小学数学能力测试(完整版)高中数学必修五第一章.docx

2020年11月21日发(作者：赖少其)








解三角形复习知识点

一、知识点总结


【正弦定理】

c

sin C


1．正弦定理 :



a

b

sin A

sin B

2R
(

R
为三角形外接圆的半径

).

2. 正弦定理的一些变式：
i

a b

c sin A

sin B sin C
；

ii sin A


,sin B

2R


a
iii

a

2Rsin A, b

2Rsin B, b 2Rsin C
；（

4）




b

,sin

C

c

；

2R

2R


a

b

c


2R


sin A


sin B


sin C


3．两类正弦定理解三角形的问题：

（ 1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角
.

（ 2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角
. （可能有一解，两解，无解）












【余弦定理】

a
2

b
2


b
2

a
2


c
2

b
2


cos A



c
2

2bccos A

c
2

2ac cosB

a
2

2bacosC

c
2

a
2

2bc


c
2

b
2

2ac

2ab

.



1．余弦定理：











b
2









a
2





2. 推论：



cos B









cosC



b
2



a
2

c
2



设
a
、

b

、
c
是

①若
a
2

②若
a
2

③若
a
2


C
的角

、

、
C
的对边，则：

b
2

b
2

b
2

c
2

，则
C

c
2

，则
C

90
o

；


90
o

；



c
2

，则
C 90
o

．







3. 两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角 .
（ 2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角
.

【面积公式】

已知三角形的三边为

1.
S

a,b,c,

1
2

ah
ab sin C

r (a b c)

（其中

r

为三角形内切圆半径）
a
11


2

2

2. 设
p
















1
2

( a b c)
, S


p( p a)( p b)( p c)

1



【三角形中的常见结论】




（ 1）
A



B C

(2)

sin( A B) sin C , cos( A B)

cosC, tan( A B)

tan C,

sin
A B
2


cos
,
cos

C
2

A

B

2

sin
;

sin 2 A

2 sin A cos A
,

2


C
（3）若
A



B

C

a b

c

若
sin A

sin B

sin C

（大边对大角，小边对小角）

sin A

sin B

a b c

A

sin C

B C

（ 4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

（ 5）三角形中最大角大于等于
60
，最小角小于等于
60




(6) 锐角三角形

方和大于第三边的平方

钝角三角形

三内角都是锐角

.

三内角的余弦值为正值

任两角和都是钝角

任意两边的平

最大角是钝角

最大角的余弦值为负值


（ 7）

(8)

ABC
中，

A,B,C

成等差数列的充要条件是

B 60

.

ABC
为正三角形的充要条件是

A,B,C 成等差数列，且







a,b,c 成等比数列 .

二、题型汇总

题型 1【判定三角形形状】

判断三角形的类型

（ 1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状 : 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成
边的形式或角的形式 .


a
2

b
2

c
2

A
是直角

A
是钝角

A
是锐角

（ 2）在



ABC
中，由余弦定理可知

:

a

2

b
2

c
2

a

2

b
2

c
2

（注意：
A
是锐角

ABC是直角三角
形

ABC是钝角三角
形

ABC是锐角三角
形

ABC是锐角三角形

）







(3)

若
sin 2 A sin 2B


，则A=B或
A B
.

2

例 1.

在
ABC
中，
c




















2bcosA
，且

(a b c)(a b c)

3ab
，试判断

ABC
形状

.


题型 2【解三角形及求面积】

A,B,C 和它们的对边

a,b,c 叫做三角形的元素



一般地，把三角形的三个角

元素的过程叫做 解三角形 .

例 2. 在
ABC
中，
a






. 已知三角形的几个元素求其他


1
，

b

3
，

A

30
0

，求 的值