意识能动性：四年级奥数详解蝴蝶模型

2020年11月21日发(作者：丁文琪)
详解蝴蝶模型
同学们大家好，今天我们来讲一下十分重要的蝴蝶模型的知识总
结，推 导过程就不写啦，上课老师都讲过的哟。
首先，蝴蝶模型是四边形中的模型哦！同学们可不要在三角形或
者其他边形中去考虑使用蝴蝶模型呀。
一、任意四边形蝴蝶模型

如图，在任意四边形ABCD中连接四边形的两条对角线 ，会出
现S1S3和S2S4两只蝴蝶。
我们有两个结论：
（1）S1×S 3=S2×S4(对角面积相乘相等，不是相加！)。想想特殊
的四边形有哪些，这个结论在它们身上同 样成立吗？
（2）S△ABD:S△BDC=AO：OC，和S△ADC:S△ABC=DO: OB(大
三角形的面积比等于它们内部线段之比，或者叫它们的伤口之比：
△ABD的伤口是A O，△BCD的伤口是OC，所以它们俩的面积之比
就是AO:OC啦！)

二、梯形蝴蝶模型

如图，仍然是把梯形的对角线相连，仍然有两只蝴蝶，我们的结论是
（1）因为梯形也是四边 形，所以任意四边形蝴蝶模型的结论当然还
成立啦：S1×S3=S2×S4(对角面积相乘相等）；
（2）S2=S4（不平行的蝴蝶翅膀一样大）；
（3）若梯形上底与下底之比为a:b，则图中四块小三角形的面积之
比为

(注意：平行的蝴蝶的两个翅膀的面积份数是a的平方份和b的平方
份！而且切记切记：该结论只能通 过上下底的比求出四个小三角形的
面积份数，而不能直接求面积)；
其实知识点就这么多，关键是怎么运用。
蝴蝶模型到底应该在什么时候用，又该怎么用呢？
首先，交叉！蝴蝶模型一定是在有两条线段交叉的时候使用，所
以我们看到交叉一定要 连接这两条交叉的线段的四个顶点去构造四
边形呀！
其次，蝴蝶找到了，就看该蝴蝶是任意四边形还是梯形。有平行
那肯定是梯形啦！
再 次，如果是梯形蝴蝶，那我们还要考虑到底是使用不平行蝴蝶
翅膀一样大的结论，还是使用已知上下底之 比标份数的结论。若图中
有边长之比，那往往应该找出梯形上下底之比去求每一块儿的份数来
求 解了。
举个例子：

ABCD是平行四边形，ABED是梯形，三角形ODE的面 积是6
平方厘米，BC:CE=3:2,求阴影面积
首先我们看到AE和DC是交叉的，所以我们应该连接AC构造蝴蝶。
如下图：
< br>图中ACED就是我们要研究的梯形蝴蝶模型。因为△ODE面积是6
平方厘米，所以△AOC的 面积也是6平方厘米。接下来我们该求△ABC
的面积了。怎么办呢？我们应该从BC:CE=3:2这 个条件入手，有边
长比，那一般就能找梯形上下底之比，很多同学会卡在这里，因为他
们忽视了 ABCD是平行四边形这个条件。BC:CE=3:2，所以AD：CE
也是3：2,根据梯形蝴蝶模型 的第三个结论，我们可以写出S△AOD：
S△OCE：S△AOC:S△ODE=9：4：6：6（注 意平方），△ODE的面积
是6平方厘米，对应6份，所以一份是1平方厘米。AOD的面积就
是9平方厘米。而S△ABC=S△OCD（都是平行四边形ABCD的一半），
因此能得到△ABC也 是9+6=15平方厘米。所以阴影就是
S△ABC+S△AOC=15+6=21平方厘米。
当然也可以利用BC:CE=3:2=S△ABC:S△ACE（等高模型），而S△ACE
的面积是 S△AOC+S△OCE=6+4=10平方厘米，也能得到S△ABC的
面积是15平方厘米。
注意：梯形蝴蝶模型常常结合等高或者一半模型哦！
同学们，你们明白了吗？