考研数学一均分高中数学必修五-知识点总结

2020年11月21日发(作者：贾醒卿)
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《必修五知识点总结》
第一章：解三角形知识要点
一、正弦定理 和余弦定理
a
1
、正弦定理：在
a
、
C 中，b
c
、分别为角、
、 C 的对边，，则有
sin
( R 为
C 的外接圆的半
径 )
sin sin C
b c
2R
2、正弦定理的变形公式：
① a
②
sin
③ a : b : c
sin
3、三角形面积公
式：
4
、余弦定理：在
C 中，有
2R sin
， b
2R sin
， c 2R sin C ；
c
a
， sin
:
sin
S
b
， sin C
2R
: sin
C ；
C
1
；
2 R 2 R
bc sin
1
ab sin C
1
ac sin
．
2
a
2
b
2
c
2
2
2bc cos
2
cos A
，推论：
b
2
c
2
a
2
2bc
a
b
2
2
c
2
b
2
a
2
c
2
2ac cos B ，推论：
cos B
2ac
c
2
a
2
b
2
2ab cosC ，推论： cosC
a
2
b
2
c
2
2ab
二、 解三角形
处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角 度（几何
作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、 一解、无解的
三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解
1、三角形中的边角关系< br>（1）三角形内角和等于 180°；
大于第三边，任意两边之差
小角；
b=2 R·sinB,
2< br>（2）三角形中任意两边之和
（3）三角形中大边对
小于第三边；
大角，小边对
·sinA, （ 4）正弦定理中 , a=2 R
（ 5）在余弦定理中
c=2R·sinC，其中 R 是△ ABC 外接圆半径 .
:2bccosA= bc
2
a .
2
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（ 6）三角形的面积公式有 :S=
1
ah,
2
h 是 BC 边上高， P 是半周长 .
S= absinC= 1 bcsinA=
2 2
1
acsinB ,S= P( P a) (P b)(P c)
2
1
其中，
2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形
（ 1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理 .
正弦定理 . （ 2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用
（ 3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理 .
（ 4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用
（ 5）已知两边和其中一边的对角，求第 三边和其他两个角，常选用
3、利用正、余弦定理判断三角形的形状
常用方法是：①化边为角； ②化角为边
4、三角形中的三角变换
（ 1）角的变换
因为在△ABC 中， A+B+C=π
sin
A B
余弦定理 .
正弦定理 .
.
，所以
sin
C
sin(A+B)=sinC ； cos(A+B)= － cosC ； tan(A+B)= － tanC 。
cos , cos
2 2
CA
B
2
；
2
（ 2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
r 为三角形内切圆半径，
p 为周长之
半
（ 3）在△ ABC 中，熟记并会证明：∠
数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三
角形的充分必 要条件是∠
三、解三角形的应用
1.坡角和坡度：
坡面与水平面的锐二面角叫做坡角， 坡面的垂直高度
据定义
可知：坡度是坡角的正切，即i tan .
h 和水平宽度 l
A ，∠ B ，∠ C 成等差数列且a，b，c 成等比数列 .
A ，∠ B ，∠ C 成等差
的比叫做坡度，用i 表示，根
h
α
l
2.俯角和 仰角：
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如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，
.
目标视线 在水平视线的上方时叫做仰角，
目标视线在水平视线的下方时叫做俯角
3.方位角
从指 北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为.
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三 者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相
对于正北方向而言的。
4.方 向角：
相对于某一正方向的水平角 .
5.视角：
由物体两端射出的两条光线，在眼 球内交叉而成的角叫做视角
第二章：数列知识要点
一、数列的概念
1、数列的概念：< br>一般地，按一定次序排列成一列数叫做
写成 a
1
, a
2
,a
3
, , a
列的通
项 .
数列可看作是定义域为正整数集
列函数值就是这个数列 .
N （或它的子集）的函 数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一
n
数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，其中第一项 a
1
项，数列的一般形式可以
, ，简记为数列a
n
也成为首项； a
n
是数列的第 n 项，也叫做数专业资料整理
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第3页共3页
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WORD格式2、数列的分类：
按数列中项的多数分为：
（ 1）有穷数列
（2）无穷数列
3、通项公式：
如果数列a
n
的第 n 项 a
n
与项数 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a
n
f n ，那么这个式子
：数列中的项为有限个，即项数有限；
：数列中的项为无限个，即项数无限.
就
叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
4、数列的函 数特征：
一般地，一个数列a
n
，
如果从第二项起，每一项都大于它前面的一 项，即a
n 1
a
n
，那么这个数列叫做递增数列
如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即a
n 1
a
n
，那么这个数列叫做递减数列
如果数列a
n
的各项都相等，那么这个数列叫做常数列 .
5、递推公式：
某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．
二、等差 数列
1、等差数列的概念：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么 这个数列久叫做等差数列，
等差数列的公差.
即
a
n
a d （常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.
1 n
2、等差数列的通项公式：
设等差数
列
a
n
的首项为 a
1
，公差为 d ，则通项公式为：
a
n
a
1
n 1 d a
m
n m d , n、m N .
3、等差中项：
A 叫做 a 与 b 的等差中项，且
（ 1）若 a、 A、 b 成等差数
列，则
A=
a
b
;
2
（ 2）若数列为等差数列，则 a
n
, a
n 1
, a
n 2
成等差数列，即 a
n 1
是
a
n
a
n
与 a
n 2
的等差中项，且
反之若数
列
a
满足 a
anan 2
n 1
= ，则数列 a 是等差数列 .
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这个常数叫做
ana
n 1
= n 2
2
a
；
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n
2
4、等差数列的性质：
第
n
4页共4页
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（ 1 ）等差数列 a
n
a
m
a2a
p
；
a
n
（ 2）若数列
（ 3）等差数
列
d 0
列
a
n
则
n
中，若 m
p q m、、n 、p
q N , 则 a
m
a
a
p
n
a
q
，若 m
n 2 p，
则
n
和 b
n
均为等差数列，则数
a
n
b
n
也为等差数列；
的公差为 d ，
a
n
为递减数
d 0
a
n
列 .
为常数
a
n
为递增数列， d 0 列，
5、等差数列的前 n 项和S
n
：
（ 1）数列
a
的前 n 项和 S
n
= a
n 1
a
2
a
3
a a , n
n 1 n
S
1
, n 1
.
S
n
S
n 1
,n2
a
n
na
1
2
n n 1
d.
N
；
（ 2）数
列
的通项与前 n 项和 S
n
的关系：
a
n
a
n
（ 3）设等差数列 a
和 S
n
=
n
n a
1
的首项为 a
1
, 公差为 d ，则前 n 项
2
6、等差数列前 n 和的性质：
（ 1）等差数
列
a
中，连续 m 项的和仍组成等差数列，即
a
n
a
1
a
3m
,仍为等差数列（即 S
m
, S
n n 1
a
n
的前 n 项和 S
n
=na
1
2
d = n
2
d2
a
2
S
m
, SS
2m
,
a
m
, a
a
m 1
m 2 a
2 m
,
2m 12 m 2
a
2m3m
成等差数列）；
n, 当 d
d
0
2
时， S
n
可看作关于
n 的
二
（ 2）等差数
列
a
1
次函数，且不含常数项；
（ 3）若等差数
列
a
n
奇
共有 2n+1（奇数）项，则 S S
偶
=a
n 1
S
偶
2n（偶数）项，
则S
偶
S
奇
=nd且
S偶
中间项且
S
奇
n
=
n
1
若等差数列
,
a
n
有
共
=
an 1
.
S
奇
7、等差数列前 n 项和S
n
的最值问题：
设等差数
列
（ 1） a
1
a
n
a
n
的首项为 a
1
, 公差为 d ，则
0 （即首正递减）
时，
0 （即首负递增）
时，
S 有最大值且 S 的最大值为所有非负数项之
和；
n n
S
n
有最小值且 S
n
0且d
（ 2） a
1
0且d 的最小值为所有非正数项之和 .
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三、等比数列
1、等比数列的概念：
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如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫 做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字
母
an 1
a
n
2、等比数列的通项公式：
a
n
设等比数列
为：
的首项为 a
1
q 表示（ q
0）
.
即
q q为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.
，公比为 q ，则通项公式
a
n
a
1
q
n 1
a
m
q
n m
, n m,n、m N .
3、等比中项：
（）若 a、 A、 b 成等比数列，
则
1
（ 2）若数列
a
n
反之若数列 a
叫做
A a
b 的等比中项，
与
且
2
A=ab
=a
成等比数列，即 a
n 1
是 a
n
与 a
n 2
的等比中项，且
为等比数列，则 a
n
,a
满足 a
2
n
n 1
,a
n 2
a
2
n
1 n a
n 2
；
是等比数a
n
n1
=a
n
a
n 2
，则数列列 .
4、等比数列的性质：
（ 1 ）等比数列
a
n
a
m
a
n
a
2
p
a
p
a
中，若 m n
p q m、、n 、p q N, 则 a
m
a
n
q
，若
m
n 2 p，
则
；
和 b均为等比数列，则数列a
n
b也为等比数列；（2）若数列 a
nnn
（3）等比数列 a
n
的首项为 a
1
，公比为 q ，则
a
1
q
q 1
0
或
10
a
n
a
1
q
0
1
a
n
为递增数
列，
a
1
0
或
a1
q
0
1
a
n
为递减数列，
0 q 1
为常数列 .
5、等比数列的前 n 项和：
（ 1）数列
a a
a 的前 n 项和 S = a
n n 1 2
（ 2）数列
a
n
a
3
a , n
n 1 n
S
1
, n
S
n
N
；
的通项与前 n 项和 S
n
的关系：
a
n
1
.
S
n 1
,n 2
na
1
, q1
.
, q 1
1 q
a
n
（ 3）设等比数列
q
的首项为 a
1
，公比为 q
0 ，则 S
n
a
1
1 q
n
由等比数列的通项公式及
前n 项和公式可知，已知
a
1
, q, n, a
n
, S
n
中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.
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6、 等比数列的前n 项和性质：
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设等比 数
列
a
n
中，首项为 a
1
，公比为 q q 0 ，则
（ 1）连续 m 项的和仍组成等比数列，
即
为等比数列（即 S
m
, S
（ 2）当
q
2m
a
1
a
2
a
m
, a
a
m 1
m 2
a
2 m2m 1
, aa
2 m 2 a
3m
,仍
S
m
, S
3m
S
2 m
,
成等差数列）；
1时， S
n
a
1
1 q
1 q
n
a
1
1 q
1 q
n
a
1
a
1
1 q 1 q
q
n
a
1
q 1
q
n
a
1
q 1
，
a
设
1
t ，则 S
n
tq
n
t .
q 1
四、递 推数列求通项的方法总结
1、递推数列的概念：
一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递 推关系，
推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列
2、两个恒等式：
对于任意的数列
（ 1） aa
n
（ 2） a
n
a
n
恒有：
a a
3 2
a
4
a
3
a
把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递
.
a a
1 2 1
a
1
a
2
a
1
a
3
a
2
a
4
a
n
, a
n 1
a
3
0,n N
a a
n n 1
n
3、递推数列的类型以及求通项方法总结：
f ( n)
类型一（公式法）：已知 S
n
（即 a
1
a
2
a
n
a
n
S
n
的首项 a
1
,且
类型二（累加法）：已知：数列
a
给递推公式 a
n 1 n
f n , n
a
n
N
a
n
中的 n 依次取
1,2,3， ,, ，
1 a
n
f n , n N ，求通项 a
n
.
个式n-1,可得到下面 n-1
子：
）求 a
n
，用作差法：
S
1
,( n 1)
S
n ,( n
12)
a
2
a
1
f 1 , a
a
1
3
a
a
2
2
f 2 ,a
a
1
f 3
a
3
4
a
3
f 3 , ,
a
n
a
2
a
4
f n 1 .
a
3
a
n 1
a
n
f n 1 .
an
1
可得：
利用公式 a
n
a
n
af 1
1
f 2
类型三（累乘法）：已知：数列
a
n
的首项 a
1
,且
an
1 f
a
n
n , n N ，求通项 a
n
.
给递推公式
an
1 f n , n N
中的 n 一次取
1,2,3 ， ,, ，
n-1,可得到下面 n-1
子：
个式
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