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- 1 - 2018年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷1
理科数学 本试题卷共6页23题含选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项
1、本试卷分为第Ⅰ卷选择题和第II卷非选择题两部分.第Ⅰ卷1至3页第II
卷3至5页.
2、答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.
3、
全部答案在答题卡上完成答在本试题上无效.
4、考试结束后将本试题和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题本大题共12小题每小
题5分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
题目要求的.
1.设1
2
1
i
zi
i
则z
A. 0 B. 1
2 C. 1 D. 2
解析2(1)
2
2
i
zii
所以|z|1
故答案为C.
2. 已知集合
220Axxx则RCA
A.
12xx B. 12xx
C.
2|1|xxxx D.2|1|xxxx
解析由220
xx得(1)(2)0xx所以2x或1x所以RCA12xx故答案为
B.
3. 某地区经过一年的新农村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该
地区农村的经济收入变化情况统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得
- 2 - 到如下饼图
则下列结论中丌正确的是
A. 新农村建设后种植收入减少
B. 新农村建设后其他收入增加了一倍以上
C. 新农村建设后养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后养殖收入不第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析由已知条件经过一年的新农 村建设农村的经济收入增加了一倍实现翻番
所以尽管种植收入所占的比例小了但比以往的收入却是增加了 .故答案
为
A.
4. 设nS为等差数列
na的前n项和若3243SSS12a则5a
37%274%
A. 12
B. 10 C. 10 D. 12
解析由3243sss
得322143
3(32=2242
222
ddd
即3(63)127
dd所以3d52410ad 52410ad
为B.
5. 设函数321
fxxaxax若fx为奇函数则曲线yfx
切线方程为
A. 2
yx B. yx C. 2yx D. yx
解析由fx为奇函数得1
a2()31,fxx
所以切线的方程
为yx
.故答案为D.
6. 在ABC
中AD为BC边上的中线E为AD的中点则EB
- 3 -
AB
4
1
4
3
B. ACAB
4
3
4
1
4
1
故答案
在点0,0处的
4
3
4
3
4
1
解析 11131
()
22244
EBABAEABADABABACABAC
故
答案为A. 7.某圆柱的高为2底面周长为16其三视图如右图. 圆柱表面上的点M在正视图
上的对应点为A圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B
则在此圆柱侧面上从M到N的路径中最短路径的长度为 A. 17
2 B.52 C. 3 D. 2
解析如图画出圆柱的侧面展开图在展开图中线段MN的长度5
2即为最短长度故答案
为B.
8.设抛物线x
yC4:2的焦点为F过点0,2且斜率为3
2的直线不C交于N
M,两点则FNFM
A. 5 B.6 C. 7 D. 8
解析联立直线与抛物线的方程得M(12),N(4,4)所以
FNFM8故答案为D.
9.已知函数
,0,
ln,0,xex
fx
xx
gxfxxa
.若gx存在2个零点则a的取值
范围是
A.
1,0 B.0, C.1, D.1,
解析∵()()
gxfxxa存在2个零点即()yfx与yxa有两个交点)(xf的图象如M
N
2
4
- 4 - 图要使得yxa
与)(xf有两个交点则有1a即1a故答案为 C.
10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成三个半圆
的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC直角边AC
AB,.ABC的
三边所围成的区域记为Ⅰ黑色部分记为Ⅱ其余部分记为Ⅲ在整个
图形中随机取一点此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为3
21,,ppp则
A. 2
1pp B.31pp C. 32pp D. 321ppp 解析
∴区域Ⅰ的面积为11
222
2
S区域Ⅲ的面积为2
31
(2)22
2
S
区域Ⅱ的面积为2
2312
SS故12pp.故答案为A. 11.已知双曲线1
3
:2
2
y
x
CO为坐标原点F为C的右焦点过F的直线不C的两条
渐近线的交点分别为N
M,.若OMN为直角三角形则MN
A. 2
3 B. 3 C. 3
2 D. 4
解析渐近线方程为2
20
3
x
y即3
3
yx
∵OMN
为直角三角形假设2
ONM如图
∴3
NMk直线MN方程为3(2)
yx.联立3
取2ABAC,则22BC
3
3(2)
yx
yx
∴33
(,)
22
N即3
ON∴3
MON
∴3MN故答案为B. 12. 已知正方体的棱长为1每条棱所在的直线不平面所成
的角都相等则截此正方体
所得截面面积的最大值为
- 5 - A. 4
33 B. 332 C.423 D. 23
解析由于截面与每条棱所成的角都相等所以
平面中存在平面与平面11ABD平行如图而
在与平面11ABD平行的所有平面中面积最大的
为由各棱的中点构成的截面EFGHMN而平面EFGHMN的面积122333
6
22224
S.
故答案为A. 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题每个试题考
生都必须作答.第
(22)~(23)题为选考题考生根据要求作答.
二、填空题本题共4小题每小题5分.
13.若xy满足约束条件220
10
0
xy
xy
y
则32
zxy的最大值为_______________.
解析
画出可行域如图所示可知目
标函数过点(2,0)时取得最大
值max32206
z. 故答案为6.
14.记nS为数列
na的前n项和
若21nnSa
则6S_______________.
解析由已知得1121,
21,nnnnSaSa
作差得12nnaa所以{}na为公比为2的等比数列
- 6 - 又因为11121
aSa所以11a所以12n
na所以6
61(12)
63
12
S
故答案为-63.
15.从2位女生4位男生中选3人参加科技比赛且至少有1位女生入选则丌同的选法共有
__________种。用数字填写答案
解析分2
类 恰有1位女生有12
2412
CC种
恰有2位女生有21
244
CC种∴不同的选法共有12416种. 故答案为16.
16.已知函数2sinsin2
fxxx则fx的最小值是______________________.
解析∵()2sinsin2
fxxx∴()fx最小正周期为2T∴2'()2(cosc os2)2(2coscos1)fxxxxx
令'()0fx即22coscos10xx∴1
cos
2
x或cos1
x.
∴当1
cos
2
x
3
x,
当cos1,
x
x
∴53
()3
32
f.3
()3
32
f(0)(2)0
ff()0f
∴()
fx最小值为3
3
2
. 故答案为33
2
.
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17本小题满分12分
在平面四边形ABCD中90
ADC45A2AB5BD.
1求cosADB
2若22
DC求BC.
- 7 - 解1在ABD
中由正弦定理得52
sin45sinADB
,∴2
sin
5
ADB,
∵90
ADB,∴
223
cos1sin
5
ADBADB. 22
ADBBDC,∴coscos()sin
2
BDCADBADB∴coscos()sin
为函数的极小值点即3
或5
2
BDCADBADB,∴222cos
2
DCBDBC
BDC
BDDC
,∴22825
5
2522
BC
.∴5
BC. 18本小题满分12分
如图四边形ABCD为正方形,
EF分别为,ADBC的中点以DF为折痕把DFC折
起使点C到达点P的位置且PFBF
.
1证明平面PEF平面ABFD
2求DP不平面ABFD所成角的正弦值. 解1,
EF分别为,ADBC的中点则//EF AB∴EFBF又PFBF
BE平面ABFD∴平面PEF平面ABFD.
2PFBF
//BFED∴PFED
又PFPD
EDDPD∴PF平面PED∴PFPE
设4
AB则4EF2PF∴23PE
过P作PHEF
交EF于H点
由平面PEF平面ABFD
∴PH平面ABFD连结DH 则PDH
即为直线DP与平面ABFD所成的角
由PEPFEFPH
∴232
3
4
PH
而4
PD∴3
sin
4
PH
PDH
EFPFF∴BF
平面PEF
PD
∴DP与平面ABFD所成角的正弦值3
4.
- 8 - 19本小题满分12分
设椭圆2
2:1
2
x
Cy的右焦点为F过F的直线l不C交于,AB两点点M的坐标为
1 当l不x轴垂直时求直线AM的方程
2设O为坐标原点证明OMAOMB
. 解1如图所示将1x代入椭圆方程得21
1
2
y得2
2
y∴2
(1,)
2
A
∴2
2AMk∴直线AM的方程为2
(2)
2
yx.
2证明当l斜率不存在时由1可知
结论成立当l斜率存在时设其 方程(1)
ykx1122(,),(,)AxyBxy联立椭圆
方程有2
2(1)
,
1
2
ykx
x
y
即为2222(21)4220
kxkxk∴2
12
2,0.
2421
k
xx
k
2
12
22221
k
xx
k
121212
1212[(23()4]22(2)(2)AMBMyykxxxx
kk
xxxx
22
22
124412
(4)
2121
0
(2)(2)
kk
k
kk
xx
∴AMBMkk
∴OMAOMB. 20本小题满分12分
某工厂的某种产品成箱包装每箱200件每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验如
- 9 - 检验出丌合格品则更换为合格品。检验时先从这箱产品中任取20件作检验再根据
检验
结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为丌合格品的概率都为)
10(pp且
各件产品是否为丌合格品相互独立。
1记20件产品中恰有2件丌合格品的概率为)
(pf,求)(pf的最大值点0p
2现对一箱产品检验了20件结果恰有2件丌合格品以1中确定的0p作为p的值。
已知每件产品的检验费用为2元若有丌合格品进入用户手中则工厂要对每件丌合格品支
付25元的赔偿费用。
i若丌对该箱余下的产品作检验这一箱产品的检验费用不赔偿费用的和记为X求EX;
ii以检验费用不赔偿费用的期望值为决策依据是否该对这箱余下的所有产品作检验
解1由题意2218
20()(1)
fpCpp01p.
∴218217217
2020()[2(1)18(1)(1)]2(1)(110)
fpCppppCppp
∴当1
(0,)
10
p时()0
fp
即()fp在1
(0,)
10上递增当1
(,1)
10
p时()0
fp
即()
fp在1
(,1)
10上递减.
∴()
fp在点1
10
p处取得最大值即01
10
p.
2i设余下产品中不合格品数量为Y则4025
XY由题可知1
(180,)
10
YB∴1
18018
10
EYnp.
∴(418490
EXEYEY元.
ii由i可知一箱产品若全部检验只需花费400元
应该对余下的产品作检验. 21本小题满分12分
已知函数
1
若余下的不检验则要490元所以
lnfxxax
x
.
1讨论fx的单调性
2若fx存在两个极值点12,
xx证明12
122
fxfx
a
xx
.
- 10 - 解1①∵1
()lnfxxax
x
∴2
21
'()
xax
fx
x
∴当22
a时0'()0fx∴此时()fx在(0,)上为单调递增.
②∵0
即2a或2a此时方程210xax两根为22
1244
,
22
aaaa
xx
当2
a时此时两根均为负∴'()fx在(0,)上单调递减.当2a时
在24
(0,)
2
aa上单调递减()fx在2244
(,)
22
aaaa上单调递增()fx在24
(,)
2
aa
上单调递减.∴综上
可得2
0此时()fx
a时()fx在(0,)上单调递减2a时()fx在24
(0,)
2
aa24
(,)
2
aa
上单调递减()
fx在2244
(,)
22
aaaa上单调递增.
2由1可得210
xax两根12,xx得2a
∴1
21
x
x
121122
1211
()()ln(ln)fxfxxaxxax
xx
21122()(lnln)
xxaxx.∴1212
1212()()lnln
2
fxfxxx
a
xxxx
要证12
12()()
2
fxfx
a
xx
成立即要证12
12lnln
1
xx
xx
成立∴1
令120xx 1212,1xxaxx
12
2
2
12ln
0(1)
x
xx
x
x
xx
22
2
121
2ln
0
xx
x
xx
即要证22
21
2ln0xx
x
(21
x)
令1
()2ln(1)gxxxx
x
可得()
gx在(1,)上为增函数
∴12
12lnln
1
xx
xx
成立即12
12()()
2
fxfx
a
xx
()(1)0gxg ∴
成立.
- 11 - 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22本小题满分10分选修4-4坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中曲线1C的方程为2
ykx.以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴
建立极坐标系曲线2C的极坐标方程为22cos30.
1 求2C的直角坐标方程
2 若1C不2C有且仅有三个公共点求1C的方程. 解1由22cos30
可得22230
xyx化为22(1)4xy.
21C与2C有且仅有三个公共点说明直线2(0)
ykxk与圆2C相切圆2C圆
心为(1,0)
半径为2则22
2
1
k
k
解得4
3
k故1C的方程为42
3
yx. 23本小题满分10分选修4-5不等式选讲
已知11
fxxax.
1 当1
a时求丌等式1fx的解集
2 若0,1
x时丌等式fxx成立求a的取值范围. 解1当1a时21
()|1||1|211
21
x
fxxxxx
x
∴()1
fx的解集为1
{|}
2
xx.
2当0
a时()|1|1fxx当(0,1)x时()fxx不成立.
当0
a时(0,1)x∴()1(1)(1)fxxaxaxx不符合题意.
当01
a时(0,1)x()1(1)(1)fxxaxaxx成立.
当1
a时1
(1),1
()
1
(1)2,
axx
a
fx
axx
a
∴(1)121
a即2a.
- 12 - 综上所述a的取值范围为(0,2].
2018年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷2 理科数学 注意事项
1答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2作答时将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题本题共12小题
共60分在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的。
112i
12i
A43
i
每小题5分
55
B43i
55
C34i
55
D34i
55
解析212i(12)34
12(12)(12)5
ii
iii
34
i
55
故答案为D.
2已知集合223
AxyxyxyZZ≤则A中元素的个数为
A9 B8 C5 D4
解析由于223,
xy所以23x因为xz所以1,0,1x。
当1,
x时1,0,1y当0x时1,0,1y当1x时1,0,1y
有9个元素故答案为A.
3函数2eexxfx
x
的图像大致为
- 13 -
解析0
x时()()fxfx()fx为奇函数所以A不正确又1
(1)0fe
e
所
以D不正确又
x时()
fx所以B正确故答案为B.
4已知向量ab满足||1
a1ab则(2)aab
A4 B3 C2 D0
解析
5双曲线22
221(0,0)
xy
ab
ab
A共 。所以集合
的离心率为3则其渐近线方程为
A2
yx B3yx C2
2
yx D3
2
yx
解析因为231(),
b
e
a
所以2,
b
a
所以渐近线的方程为2
b
yxx
a
故答
案为A.
6在ABC
△中5
cos
25
C
1
BC5AC则AB
A42 B30 C29 D25
解析因为2253
cos2cos12()1
255
C
C所以 222
2coscababC3
125215()32
5
42,
c故答案为A.
7为计算11111
1
23499100
S…设计了右侧的程序框图
则在空白中框应填入
A1
ii
B2
ii
C3
ii
D
4ii 开始
0,0NT
SNT
S输出
1i
100i
1
NN
i
1
1
TT
i
结束
是否
- 14 - 解析由11111
1
23499100
S…及所给程序框图知先对奇数项累加、偶数项累加
再对和作差故在空白框内应填入2
ii故答案为B.
8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每
个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”
如30723
在不超过30的素数中随机选
取两个不同的数其和等于30的概率是
A1
12 B114 C115 D118
解析不超过30的素数有2, 3,5,711,13,17,19,23,29共有10个随机选取两个不同的数
共有2
1045
C种取法因为7+23=11+19=13+17=30其中和为30的共有3个利用古典概型的概
率计算公式得所求概率为31
4515
故答案为C.
9在长方体1111ABCDABCD
中1ABBC13AA则异面直线1AD与1DB所成角的
余弦值为
A1
5 B5
6 C55 D22
解析
10若
()cossinfxxx在[,]aa是减函数则a的最大值是
A
π
4 B
π
2 C3π4 Dπ
解析()cossin2cos()
4
fxxxx由22()
4
kxkkz
得 3
22
44
kxk
因为3
[,][,]
44
aa
从而有3
,,
44
aaaa
解得0
4
a故答案为A.
11已知
()fx是定义域为(,)
的奇函数满足
(1)(1)fxfx若(1)2
f则
(1)(2)(3)(50)ffff…
A50
B0 C2 D50
- 15 - 解析因为()
fx为奇函数且(1)(1)fxfx所以(1)(1)fxfx
函数4
T
又(1)2,(2)(0)0,
fff(3)(1)(1)2,fff(4)(2)(2)0 fff
一个周期内的和为050项共12个周期余2项和为2
12已知1F2F是椭圆22
221(0)
所以()fx为周期
所以
故答案为C.
xy
Cab
ab
的左右焦点A是C的左顶点点P在过A且斜率
为3
6的直线上12PFF
△为等腰三角形12120FFP则C的离心率为
A 2
3 B12 C1
3 D1
4
解析由题意直线PF的倾斜角为6002
PFc所以点P的坐标为(2,3)cc代入直线
PA的方程3
()
6
yxa得a=4c所以离心率为1
4故答案为D.
二、填空题本题共4小题每小题5分共20分。
13曲线2ln(1)
yx在点(0,0)处的切线方程为__________
解析2
1
y
x
切线方程2
yx.
14.若,
xy满足约束条件250
230
50
xy
xy
x
则zxy
的最大值为__________
解析画出不等式组表示的平面区域利用直线截距的几何意义可知当5,4
xy时max9,z故答案为9.
15已知sincos1
αβ
cossin0αβ则sin()αβ__________
解析将已知的两式平方后相加得
sin()αβ1
2
.
16已知圆锥的顶点为S母线SASB所成角的余弦值为7
8SA与圆锥底面所成角为45°
若SAB
△的面积为515则该圆锥的侧面积为__________
解析由题意222117
sin1()515
228SABslASBl解得45
l所以圆锥的侧
面积为22
(45)402
2
rl故答案为402π.
三、解答题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题
- 16 - 每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题考生根据要求作答。
一必考题共60分。
1712分
记nS为等差数列{}na的前n项和已知17
a315S
1
求{}na的通项公式
2求nS并求nS的最小值
解1设{}na的公差为d由题意得13315
ad.
由17
a得d=2.
所以{}na的通项公式为29nan
.
2由1得228(4)16nSnnn
.
所以当n
=4时,nS取得最小值,最小值为?16.
1812分
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y单位亿元的折线图
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额建立了y与时间变量t的两个线性回归
模型根据2000年至2016年的数据时间变量t的值依次为1217
…建立模型①?
30.413.5yt根据2010年至2016年的数据时间变量t的值依次为
127…建
立模型②?
9917.5yt
1分别利用这两个模型求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值
2你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由.
- 17 - 解1利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ?
30.413.519226.1y(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ?
9917.59256.5y(亿元).
2利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下
ⅰ从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5
yt上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好
地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明
显增加2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近这说明从2010年开始
环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线
性模型?
9917.5yt可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因
此利用模型②得到的预测值更可靠.学.科网
ⅱ从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预
测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模
型②得到的预测值更可靠.
1912分
设抛物线24
Cyx的焦点为F过F且斜率为
(0)kk的直线l与C交于AB两点||8
AB
1求l的方程 2求过点AB且与C的准线相切的圆的方程
解1由题意得(1,0)
Fl的方程为(1)(0)ykxk.
设122
1(,),(,)AyxyxB
由2(1),
4
ykx
yx
得2222(24)0
kxkxk. 216160k故12
2
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本文更新与2020-11-21 11:49，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/452647.html