数学分析南开。2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(理科)(一)

2020年11月21日发(作者：焦元操)
2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
.
x
选项中，只有一项是符合题 目要求的
1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）
＜1}，则（
A．A∩B={x|0＜x≤2}B．A∩B={x|x＜0}C．A∪B={x|x＜2}
）
D．A∪B=R
2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数 z是纯虚
数，则（）
D．a＜0
a）和股（b）
3，
）
A． a=3 B．a=0 C．a≠0
3．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾 （
分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为
股为4，若从图 中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（
A．B．C．D．
）4．（5分）已知 等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
9
=6π，则t an a
5
=（
A．B．C．﹣D．﹣
）5．（5分）已知函数f（x）=x +（a∈R），则下列结论正确的是（
A．?a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增
B．?a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减
C．?a∈R，f（x）是偶函数
D． ?a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增
6．（5分）（1+x）（2 ﹣x）
的展开式中x项的系数为（
A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣48
4< br>）
7．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）
A．π+4+ 4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+4
）8．（5分）若a＞1，0＜c＜b＜ 1，则下列不等式不正确的是（
A．log
2018
a＞log
2018b B．log
b
a＜log
c
a
C．（a﹣c）a
＞ （a﹣c）a
cb
D．（c﹣b）a
＞（c﹣b）a
cb
9．（5分 ）执行如图所示的程序框图，若输出的
以是（）
n值为11，则判断框中的条件可
A． S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？
）的部分图象如图
y=g（x）
10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωｘ+φ）（ω＞0，|φ|≤
所 示，将函数f（x）的图象向左平移
的图象重合，则（）
个单位长度后，所得图象与函数
A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+
）
2
）C．g （x）=2sin2x
D．g（x）=2sin（2x﹣
11．（5分）已知抛物线C：y=4 x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物
线C与P、Q两点，则
A．B．C．1 +
D．2
*
的值为（）
12．（5分）已知数列{a
n
}中，a
1
=2，n（a
n
+
1
﹣a
n
） =a
n
+1，n∈N，若对于任意的
*
a∈[﹣2，2]，n∈N
， 不等式＜2t
2
+at﹣1恒成立，则实数t的取值范围为
（）
B．（﹣∞， ﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
∪[2，+∞）D．[﹣ 2，2]
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知向量 =（1，λ），=（3，1），若向量2﹣与=（1，2）共线，
．
，则z=x﹣3y+1的最 大值是．
则向量在向量方向上的投影为
14．（5分）若实数x，y满足
15．（5分 ）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下焦点F
1
作y轴的垂线，交
F
2< br>，则双曲线的离心双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点
率为．
16 ．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为
时，其外接球的体积为．
24，则当该长方体 体积最大
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤 .）
17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
2acosA=bc osC+ccosB．
（1）求角A的大小；
（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平 分线，AB=2，BC=4，求AD的长．
a，b，c，若
侧棱CC，且CC
18．（ 12分）如图，在三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，
1
⊥地面ABC
1
=2AC=2BC，
AC⊥BC，D是AB的中点，点M 在侧棱CC
1
上运动．
（1）当M是棱CC∥平面MAB
1
；
1
的中点时，求证：CD
（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为
的余弦 值．
时，求二面角A﹣MB
1
﹣C
1
19．（12分）第一届“一带 一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日
在北京举行，这是2017年我国重要的主场 外交活动，对推动国际和地区合作具
有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况 ，在全校组织
12份问卷，得到其测了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了
试成绩（百分制），如茎叶图所示．
（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有
绩在70分 以上的人数；
（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取
①记X表示选取4人的成绩的平 均数，求
1人．
3000名学生，试估计该校测试成
P（X≥87）；
②记ξ 表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望．
20．（12分）已知椭圆C：
率 为
+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为
．
F
1
，F
2，离心
，点P在椭圆C上，且△PF
1
F
2
的面积的最大值为2
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点 M，N，若在x轴上
存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．
，a∈ R，e为自然对数的底数．
21．（12分）设函数f（x）=e
﹣2a﹣ln（x+a）（1）若a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范
x
围 ；
（2）若0＜a＜，试判断函数f（x）的零点个数．
请考生在22、23两题中任选一题作 答，如果多做，则按所做的第一题记分
修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知在 平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+
.[选
=1，以O
l的极为极点，x轴的 非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线
坐标方程为ρsin（θ+）=3．
C 的参数方程；
x+y﹣1|的最大值．
（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆
（2）设 M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x ）=|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；
（2）若g（x）=f （x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数
证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣ b|．
a，b，
2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷
（一）
参 考答案与试题解析
（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小 题给出的四个
.
x
选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知集合 A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）
＜1}，则（
A．A∩B={x|0＜x≤2}B． A∩B={x|x＜0}C．A∪B={x|x＜2}
）
D．A∪B=R
【解答】解： 集合A={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，
B={x|（）
＜1}={x|x＞0}，< br>则A∩B={x|0＜x＜2}，
A∪B=R．
故选：D．
x
2．（5 分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚
数，则（）
D．a＜0A．a=3 B．a=0 C．a≠0
【解答】解：由z+3i=a+ai，
得 z=a+（a﹣3）i，
又∵复数z是纯虚数，
∴
故选：B．
，解得a=0．
3．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（
分别表示直角三角形的两 条直角边，用弦（
a）和股（b）
3，
）
c）表示斜边，现已知该图中勾为< br>股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（
A．B．C．D．
【解答】解：设直角三角形的长直角边为a=4，短直角边为b=3，
由题意c=5，∵大方形的边长 为a+b=3+4=7，小方形的边长为c=5，
则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，< br>∴满足题意的概率值为：1﹣=．
故选：B．
4．（5分）已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
9
=6π，则tan a
5=（
A．B．C．﹣D．﹣
【解答】解：由等差数列的性质可得：S
9
= 6π＝=9a
5
，
∴a
5
=．
则tan a
5=tan=﹣．
故选：C．
5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），则下列结论 正确的是（）
A．?a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增
B．?a∈R，f（x） 在区间（0，+∞）内单调递减
C．?a∈R，f（x）是偶函数
D．?a∈R，f（x）是奇 函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增
【解答】解：当a≤0时，函数f（x）=x+在区间 （0，+∞）内单调递增，
当a＞0时，函数f（x）=x+在区间（0，]上单调递减，在[，+∞） 内单
调递增，
）
故A，B均错误，
?a∈R，f（﹣x）=﹣f（x）均成立 ，故f（x）是奇函数，
故C错误，
故选：D．
6．（5分）（1+x）（2﹣x）< br>的展开式中x项的系数为（
A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣48
4
4
）
【解答】解：∵（2﹣x）展开式的通项公式为
∴（1+x）（2﹣x）
4
的展开式中x项的系数为﹣
故选：A．
T
r
+
1
= ?2
4
﹣
r
（﹣x），
r
?2
3
+24
=﹣16，
7．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+4
【解答】解：由三视图 可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．
其直观图如下所示：
其表面积S=2×< br>1=2π+4
故选：B
+4，
π?1+2×
2
×2×1++﹣ 2×
8．（5分）若a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是（
A．log
2018
a＞log
2018
b B．log
b
a＜log
c
a
bcb
＞（a﹣c）a＞（c﹣b）a
C．（a﹣c）aD．（c﹣b） a
c
）
【解答】解：根据对数函数的单调性可得
确，
∵a＞1，0＜ c＜b＜1，
∴a＜a，a﹣c＞0，
cb
log
2018
a＞lo g
2018
b正确，log
b
a＜log
c
a正
∴ （a﹣c）a
c
＜（a﹣c）a
b
，故C不正确，
∵c﹣b＜0，< br>∴（c﹣b）a
c
＞（c﹣b）a
b
正确，
故选：C．
9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的
以是（）
n值为11，则判断框中的条件可
A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？
【解答】解： 第1次执行循环体，S=3，应不满足输出的条件，n=2，
第2次执行循环体，S=7，应不满足输出 的条件，n=3，
第3次执行循环体，S=15，应不满足输出的条件，n=4，
第4次执行循 环体，S=31，应不满足输出的条件，n=5，
第5次执行循环体，S=63，应不满足输出的条件， n=6，
第6次执行循环体，S=127，应不满足输出的条件，n=7，
第7次执行循环体， S=255，应不满足输出的条件，n=8，
第8次执行循环体，S=511，应不满足输出的条件，n =9，
第9次执行循环体，S=1023，应不满足输出的条件，n=10，
第10次执行循环 体，S=2047，应不满足输出的条件，n=11
第11次执行循环体，S=4095，应满足输出的 条件，
故判断框中的条件可以是S＜4095？，
故选：C．
10．（5分）已知函数 f（x）=2sin（ωｘ+φ）（ω＞0，|φ|≤
所示，将函数f（x）的图象向左平移
的 图象重合，则（）
）的部分图象如图
y=g（x）个单位长度后，所得图象与函数
A． g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+
）
）C．g（x）=2sin 2x
D．g（x）=2sin（2x﹣
【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωｘ+φ） （ω＞0，|φ|≤
得
根据
==+，∴ω=2，
）的部分图象，可
+ φ=2?（﹣）+φ=0，∴φ＝，故f（x）=2sin（2x+
个单位长度后，所得图象与函数）．
将函数f（x）的图象向左平移
象重合，
故g（x）=2sin（2x+故选：A．
+
y=g（x）的图
）=2sin（2x+）．
11．（5分 ）已知抛物线C：y=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物
线C与P、Q两点，则
A．B．C．1
+
D．2
2
2
的值为（）
【解答】解： 抛物线C：y
=4x的焦点为F（1，0），过点F作斜率为1的直线l：
y=x﹣1，
可得，