大学生数学建模竞赛题目高中数学必修五试卷习题包括答案.docx

2020年11月21日发(作者：濮又华)






~

必修五阶段测试四



(本册综合测试 )
















时间： 120 分钟

满分： 150 分

5 分，共

60 分 )








一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题

3x
－
1
≥ 1 的解集是 (


)


1．不等式
2
－

x






3

≤ x≤2



3


≤ x<2



3

A. x
4

D ．{ x|x<2}

C. x

x>2或 x≤
4

2． (2017 存·瑞中学质检 )△ ABC 中， a＝ 1， B＝ 45°， S
△

ABC
＝2，则△ ABC 外接圆的直径为 (

A ．4 3

B ．5


2

B. x
4

)













C． 5 2


2




D． 6 2

)







3．若 a<0 ，则关于 x 的不等式

x － 4ax－5a

>0 的解为 (

A ．x>5a 或 x<－ a


B．x>－ a 或 x<5a



C．－ a

D． 5a




1

1

4．若 a＞ 0， b＞ 0，且 lg(a＋ b)＝－ 1，则
a
＋
b
的最小值是 (

5


A.
2

B． 10


)




C． 40


D． 80

5．设 S
n
为等差数列 { a
n
} 的前 n 项和，若 a
1
＝ 1， a
3
＝ 5，S
k
＋
2
－ S
k
＝ 36，则 k 的值为 ()

A ．8

B． 7


C． 6


D ．5

(

b

)









6．若 a， b， c∈R ， a>b，则下列不等式成立的是

1 1

A.
a
<
b

1

1






a

D． a|c|>b|c|


7．已知等差数列 { a
n
} 的公差为

d(d≠ 0)，且 a
3
＋ a
6
＋ a
10
＋ a
13
＝ 32，若 a
m
＝ 8，则 m 的值为 (

A ．12


B.
a
2
>
b
2
C.
c
2
＋
1
>

c
2
＋ 1

)

B． 8




C． 6





D ． 4








x＋ y≤8，

2y－ x≤4，

x≥ 0，

y≥ 0，













2
8．若变量 x，y 满足约束条件


且 z＝ 5y－ x 的最大值为 a，最小值为 b，则 a— b 的值是

























*



()

A ．48




B． 30





C． 24







D． 16





9．设 { a
n
} 是等比数列，公比 q＝ 2，S
n
为 { a
n
} 的前 n 项和，记 T
n
＝



17S
n
－S
2 n
a
n

＋
(n∈ N )，设 Tn
0

为数列 { T
n
}

1





的最大项，则 n
0
＝ (

A ．2

)


B． 3

C． 4







D ．5

2

10．设全集 U＝ R， A＝ { x|2(x－ 1)


<2}











，B＝ { x|log (x ＋ x＋ 1)> －log
2

(x ＋ 2)}

1




2
，





2






则图中阴影部分表示的集合为

(

)

~~~






~

A ．{ x|1≤ x<2}

B． { x|x≥ 1}

C． { x|0
D． { x|x≤ 1}

)



11．在等比数列 { a
n
} 中，已知 a
2
＝ 1，则其前三项的和 S
3
的取值范围是 (

A ．(－∞，－ 1]

C． [3，＋∞ )



B ． (－∞， 0]∪ [1，＋∞ )

D ． (－∞，－ 1]∪ [3，＋∞ )



12．(2017 山·西朔州期末 )在数列 { a
n
} 中， a
1
＝ 1，a
n

＋
1
＝ a
n
＋ n＋ 1，设数列


1

的前 n 项和为 S
n
，若 S
n

a
n
对一切正整数 n 恒成立，则实数 m 的取值范围为 (

A ．(3，＋∞ )


)

C． (2，＋∞ )


B． [3，＋∞ )

D． [2，＋∞ )


二、填空题 (本大题共

4 小题，每小题

5 分，共 20

分 )


13．(2017 福·建莆田二十四中期末 )已知数列 { a
n
} 为等比数列， 前 n 项的和为

＋ 3，则此数列的公比 q＝ ________.

S
n
，且 a
5
＝ 4S
4
＋ 3，a
6
＝ 4S
5

14． (2017 ·山一中期末唐 )若 x>0， y>0， x＋ 2y＋2xy＝ 8，则 x＋ 2y 的最小值是 ________．


15．如右图，已知两座灯塔


















A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于

3a km，灯塔 A 在观察站

C 的北偏

东 20°.灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ________．

16．已知 a， b， c 分别为△ ABC 三个内角

A， B， C 的对边， a＝ 2，且 (2＋ b)(sinA－sinB) ＝(c－ b)sinC，


则△ ABC 面积的最大值为 ________．








三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分)

2

17． (10 分)(2017 山·西太原期末 )若关于 x 的不等式 ax ＋3x－ 1>0 的解集是 x



2
1
2



















(1)求 a 的值；


2

(2)求不等式 ax

－3x＋ a ＋ 1>0 的解集．



→ →


18.(12 分 )在△ ABC 中，内角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c，且 a>c.已知 BA·BC＝ 2， cosB＝













1
，b＝ 3.

3






求：

(1)a 和 c 的值；


(2)cos(B－ C)的值．



1

19． (12 分)(2017 辽·宁沈阳二中月考

)在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为

＋
2
BC
(1)求 sin ＋cos2A 的值；


2





a， b， c，且 cosA＝

3









.

(2)若 a＝ 3，求 bc 的最大值．





20.(12 分 )(2017

长·春十一高中期末

)设数列 { a
n
} 的各项都是正数，且对于

n∈ N
*
，都有 a
1
3
＋ a
2
3
＋ a
3
3
＋, ＋

~~~





3

2
~

a
n
＝ S
n
，其中 S
n
为数列 { a
n
} 的前 n 项和．

(1)

求 a
2
；

(2)

求数列 { a
n
} 的通项公式．











x＋ 2y≤ 2n，


21． (12 分)已知点 (x， y)是区域

x≥ 0，


( n∈N
＋
)内的点，目标函数 z＝x＋ y， z 的最大值记作 z
n
.





y≥ 0


若数列 { a
n
} 的前 n 项和为 S
n
，a
1
＝1，且点 ( S
n
， a
n
)在直线 z
n
＝x＋ y 上．

(1)

证明：数列 { a
n
－ 2} 为等比数列；

(2)

求数列 { S
n
} 的前 n 项和 T
n
.

22.(12 分)某投资商到一开发区投资






72

万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出

12 万元，以后每年支

出增加

4 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入

收入－前 n 年的总支出－投资额 )．

(1)

该厂从第几年起开始盈利？



50

万元．设 f(n)表示前 n 年的纯利润总和 (f(n)＝前 n 年的总









(2)若干年后，投资商为开发新项 目，对该厂有两种处理方法：①年平均纯利润达到最大时，以

出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以





48 万元

16 万元出售该厂，问哪种方案更合算？


答案与解析


3x－ 1
≥

1
，可得
3x－ 1
－

1
≥

0
，所以
3x－ 1－ 2－ x

1．B 由
2
－

x

3
≥ 0，即
4x
－
3
2－ x

≥ 0，所以

4x－ 3 x－ 2 ≤ 0，

解得

≤ x<2.




2－x

2－ x

x－2≠ 0，

故选 B.


1


2． C

∵ S
△

ABC
＝
2
acsinB＝ 2，

1 2
∴
2
× 1×
2
c＝ 2，∴ c＝4 2，
∴ b＝ c＋ a－ 2accosB＝ 32＋1－ 2× 1× 4 2× ＝ 25，
2
∴ b＝ 5，∴外接圆的直径为







222
2
＝ ＝ 5

2，故选 C.

sinB

2


2


b5
3． B

(x＋ a)(x－ 5a)>0. ∵a<0,

∴－ a>5a.

∴ x>－ a 或 x<5a，故选 B.





1
，








4． C

若 lg(a＋ b)＝－ 1，则 a＋b＝
10

1111
∴ ＋＝ 10 ＋
(a
＋

b)
＝

a ba b

~~~






~


b a

＋
10 2＋
a

b
≥ 10(2＋ 2)＝ 40.

当 a＝b＝
20
1
时，“＝”成立，故选 C.

5
－
1

5． A

∵ a
1
＝ 1， a
3
＝ 5，∴公差

d＝




＝ 2，

∴ a
n
＝ 1＋2(n－ 1)＝ 2n－ 1，
S
k
＋
2
－ S
k
＝ a
k
＋
2
＋ a
k
＋
1
＝ 2(k＋ 2)－ 1＋ 2(k＋ 1)－ 1＝ 4k＋ 4＝ 36，∴ k＝ 8，故选 A.


1


ab

，故选















6． C

∵ a>b，
c
2
＋

1
>0

，∴

c
2
＋

1
>
c
2
＋

1
7． B

由等差数列的性质知，

a
3
＋a
6
＋a
10
＋a
13
＝ 4a
8
＝ 32，

C.
∴ a
8
＝ 8.又 a
m
＝8，∴ m＝ 8.
8． C


如图所示，当直线

24，故选 C.


z＝ 5y－ x 经过 A 点时 z 最大，即 a＝16，经过 C 点时 z 最小，即 b＝－ 8，∴ a－ b＝


n
＝ a
1
(2 － 1)， S
2n
＝




n



9． A S
n
＝



a
1
2
n
－ 1


2－ 1


2n
2－ 1

a
1
2n
＝ a
1
(2


－ 1)， a
n
＋
1
＝ a
1
·2 ，

2－ 1



n2n
17S
n
－S
2n
17a
1
2－1 － a
1
2－ 1

16

n
∴ T
n
＝

＝ 17－

2 ＋
n
≤17－ 8＝ 9，当且仅当

n＝ 2 时取等号，∴数

＝


n

＋
a
n

1

a
1
·2

2


列{ T
n
} 的最大项为 T
2
，则 n
0
＝ 2，故选 A.

10． A












由 2(x－ 1)
2
<2，得 (x－ 1)
2
<1. 解得 0





∴ A＝ { x|0



1

2
2



－log
2
(x ＋ 2)，



2


得 log
2
(x
2
＋ x＋ 1)2
(x
2
＋ 2)．
x
2
＋ x＋ 1>0，

则 x
2
＋ 2>0，

x
2
＋ x＋ 12
＋ 2.


∴ B＝ { x|x<1} ．∴ ?
U
B＝ { x|x≥ 1} ．

∴阴影部分表示的集合为

(?
U
B)∩ A＝ { x|1≤ x<2} ．















a
1
·











解得 x<1.












11． D 设数列 { a
n
} 的公比为 q，则 a
2
＝ a
1
q＝1，∴ q＝

1
，

a
1




∴ S
3
＝ a
1
＋ a
2
＋ a
3
＝a
1
＋a
1
q＋ a
1
q ＝ a
1
＋ 1＋

2
1

，当 a
1
>0

时， S
3
≥ 1＋ 2


1

＝ 3，当且仅当 a
1
＝ 1

时，


a
1

a
1

~~~