x2+ax .若f（x）为奇函数，则曲线y= f（x）在点（0，0）处的
切线方程为（）
2
A.y= -2x B.y= -x C.y=2x D.y=x
=（）
-
+
C.
6、在
?
ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则
A.
+
-
D.
B.
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆 柱表面上的点M在正视图上的对应
点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面 上，从M到N的路径中，
最短路径的长度为（
A. 2
B. 2
C. 3
D. 2
8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交 于M，N两点，则
·=( )
）
A.5 B.6 C.7 D.8
9.已知函数f（x）=
范围是( )
A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞）
g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值
10.下 图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的
直径分别为直角三 角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，
黑色部分记为Ⅱ， 其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分
别记为p
1
，p
2
，p
3
，则( )
A. p
1
=p
2
B. p
1
=p
3
C. p
2
=p
3
D. p
1
=p
2
+p
3
11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近
3
线的交点分别为
M
，
N
. 若△
OMN
为直角三角形，则∣
MN
∣=( )
A. B.3 C. D.4
1，每条棱所在直线与平面
）
C. D.
所成的角都相等，则截此正方体所得12.已知正方体的棱长为
截面面积的最大值为（
A. B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若x ，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 .
14.记S
n
为数列｛a
n
｝的前n项和. 若S
n
= 2a
n
+1，则S
6
= .
1 5.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有
有
种.（用数字填写答案）
1位女生入选，则不同的选法共
16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最 小值是 .
三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。第
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考 题：共60分。
17.（12分）
在平面四边形ABCD中，∠
ADC
=90 °，∠
A
=45°，
AB
=2，
BD
=5.
（1）求cos∠
ADB
；
（2）若DC =，求BC.
17～21题为必考题，
4
18.（12分）
如图，四边形
ABC D
为正方形，
E，F
分别为
AD
，
BC
的中点，以
DF
为折痕把?
DFC
折起，
使点
C
到达点
P
的位置，且
PF
⊥
BF
.
（1）证明：平面
PEF
⊥平面
ABFD
；
（2）求
DP
与平面
A BFD
所成角的正弦值.
19.（12分）
设椭圆C： + y2=1的右焦点为F ，过F的直线
l
与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）
（1）当l与x轴垂直 时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
20、（12分 ）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，
5
.
如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根
P
据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为
）
（
0
（1）记20件产品中恰有2件不 合格品的概率为f（
P
），求f（
P
）的最大值点
（2）现对一箱产 品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的
已知每件产品的检验费用为
25元 的赔偿费用。
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
EX；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，
验？
是否该对这箱余下 的所有产品作检
。
作为P的值，
2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不 合格品支付
X，求
21、（12分）
已知函数
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x
1
, x
2
, 证明： .
.
6
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多 做，则按所做的第
一题计分。
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线C?的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，
轴 建立极坐标系，曲线C?的极坐标方程为
2
+2cos -3=0.
（1）求C?的直角坐标方程:
（2）若C?与C?有且仅有三个公共点，求C?的方程.
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.
（1）当a=1时，求不等式f（x）﹥1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x） ﹥x成立，求a的取值范围.
7
x
轴正半轴为极
绝密★启用前
2 018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
8
一、选择题
1．C
7．B
2．B
8．D
3．A
9．C
4．B
10．A
5．D
11．B
6．A
12．A
二、填空题
13．
6
14．
63
15． 1616．
33
2
三、解答题
17．解：
（1）在
△ABD
中，由正弦定理得
5
sin45
ADB
BD
sinAsin
ADB
AB
ADB
2
5
2
25
2
5
.
.
由题设知，
2
sinADB
,
所以sin
由题设知，
90，
所以
cosADB1
23
5< br>.
.
（2）由题设及（1）知，
cosBDC
在
△BCD
中，由余弦定理得
BC
2
sinADB
BD
25
2 5.
2
DC
2
2BDDCcosBDC
2
5
825 22
所以
BC5
.
18．解：
（1）由已知可得，
又BF
BFPF
，
BFEF
，所以
BF
平面
AB FD
.
平面
PEF
.
平面
ABFD
，所以平面
PEF
（2）作
PHEF
，垂足为
H
. 由（1）得，
PH
平面
ABFD
.
Hxyz.
uuur
uuur
以
H
为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建 立如图所示的空间直角坐标系
由（1）可得，
DE
可得
PH
3
2
，EH
PE
. 又
DP
3
2
3
2
.
2
，
DE1
，所以PE3. 又
PF1
，
EF2
，故
PEPF
.
则H(0,0,0)，
P(0,0,)
, D(1,
3
2
u uur
,0)，
DP(1,,
22
33
uuur
)
，
HP(0,0,
3
2
)
为平面
ABFD
的法向量 .
9
设
DP
与平面
ABFD
所成角为，则
si n
uuuruuur
HPDP
|uuuruuur|
|HP||DP|
3
4
.
3
4
3
3
4
.
所 以
DP
与平面
ABFD
所成角的正弦值为
19．解：
（1） 由已知得
F(1,0)
，
l
的方程为
x
由已知可得，点A的 坐标为
(1,
2
2
2
2
1
.
)
或
(1,
2
2
2
2
)
. 所以AM的方程为
y
（2）当l与x轴重合时，
x
OMA
2或
y
OMB
x
0
.
2
.
当l与x 轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为
y直线MA，MB的斜率之和为
由
y
1
kx
1
k，y2
k
MA
kx
2
k
MB
k
MA
k得
2kx
1
x
2
(x
1
3k(x
1< br>2)(x
2
x
2
)
2)
4k
k
MB
y
1
x
1
2x
2
OMAOMB
.
k(x1)(k
y
2
2
.
0)
，
A(x
1
,y
1
)，B(x
2
,y
2
)，则x
1
2
，
x
2
2
，
.
将y k(x1)代入
x
2
2
2
y
2
2
1
得
2
(2k
所以，
x
1
则
2kx
1x
2
从而
k
MA
综上，
20．解：
（1）20 件产品中恰有
1)x4kx
2
2
2k
2
20
. < br>x
2
3k(x
1
k
MB
4k
,x
1
x
2
2
2k1
x
2
)4k
4k
2 k2
.
2
2k1
3
4k12k
2k
2
3
8k
1
3
4k
0
.
OMAOMB
.
0
，故MA，MB的倾斜角互补. 所以
OMB
.
OMA
2件不合格品的概率为
18
f(p)
2
Cp(1p)
. 因此
17
2
20
218
f(p)
令f(p)
为
p0
C
20
[2p(1p)
0，得p
2
18p(1p)]
217
2C
20
p(1p)(110p)
.
0；当p(0.1,1)时，f(p)0.所以f(p)的最大值点0.1. 当p(0,0.1)时，f(p)
0.1.
0.1.
YB(180,0.1)，
X20225Y
，即
（2）由（1）知，p
（ⅰ）令Y表示余下的18 0件产品中的不合格品件数，依题意知
X4025Y
.
10
所以EXE(4025Y)4025EY490.
400元. （ⅱ）如果对余下的产品作 检验，则这一箱产品所需要的检验费为
由于
EX400
，故应该对余下的产品作检验.
21．解：
（1）
f(x)
的定义域为(0,)，
f(x)
1
x
2
1
a
x
x
2
ax1
x2
.
)单调递减. （ⅰ）若
a≤2
，则
f(x)≤0
，当且仅当
a
（ⅱ）若
a
a
2
，令f(x)
2< br>，
x
2
1
时
f(x)0
，所以f(x)在(0,0得，
x
a
2
2
2
aa
2
4
或
x
aa
2
2
4
.
当
x(0,
a
a
2
a
2
2
2
4
)U(
a4< br>,)
时，
f(x)0
；
aa
2
2
当
x
aa
2
2
(
4a
,
a
2
2a
2
4
4
)
时，
f(x)0
. 所以
f(x)
在
(0,
4
)
，
(
aa
2
2
4
,)
单调递减，
在
(
4a
,)
单调 递增.
a2
. （2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当
由于f(x) 的两个极值点
f(x
1
)
x
1
f(x
1
)
x
1
x
1
，
x
2
满足
x
1a
lnx
1
x
1
1
x
2
2
ax
2
1
a
0
，所以
x
1
x
2
lnx
1
x
1
lnx
2
x
2
2
1
，不妨设
x
1
2lnx
2
，
a
1
x
2
x
2
x
2
，则
x
2
1. 由于
f(x
2
)
x
2
f(x
2
)
x
2
1
x
1
x
2
lnx
2
x
2
所以
a2
等价于
x
2
2lnx
2< br>0
.
设函数
g(x)
g(x)0
.
1
x
x2lnx，由（1）知，
g(x)
在
(0,)
单调递减，又
g(1)0
，从而当
x(1,)
时，
所以
1
x
2
x
2
2lnx
2
0
，即
f(x
1
)
x
1
f(x
2
)
x
2
a2
.
22．解：
（1）由xcos，ysin
2
得
C
2
的直角坐标方程为
(x1)y
2
4
.
（2）由（1）知
C
2
是圆心为
A(1,0)
，半径为
2
的圆.
由题 设知，
C
1
是过点
B(0,2)
且关于
y
轴对称的 两条射线
由于
B
在圆
C
2
的外面，故
C
1
与
C
2
有且仅有三个公共点等价于
点，或
l
2与
C
2
只有一个公共点且
当
l
1
与C
2
只有一个公共点时，
l
1
与
C
2
有两个公共点.
. 记
y
轴右边的射线为
l
1
，
y
轴左边 的射线为
l
2
.
l
1
与
C
2
只 有一个公共点且
l
2
与
C
2
有两个公共
A
到l
1
所在直线的距离为
2
，所以
|k
k
2
2|
1
2
，故
k
4
3
或
k0
. 经检
11
验，当
k0
时，
l
1
与C
2< br>没有公共点；当k
4
3
时，l
1
与C
2
只有 一个公共点，
l
2
与C
2
有两个公共点.
2
，故
k0
或
k
当
l
2
与C
2
只有一个 公共点时，
A
到l
2
所在直线的距离为
4
3
2，所以
|k
k
2
2|
1
4
3
. 经检
验，当
k0
时，
l
1
与
C
2
没有 公共点；当k时，
l
2
与
C
2
没有公共点.
综上 ，所求
C
1
的方程为
y
23．解：
4
3
| x|2
.
2,
（1）当
a1
时，f(x)|x
x
≤
1,
1x1,
x
≥
1.
1||x1|，即
f(x )2x,
2,
故不等式f(x)
（2）当x
1的解集为
{x|x1
}
.
2
x成立等价于当x(0,1)时|ax1|1成立. (0, 1)时|x1||ax1|
若
a≤0
，则当x
若
a0
，|a x
(0,1)时|ax1|≥1；
x
2
a
，所以
2
a
≥
1
，故
0a≤2
. 1|1的解集为
0
综上，a的取值范围为(0,2].
12
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国2卷）
13
绝密 ★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国
2．选择题必须使 用2B铅笔填涂；非选择题必须使用
2卷）
0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题 前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
整、笔迹清楚。< br>3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试
题 卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡 面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题 ，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．12i
12i
A．
43
55
iB．
43
55< br>iC．
34
55
iD．
34
55
i
2．已知 集合A{(x,y)|x
2
y
2
3,xZ,yZ}，则
A
中 元素的个数为
A．9 B．8 C．5 D．4
3．函数
f(x)
e
x
e
x
x
2
的图象大致为
4．已知向量
a
，
b
满足
|a|1
，
ab1
，则
a(2ab)< br>A．4 B．3 C．2 D．0
2
5．双曲线
xy
2
a< br>2
b
2
1(a0,b0)
的离心率为
3
，则其渐近线 方程为
A．y2xB．y3xC．
y
2
x
D．
y
3
22
x
6．在
△ABC
中，
cos
C5
，
BC1
，
AC5
，则
AB
开始
25
N0, T0
A．
42
B．
30
C．
29
D．
25
7．为计算
S1
11111
i1
23499100
，设计了 右侧的程序框图，则
是
在空白框中应填入
i100
否
NN
1
i
SNT
14
TT
1
输出S
i1
结束< br>A．
i
B．
i
C．
i
D．
i
ii
i
i
1
2
3
4
8．我国数学家陈景润在哥德 巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是
数可以表示为两个素数的和
于30的 概率是
A．
1
12
B．
1
14
BC
“每个 大于2的偶
”，如
30723
．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和 等
C．
1
15
D．
3，则异面直线
D．
1
18
AD
1
与DB
1
所成角的余弦值为
2
2
9．在长方体ABCD
A．
1
cosx
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
B．
5
1，AA
1
5
10．若
f(x)
A．
π
65sinx
在
[a,a]
是减函数，则
a
的最大值是
B．
π
2
,
f(50)
B．0
2
C．
54
11．已知
f(x)
是定义域为
(
则f(1)
A．< br>50
4
)
的奇函数，满足
f(1x)
C．
3π
f(1
D．
π
x)
．若
f(1)2
，
f(2)f (3)
C．2 D．50
3
6
x
12．已知F
1
，F
2
是椭圆
C：
2
a
y
2
b
2
1(ab0)
的左，右焦点，
A
是
C
的左顶点，点
P
在过
A
且斜率为
F
1
F
2
P120，则
C
的离心率为
C．
1
D．
1
4
的 直线上，
△PF
1
F
2
为等腰三角形，
A．
2B．
1
3
二、填空题：本题共
13．曲线
y
2
4小题，每小题
3
5分，共20分。
2ln(x1)
在点
(0,0)
处的切线方程为__________．
x2y
2y
5
≥
0 ,
3
≥
0,
则
zxy
的最大值为__________．< br>14．若
x,y
满足约束条件
x
x5
≤
0,
)
15．已知
sinαcosβ1
，
cosαsinβ0
，则
sin(αβ
16．已知圆锥的顶点为
S
，母线
SA
，
S B
所成角的余弦值为
__________．
7
8
，
SA< br>与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的
面积为
515
，则该圆锥的侧面积为
三、解答题：共
__________．
17～21题为必考题，每个试题考70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
22、23为选考题。考生根据要求作答。生都必须作答 。第
（一）必考题：共60分。
15
17．（12分）
记
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，已知
a
1
（1）求
{
a
n
}
的通项公式；
（ 2）求
S
n
，并求S
n
的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额
7
，
S
3
15
．
y
（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础 设施投资额，建立了
y
与时间变量
t
的两个线性回归模型．根据200030.413.5t；根据2010年至2016年至2016年的数据（时间变量
t
的值 依次为1,2,
年的数据（时间变量
?
,17）建立模型①：y
t
的 值依次为1,2,,7）建立模型②：
?
9917.5t．y
（1）分别利用这两个模 型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠 ？并说明理由．
19．（12分）
设抛物线
C：y
2
4x
的 焦点为
F
，过
F
且斜率为
k(k0)
的直线
l与
C
交于
A
，
B
两点，
|AB|8
．
（1）求
l
的方程；
（2）求过点
A
，
B
且与
C
的准线相切的圆的方程．
20．（12分）
如图，在三棱锥
P APBPCAC
PABC
中，ABBC22，
P
4
，
O为
AC
的中点．
（1）证明：
PO
平面
ABC
；
PAC
为
30
，
O
M
（2）若点
M在棱
BC
上，且二面角
M
面
PAM
所成角的正弦值．< br>求
PC
与平
A
C
21．（12分）
已知函数
f(x)
（1）若
a
e
x
ax
．
2
B1
，证明：当
x≥0
时，f(x)≥1；
16
（2）若f(x )在(0,)只有一个零点，求a．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答 。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系< br>]（10分）
x
y
2cosθ,
（
θ
为参数），直线
l
的参数方程为
4sinθ,
x
y
1tcosα,
2tsinα,
xOy中，曲线
C
的参数方程为
（
t
为参数 ）．
（1）求
C
和
l
的直角坐标方程；
（2）若曲线
C
截直线
l
所得线段的中点坐标为
23．[选修4－5：不等式选讲]（1 0分）
设函数f(x)5|xa||x2|．
（1）当
a1
时，求不等式f(x)≥0
的解集；
（2）若f(x)≤1，求
a
的取值范围．
(1,2)，求
17
l
的斜率．
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