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高中数学必修
5 知识点总结
第一章：解三角形
1、正弦定理：在
有
C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
、
、
C
的对边，
R
为
c
C
的外接圆的半径，则
a
b
sin
a
2R
2R
．
sin
sin C
2、正弦定理的变形公式：①
②
sin
a 2Rsin
，
b 2Rsin
b
，
sin C
，
c
2Rsin C
；
，
sin
c
2R
a
；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）
2R
b
③
a : b : c
④
sin :sin
:sin C
；
a b c
sin
c
．
sin
sin C
3、三角形面积公式：
S
C
1
sin sin
bc sin
1
sin C
ab sin C
1
2 2
ac sin
．
2
4、余 定理：在
C
中，有
a
2
b
2
c
2
2ab cosC
．
2bc cos
，
b
2
a
2
c
2
2ac cos
，
c
2
a
2
b
2
b
2
c
2
a
2
a
2
c
2
b
2
2ac
a
2
b
2
c
2
5、余弦定理的推论：
cos
2bc
，
cos
，
cosC
2ab
．
6
、设
a
、
、
c
是
b C
的角
C
、 、
的对边，则：①若
a
2
b
2
c
2
o
为直角三角形；
C 90
，则
②若
a
2
b
2
c
2
，则
C 90
o
为锐角三角形；③若
a
2
b
2
o
c
2
，则
C
90
为钝角三角形．
第二章：数列
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
6、递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
9、数列的通项公式：表示数列
a
n
的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式．
a
n
与它的前一项
a
n 1
（或前几项）间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项
11、如果一个数列从第
2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这 个数列称为等差数列，这个
常数称为等差数列的公差．
12、由三个数
a
，
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则
称为
a
与
b
的等差中项．若
b
a c
2
，则称
b
为
a
与
c
的等差中项．
13、若等差数列
a
n
的首项是
a
1
，公差是
d
，则
a
n
a
1
n 1 d
．
通项公式的变形：
①
a
n
a
m
n
m d
；②
a
1
a
n
n
1 d
；③
d
⑤
d
a
n
m
．
n m
a
；④
a
n
n 1
a
1
n
a
a
n1
1
；
d
14、若
a
n
是等差数列，且
差数列， 且
2n
m n p
q
（
m
、
n
、
p
、
q
*
*
），则
a
m
a
n
a
p
a
q
；若
a
n
是等
p
、
q
p q
（
n
、
），则
2a
n
a
p
a
q
；下角标成等差数列的项仍是等差数列；
连续 m 项和构成的数列成等差数列。
15、等差数列的前
n
项和的公式：①
S
n
n a
1
2
a
n
；②
S
n
na
1
n n 1
d
．
2
16、等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2n n
，则
S
2 n 1
*
，则
S
2n
n a
n
a
n 1
，且
S
偶
S
奇
nd
，
S
奇
S
偶
中
S
奇
a
n
a
．②若项数为
2n 1 n
1
*
2n
1 a
n
，且
S
奇
S
偶
S
奇
a
n
，
n
（其
n 1
na
n
，
偶
）．
S
偶
n
1
Sn
a
n
17、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个
常数称为等比数列的公比．
18、在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
G
称为
a
与
b
的等比中项．若
G
2
ab
，
则称
G
为
a
与
b
的等比中项．
19、若等比数列
a
n
的首项是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
a
1
q
n 1
．
a
n
a
m
q
20、通项公式的变形：①
n
m
；②
a
1
a
n
q
n 1
；③
q
n 1
a
n
；④
q
n m
a
1
*
a
n
．
a
m
21、若
a
n
是等比数列，且
数列，且
2n
m n p
q
（
m
、
n
、
p
、
q
*
），则
a
m
a
n
a
p
a
q
；若
a
n
是等比
p
q
（
n
、
p
、
q
），则
a
n
2
a
p
a
q
；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连
续 m 项和构成的数列成等比数列。
22、等比数列
a
n
的前
n
项和的公式：
S
n
na
1
q
1
a
1
1
q
n
1 q
a
1
a
n
q
q 1
1 q
．
q 1
时，
S
n
a
1
1 q 1 q
a
1
q
n
，即常数项与
q
n
项系数互为相反数。
*
，则
23、等比数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2n n
S
偶
q
．
S
奇
②
S
n m
S
n
q
n
S
m
．
③
S
n
，
S
2 n
S
n
，
S
3n
S
2n
成等比数列．
SS
nn 1
24、
a
n
与
S
n
的关系：
a
n
n
n
2
S
1
一些方法：
一、求通项公式的方法 ：
1
1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法
①若相邻两项相减后为同一个常数设为
a
n
kn
b
，列两个方程求解；
a
n
an
2
bn c
，列三个方程求解；
②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为
③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为
2、由递推公式求通项公式：
①若化简后为
a
n 1
a
n
②若化简后为
a
n
③若化简后为
a
n
④若化简后为
a
n
a
n
aq
n
b
，q 为相除后的常数，列两个方程求解；
d
形式，可用等差数列的通项公式代入求解；
f (n),
形式，可用叠加法求解；
1
a
n
a
n
ka
n
1
q
形式，可用等比数列的通项公式代入求解；
b
形式，则可化为
(a
n 1
x) k (a
n
x)
，从而新数列
{ a
n
x}
是等比数
1
列，用等比数列求解
{ a
n
3、由求和公式求通项公式：
①
a
1
4、其他
（ 1）
a
n
x}
的通项公式，再反过来求原来那个。 （其中
x
是用待定系数法来求得）
S
1
②
a
n
SS
nn 1
③检验
a
1
是否满足 a
n
，若满足则为
a
n
，不满足用分段函数写。
a
n 1
a
n 1
f n
形式，
f n
1
便于求和，方法：迭加；
例如：
a
n
a
n 1
n
有：
a
n
n 1
a
2
a
1
3
a
3
a
2
4
L
a
n
a
n 1
n
1
各式相加得 a
n
a
1
3 4 L
n 1
a
1
n
4 n 1
2
（ 2）
a
n
a
n 1
a
n
a
n
1
形式，同除以
a
n
a
n 1
，构造倒数为等差数列；
a
n
（ 3）
a
n
qa
n 1
m
形式，
q 1
，方法：构造：
a
n
x
q a
n 1
x
为等比数列；
例如：
a
n
2a
n 1
2
，通过待定系数法求得：
n
，即
n
2
等比，公比为
2。
n 1
2
a
2
2 a a
（ 4）
a
n
qa
n 1
xn y q
a
n
1
x n 1
y
为等比数列；
pn
r
形式：构造：
a
n
例如：
a
n
a
aa
n
n
n 1
2a
n
a
n 1
，则
aa
n 1
n 1
2
a
1
n 1
1
a
n
，即
1
为以 -2
为公差的等差数列。
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