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2020
年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
题号
得分
一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
，，则< br>1.
已知集合
A.
2
B.
3
C.
4
( )
，则
2.
若
一二三总分
中元素的个数为
( )
D.
5
A.
3.
4.
B. C. D.
设一组样本数据的方差为
0.01
，则数据的方差为
( )
A.
0.01
B.
0.1
C.
1
D. < br>10
Logistic
模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公 布数据
建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的
Logistic
模型 ：
，其中为最大确诊病例数
.
当
疫情，则
A.
60
约为
( )
（
In19
B.
63
3
）
时，标志着已初步遏制
C.
66
( )
D.
69
5.
已知，则
A.
C.
6.
在平面内，
B.
D.
是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为
( )
A.
圆
7.
B.
椭圆
与抛物线
C.
抛物线
交于
D.
直线
两点，若，设为坐标原点，直线
则的焦点坐标为
( )
A.
8.
9.
点到直线
B.
B.
C.
距离的最大值为
( )
D.
D.
2
A.
1
C.
右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
( )
A.
10.
设，
B.
，
C.
，则（
）
第1页，共17页
D.
A.
11.
在中，
B.
，
C.
，则（
）
D.
A.
12.
已知函数
B.
2
，则
( )
C.
4
D.
8
A.
C.
的最小值为
2
的图像关于直线对称
B.
D.
的图像关于 轴对称
的图像关于直线对称
二、填空题（本大题共
4
小题，共
20. 0
分）
13.
若
x
，
y
满足约束条件，则
z=3x+2y
的最大值为
_____.
14.
设双曲线
15.设函数，若
的一条渐近线为
，则
a=____.
,
则的离心率为
______.
16.
已知圆锥的底面半径为
1
，母线长为
3
，则该圆锥内半径最大的切球表面积为
_________
三、解答题（本大题共< br>7
小题，共
82.0
分）
17.
（
12
分）
设等比数列
（
1
）
求
满足
的通项公式；
的前
n
项和
.
若，求
m.
，
（
2
）
记为数列
18.
（
12
分
)
某学生兴趣小组随机调查了某市
100
天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻
炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
1
（优）
2
（良 ）
3
（轻度污染）
4
（中度污染）
2
5
6
7
16
10
7
2
25
12
8
0
[ 0,200]
（
200,400]
（
400,600]
（
1
）
分别估计该市一天的空气质量等级为
1,2,3,4
的概率；
第2页，共17页
（
2
）
求一天中到该公园锻炼的平均 人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的
中点值为代表）；
（
3
）
若某天的空气质量等级为
1
或
2
，则称这天“空气质量好”； 若某天的空气
质量等级为
3
或
4
，则称这天“空气质量不好”。根据 所给数据，完成下面的
列联表，并根据列联表，判断是否有
95%
的把握认为一天中到 该公园锻炼的人次与
该市当天的空气质量有关？
人次
空气质量好
空气质量不好
400
人次
>400
附：，，
19.
（
12
分）
如图，在长方体
，证明：
中，在
,
分别在棱，上，且，
（
1
）
当
（
2
）
点< br>时，
在平面内
.
;
第3页，共17页
20.
（
12
分）
已知函数
（
1
）
讨论
（
2
）
若
.
的单调性；
有三个零点，求的取值范围
.
21.
（
12
分）
已知椭圆< br>（
1
）
求的方程：
（
2
）
若点在上，点在直线
.
上，且，，求的面积
的离心率为分别为的左、右顶点< br>.
22.
[
选修
4-4:
坐标系与参数方程
]
（
10
分）
在直角坐标系
坐标轴交于
（
1
）
求
中 ，曲线的参数方程为与
两点
.
：
的极坐标方（
2
）
以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线
程
.
第4页，共1 7页
23.
[
选修
4-5:
不等式选讲
]
（
10
分）
设
（
1
）
证明：
（
2
）
用
；
中的最大值，证明 ：
第5页，共17页
答案和解析
1.
【答案】
B
【解析】【 分析】
本题主要考查了交集的运算，属于基础题
.
【解答】
解：
∵< br>∴
∴
，
中元素个数为
3.
，，
故选
B.2.
【答案】
D
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算，共轭复数的 概念，属于基础题
.
先由复数的四则运算法则求出，再利用共轭复数的概念得到答案
.
【解答】
解：由
所以
z
＝
i
，
故选
D.
，得，
3.
【答案】
C
【解析】【分析】
本题主要考 查方差的运算，是基础题
.
【解答】
解：设
的平均数为
，方差
第6页，共17页
所以
故选
.
的平均数为
，方差
,
4.
【答案】
C
【解析】【分析】
本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题
.
根据题意可得< br>【解答】
解：由题可知，
，解出的值
.
所以，
，解得
故选
C.
5.
【答案】
B
【解析】【分析】
本题考查两角和 的正弦公式和辅助角公式，属于基础题
.
根据两角和的正弦公式展开
【解答】
解：
∵
，
，再整理利用辅助角公式即可得答案
.
∴
=
得
故选：.
第7页，共17页
6.
【答案】
A
【解析】【分析】
本题考查了动点的轨迹问题及向量数量积的坐标运算，属一般题．
根据题意建立平面直角坐标系，设出点
A
、
B
、
C
的坐标，得到和的坐标，由向量
数量积 的坐标运算公式即得动点坐标所满足的方程，从而得到动点
C
的轨迹．
【解答】
解：以
AB
所在直线为
x
轴，线段
AB
的中垂线为
y
轴，建立平面直角坐标系，设
，
得
故选
A.
，，则即
，，由题意，
，因此，动点
C
的轨迹是圆，
7.
【答 案】
B
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质，基础题．
E
两点，
E
两点坐标，根据直线
x=2
与抛物线交于
D
、确定
D
、由
OD
⊥
OE
可得
，可确 定
p
的值，从而得到抛物线的焦点坐标．
【解答】
解：根据题意得
D
（
2
，
2p
）
,E
（
2
，
-2p
）
,
因为
OD
⊥
OE
，可得，所以
4-4p=0
，故
p=1
，
所以抛物线
C
：
y< br>2
=2x
，所以抛物线的焦点坐标为
(,0).
故选
B
．
8.
【答案】
B
【解析】【分析】
本题考查定点到过定点的直线 的最大距离问题，属于基础题
.
根据点到直线的距离和两点间的距离公式，即可求解
.
【解答】
解：因为直线
y=k(x+1)
恒过点（
-1
，< br>0
），
要使得点（
0
，
1
）到直线的距离最大，此时点到直线的距离即为（
0
，
1
）与（
-1
，
0
）两点的距离，
第8页，共17页
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