茶壶里煮饺子：求一元二次方程的根

2020年11月21日发(作者：解倩)
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求一元二次方程的根
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生
今后学习 数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。
根据定义可知，只含 有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程
一般式为：。一元二次方程有三个 特点：(1)只含有一个未知数；(2)
未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程 是否为一元二次方程，要先看它
是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为
么这个方 程就是一元二次方程。
在过去我们学了一元一次方程的解法，我们就用求一元一次解的方法来求一元二 次方程
的根。一元一次方程的形式：ax+b=0
例：3x+3=0 求：x。 3x+3=0 1、求：x，2、求：x 。
下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本 思想方法是通过“降次”，将它
化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平 方法；2、配方法；
3、公式法；4、因式分解法。
下面我们看一下第一个，直接开平方法。
（1）、什么是直接开平方法：直接开平方法就是平方的逆运算
例1 ：用开平方法解下面的一元二次方程。
22
的形式，那
（1）
2
； （2）

（3）（3x—4）=121； （4）
分析：直接开平方 法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如
的方程，
第（3）题因方程左边可变为完全平方式
直接开平方法解；
第（4）小题，方程左边 可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平
方法进行解答了。
解：（1）
∴
由
由

（注意不要丢解）
得
得
，
，
，

得，

，右边的121＞0，所以此方程也可用
∴原方程的解为：
（2）
由
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由
∴原方程的解为：
得
，
2


（3）（3x—4）=121
∴
∴
∴，


，

，即
，
，
，


，
∴原方程的解为：
（4）
∴
∴
∴
∴原方程的解为：
说明 ：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，
像本题要求用开平方法直接 求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两
边同时开方时，只需在一边取正负号，还 应注意不要丢解。
（2）、例2 ：用配方法解下列一元二次方程。
（1）
分析：用配方法解方程
系数化为1，
变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加
；（2）

，应先将常数移到方程右边，再将二次项
一次项系数的一半的平方，
即：
即：，
，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，
接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时
加上一次项系数的 一半的平方。
解：（1）
，

二次项系数化为1，移常数项得：
配方得：，即
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直接开平方得：
∴，


， ∴原方程的解为：
（2）



二次项系数化为1，移常数项得：
方程两边都加上一次项系数一半的平方得：
即
直接开平方得：
∴，



∴原方程的解为：，
说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。
配方时应 按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边
同时加上一次项系数一 半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任
务。
例4：用公式法解下列方程。
（1）
；（2）

，使用时应先把一 元二
的值，当≥0时，把各项系数
＜0时，方程无解。
（2）分析：用公式法就是指利 用求根公式
次方程化成一般形式，然后计算判别式
的值代入求根公式即可得到方程的根。但要注 意当
第（1）小题应先移项化为一般式，再计算出判别式的值，判断解的情况之后，方可确定是
否可直接代入求根公式；第（2）小题为了避免分数运算的繁琐，可变形为
求出判别式的值后，再确定是 否可代入求根公式求解。
解：（1）
化为一般式：
求出判别式的值：
代入求根公式：，
，

＞0
，
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∴
（2）
，


＞0
化为一般式：
求出判别式的值：
∴
∴，
说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不 到简单方法时，即考虑化为一般
形式后使用公式法。但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量， 再求出判别式的值，
解得的根要进行化简。
例5：用分解因式法解下列方程。
（1）；（2）
分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次
因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次
方程 所得到的根，就是原方程的两个根。第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；
第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。
解：（1）


左边分解成两个因式的积得：
于是可得：
∴，
，





（2）
化简变为一般式得：
左边分解成两个因式的积得：
于是可得：
∴，
，

说明：使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能达到降次的目的。
把方程一边化为0， 把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。因为这
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是把方程降次的重要手段之一。
从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化，
转化的方法主要为开平方法和使 方程一边为0，把方程另一边分解因式，配方，或利用
求根公式法。
另外，在解一元二次方程 时，要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单方
法，找不到简单方法时，
即考虑化为一般形式后使用公式法。
总结
：直接开平方法是最基本的方法。公式法 和配方法是最重要的方法。公式法
适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般 形式，以便确定系数，
而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导 公式的工
具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方
法之一。 最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，
同时应使二次项系数 化为正数。因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、
分解因式等简单方法，找不到简单 方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方
程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到 简便解法时就应直接求解。
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