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绝密★启用前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1. 答题前， 考生先将自己的姓名、 准考证号填写清楚， 将条形码准确粘贴在条形码区域
内。
2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用
字体工整，笔迹清楚
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试卷上答题无效
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.
3
i
1 i
A．
1 2i
2.设集合
（ ）
B．
1 2i
C．
2 i
2
D．
2 i
1,2,4
，
x x
B．
1,0
4 0
x m
．若
1
，则
C．
1,3
（ ）
A．
1, 3
D．
1,5
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
下一层灯数是上一层灯数的
A．1 盏
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共
）
D．9 盏
）
D．
36
灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？” 意思是： 一座 7 层塔共挂了 381 盏灯， 且相邻两层中的
2 倍，则塔的顶层共有灯（
C．5 盏 B．3 盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为
A．
90
B．
63
1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一
C．
42
平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（
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2x 3y 3 0
6.
设
x
，
y
满足约束条件
2x 3y 3 0
，则
z 2x y
的最小值是（ ）
y 3 0
A．
15
方式共有（
A．12 种
种
8.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有
优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲
对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（
A．乙可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
9.执行右面的程序框图，如果输入的
A．2 B．3
）
B．丁可以知道四人的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
2 位
）
B．18 种 C．24 种 D．36
B．
9
C．
1
D．
9
7.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排
a 1
，则输出的
S
（
C．4
）
D．5
10.若双曲线
x
2 2
y
2
x 2
1
（
a 0
，
b 0
）的一条渐近线被圆
2 2
y 4
所截得的
C:
2
a b
）
B ．
弦长为 2，则
C
的离心率为（
A ． 2
3
C ．
2
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2 3
D．
3
11.已知直三棱柱
线
1
与
C
1
1
C
1
中，
）
C 120
，
2
，
C CC
1
1
，则异面直
C
1
所成角的余弦值为（
3
A．
2
15
B．
5
10
C．
5
x 1`
3
D．
3
）
12.若
x
A.
D.1
2
是函数
2
f (x) (x ax 1)e
的极值点，则
f ( x)
的极小值为（
B.
2e
3
1
5e
C.
3
13.已知
ABC
是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点， 则
PA (PB PC)
的最小
值是（
A.
）
B.
2
3
2
C.
4
3
D.
1
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
14.一批产品的二等品率为
0.02
，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取
表示抽到的二等品件数，则
D
．
15.函数
f x
2
100
次，
3
3 cos x
4
（
x sin x 0,
2
）的最大值是
n
10
，则
k
1
．
16.等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，
a
3
3
，
S
4
1
S
k
．
17.已知
F
是抛物线
C:
2
y
8
x
的焦点， 是
C
上一点，
F
的延长线交
y
轴于点
．
．若
为
F
的中点，则
F
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第
每个试题考生都必须作答。第
（一）必考题：共 60 分。
18.（12 分）
ABC
的内角
A, B,C
的对边分别为
a,b,c
,已知
22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
17~21 题为必做题，
2
B
．
sin( A C) 8sin
2
(1)求
cos B
(2)若
a c 6
,
ABC
面积为 2,求
b.
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19.（12 分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个
网箱，测量各箱水产品的产量（单位： kg）某频率直方图如下：
（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件： 旧养殖法的箱产量低于
养殖法的箱产量不低于 50kg,估计A 的概率；
50kg, 新
（2） 填写下面列联表， 并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有 ：关
箱产量＜50kg
旧养殖法
新养殖法
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，
P（错误！未找到引用
源。）
k
2
2
箱产量 ≥ 50kg
求新养殖法箱产量的中位数的估计值 （精确到 0.01）
5.
3.841
0.010
6.635
0.001
10.828
n( ad bc)
(a b)( c d )(a c)( b d)
K
20.（12 分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD ，
1
o
AB BC AD, BAD ABC 90 ,
E 是 PD 的中点 .
2
（1）证明：直线
CE / /
平面 PAB
（2）点 M 在棱 PC 上，且直线BM 与底面 ABCD 所成锐角为
余弦值
o
45
，求二面角 M -AB-D 的
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21. （12 分）
2
设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：
x
2
1
上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P
2
y
NP
满足
2NM
.
(1) 求点 P 的轨迹方程；
(2) 设点 Q 在直线 x=-3 上，且
OP PQ 1
.证明： 过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦
点 F.
22.（12 分）
已知函数
3
f (x) ax ax xln x,
且
f (x) 0
.
（1）求 a；
（2）证明：
f (x)
存在唯一的极大值点
x
，且
0
2
0
3
e f (x ) 2
.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一
题计分。
23.[选修 4-4：坐标系与参数方程 ]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
极坐标方程为
C
1
的
曲线
cos 4
．
（1）M 为曲线
C
上的动点，
P 在线段 OM
上，且满足
|OM | |OP|
点
1
16
,求点 P
的轨迹
C
2
的直角坐标方程；
（2）设点 A 的极坐标为
(2, )
，点 B
在曲线
C
2
上，求
OAB
面积的最大值．
3
24.[选修 4-5：不等式选讲 ]（10 分）
已知
3 3
a 0,b 0,a b
3
2
，证明：
3
（1）
(a b)( a b ) 4
；
（2）
a b 2
．
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2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D
6.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B
二、填空题
13. 1.96 14. 1 15.
2n
n 1
16. 6
三、解答题
17. 解：
（1）由题设及
2
A B C 得sin B 8sin
，
故
2
sin B （4 1-cosB）
上式两边平方，整理得
2
17cos B-32cosB+15=0
解得
1（舍去）， =
15
cosB= cosB
17
（2）由
15 8
1 4
cosB = 得sin B
，故
S ac sin B ac
17 17
ABC
2 17
又
S =2，则ac
17
ABC
2
由余弦定理及
a c 6
得
2 2 2
b a c 2ac cosB
2
（a+c） 2ac(1 cosB)
17 15
36 2 (1 )
2 17
4
所以 b=2
18.解：
（1）记 B 表示事件 “旧养殖法的箱产量低于 50 kg ”，
C
表示事件
于 50 kg ”
由题意知
P A P B C P B P C
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新养殖法的箱产量不低 “
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