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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅱ卷 )
数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题) 和第Ⅱ卷( 非选择题) 两部分，共 150 分，考试时间
120 分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的 )
1．已知集合 A x | 1 x 2 ,B
．( －1,0)
2 ai
x |0 x 3 ，则
A
C ．(0,2)
( )
D
B
( )
A．( －1,3) B
2．若a为实数，且
．(2,3)
，则a
i
3
1 i
A．－4 B ．－3 C ．3 D ．4
3．根据下面给出的 2004年至 2013年我国二氧化硫年排放量 ( 单位：万吨 ) 柱形
图，以下结论中不正确的是 ( )
A．逐年比较， 2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．向量 a 1, 1 ，b
B ．0
1,2 ，则 2a b a
C ．1 D ．2
( )
A．－1
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5．设
S 是等差数列 a
n
的前n 项和，若 a
1
a
3
a
5
n
3，则 S
5
( )
A．5 B ．7 C ．9 D ．11
6. 一个正方体被一个平面截去一部分后， 剩余部分的三视图如右图， 则截去部分
体积与剩余部分体积的比值为 ( )
A.
1
8
B.
1
7
C.
1
6
D.
1
5
7．已知三点 A1，0 B 0，3 ，C 2，3 ，则
ABC
外接圆的圆心到原点的距离为
( )
A.
5
3
B.
21
3
C.
2 5
3
D.
4
3
8. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》 中的“更相减损
9.术”．执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14,18，则输出的 a (
第 8 题图
A．0 B ．2 C ．4 D ．14
9．已知等比数列
a 满足
1
n
a
，a
3
a
5
4 a
4
1 ，则a
2
( )
1
4
A．2 B ．1 C.
1
2 D.
1
8
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)
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10．已知 A，B是球 O的球面上两点，∠ AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三
棱锥O- ABC体积的最大值为 36，则球 O的表面积为 (
A．36π B ．64π C ．144π
)
D ．256π
7. 如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是 AB的中点．点 P沿着边BC，CD 与 DA
运动，记∠ BOP＝x，将动点 P到 A，B两点距离之和表示为 x 的函数 f ( x) ，
8.则 y＝f ( x) 的图象大致为 ( )
9. 设函数
f x
是( )
1
ln 1 x
2
，则使得f x
1 x
f 2x 1 成立的 x 的取值范围
1
A.
，1 B.
3
1
- ，
3
1，
1
C. － 3 D.
，
，
- -
3
3
1
1
1
，
3
第Ⅱ卷
二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )
3
的图象过点 - 1,4 ，则 a ________.
2x 13．已知函数 f x ax
x＋y－5≤ 0，
14． 若 x ， y满足约束 条 件 2x－y－1≥ 0，
则
z 2x y
的 最 大 值 为
x－2y＋1≤ 0，
________．
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15．已知双曲线过点 4，3 ，且渐近线方程为
y
为________．
1
x
，则该双曲线的标准方程
2
2
a
2
x
1相切，则 16．已知曲线
y x ln x
在点 1,1 处的切线与曲线 y ax
a ________.
三、解答题 ( 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )
17．( 本小题满分 12 分)
sin
B
(1) 求
sin C
ABC
中，
D
是
BC
上的点，
AD
平分
BAC
，
BD 2DC
(2) 若
BAC 60
，求
B
10.
(本小题满分 12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从
了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到
图和 B 地区用户满意度评分的频数
分布表．
A ，B 两地区分别随机调查
A 地区用户满意度评分的频率分布直方
图①
B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分
分组
频数
[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
2 8 14 10 6
(1)在图②中作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，
度评分的平均值及分散程度
并通过直方图比较两地区满意
)． (不要求计算出具体值，给出结论即可
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图②
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分
满意度等级
低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分
不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
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ABCD A
1
B C D 中，
AB 16
，
19
.
( 本小题满分 12 分) 如图，长方体
1 1 1
BC
,
10
AA
1
8 A
1
B ,
D
1
C 上， A
1
E D
1
F
1
，点
E
,
F
分别在
1
4. 过点
E
,
F
的
平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1) 在图中画出这个正方形 ( 不必说明画法和理由 ) ；
(2) 求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值．
2 2
x y
1
2
11.( 本小题满分 12 分) 已知椭圆
C
：
2
2
，点
a. b 0 的离心率为
2
a b
2，2 在 C上．
(1) 求
C
的方程；
(2) 直线
l
不过原点 O且不平行于坐标轴，
l
与
C
有两个交点
A
,
B
，线段
AB
的中
点为
M
. 证明：直线
OM
的斜率与直线
l
的斜率的乘积为定值．
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12.( 本小题满分 12 分) 已知函数 f x ln x a 1 x ．
(1) 讨论 f x 的单调性；
(2) 当 f x 有最大值，且最大值大于
2a 2
时，求 a 的取值范围．
请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题计分． 作
答时请写清题号．
13.
（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点 , ⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交
于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.
（I）证明
EF
∥
BC
.
（II ）若 AG等于⊙ O 的半径 ,
且
AE MN 2 3
,求四边形 EBCF的面积
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14.
（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy
中,曲线
C
1
:
x t
cos ,
y t sin ,
（t 为参数 ,
且
t 0 0
）
,
其中
,在以 O
为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中
（I）求
C
与
2
,
曲线
C
2
: 2sin ,C
3
: 2 3cos .
C
3
交点的直角坐标；
C
相交于点 B,
求
AB
最大值
3
（II ）若
C
与
C
相交于点 A,
C
与
1 2 1
15.( 本小题满分 10 分) 选修 4－5：不等式选讲
设 a，b，c，d 均为正数，且 a＋b＝c＋d. 证明：
(1) 若 ab>cd，则 a＋ b> c＋ d；
(2) a＋ b> c＋ d是| a－b|<| c－d| 的充要条件．
2015· 新课标Ⅱ卷 第 8 页
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1、选 A
2、故选 D
3、选 D
4、选 C
5、解：在等差数列中，因为
(a
1
a ) 5
5
a
1
a
3
a
5
3,所以a
3
1, S
5
5a
3
2
5,故选A.
6、解：如图所示，选 D.
7、选 B.
8、故选 B.
9、解：因为
a
n
满足a
1
1
, a a
3 5
4(a
4
1),
所以，
4
2
3
1
a
1
q
4
a
4
4(a
4
1),解得a
4
2,又a
4
a q ，所以 q 2,所以a
2
1
1
2 .
故选 C.
2
10、解：因为 A,B 都在球面上，又
AOB 90 ,C为该球面上动点，
所以
1
3
1 1
三棱锥的体积的最大值为
2
36
R
3 2
R
6
R
，所以 R=6，所以球的表面积为
2
S=
4 R 144
π ，故选 C.
π
D
11、解：如图，当点 P 在 BC 上时，
P
x
C
BOP
PA PB
x, PB
tan x
tan x, PA
4 tan x,
A
4
x
,
tan
2
O B
2
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