2011年广东高考数学2015年考研数学二真题及答案解析

2020年11月21日发(作者：柏继民)

/

2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：（1 ~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的。）
(1)下列反常积分中收敛的是
(A)


(C)




(B)













(D)


【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。


















；
















；










；
































，

因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(2)函数









在(- ,+ )内



(A)连续 (B)有可去间断点
(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
【答案】B
【解析】这是“

”型极限，直接有






























,




在 处无定义，
且









所以 是



的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限





，
(3)设函数



( ).若




在 处连续，则

(A) (B)
(C) (D)
【答案】A


/

【解析】易求出








，









再有































不存在， ，
于是，

存在 ，此时




.
当 时，







，



=





不存在， ，

因此，



在 连续 。选A
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
(4)设函数 在(- ,+ )内连续，其


二阶导函数

的图形如右图所示，
则曲线 的拐点个数为 A O B
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】 在(- ,+ )内连续，除点 外处处二阶可导。 的可疑拐点是





的点及

不存在的点。





的零点有两个，如上图所示，A点两侧

恒正，对应的点不是



拐点，B点两侧





异号，对应的点就是



的拐点。
虽然




不存在，但点 两侧

异号，因而( ) 是



的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点

(5)设函数 满足








，
则



与



依次是


(A)
(B)


(C)

(D)


【答案】D
【解析】先求出








令











于是











因此





























/


















综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学- 多元函数的偏导数和全微分
(6)设D是第一象限中由曲线 与直线

围成的平面区域，函数 在
D上连续，则







(A)
































(B)



(C)












(D)



【答案】 B
【解析】D是第一象限中由曲线 与直线

围成的平面区域，作极坐
标变换，将





化为累次积分。

D的极坐标表示为












，

，
因此






















综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。

(7)设矩阵
A=



,
b
=



。若集合 ，则线性方程 有无穷多解的充分必要




条件为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】 有无穷多解














是一个范德蒙德行列式，值为



,如果 ，则




，



，此时 有唯一解，排除(A),(B)
类似的，若 ，则





，排除(C)
当 时，









， 有无穷多解
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。
(8)设二次型





在正交变换 下的标准形为








,其中





,若
Q
=





在正交变换

/

下的标准形为
(A)








(B)









(C)








(D)









【答案】A
【解析】设二次型矩阵为
A
,则









可见





都是
A
的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-

也是
A
的特征向量，特征值为
-1，因此









因此在正交变换 下的标准二次型为









综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。
二、填空题：( )小题，每小题4分，共24分。




(9)设 则







【答案】48
【解析】由参数式求导法





















再由复合函数求导法则得











=




















,








综上所述，本题正确答案是48。
【考点】高等数学-一元函数微分学- 复合函数求导

(10)函数







在 处的n阶导数







【答案】






【解析】
解法1 用求函数乘积的 阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。




















其中















注意
，

,于是

































因此













解法2

/

利用泰勒展开


















































由于泰勒展开系数的唯一性，得






可得













综上所述，本题正确答案是






【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式
(11)设函数



连续，









【答案】2
【解析】改写






,由变限积分求导法得


















.若



=1，

则



















由



=1=


，
















可得




综上所述，本题正确答案是2
【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应用
(12)设函数



是微分方程



的解，且在 处




取得极值3，则



=
【答案】




【解析】求



归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题












，

由特征方程

可得特征根

，

，于
是得通解








又已知








，








综上所述，本题正确答案是




【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性方程
(13)若函数 由方程

确定，则







【答案】




【解析】 先求 ，在原方程中令 得







方程两边同时求全微分得