数学题网2015考研数学三真题及答案解析

2020年11月21日发(作者：杜易简)
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题:18小题,每小题4分, 共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求
的,请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上.
(1) 设
(A) 若
(C) 若
(2) 设函数
个数为：
是数列,下列命题中不正确的是：
,则
,则
在


内连续,其2阶导函数
(B) 若
(D) 若
, 则
,则
的拐点的图形如下图所示,则曲线
(A) (B) (C) (D)
(3) 设 ,函数在上连续,则
(A)
(B)
(C)
(D)
(4) 下列级数中发散的是：
(A) (B) (C) (D)
(5) 设矩阵
要条件为：
(A)
(6) 设二次型
，若
(A)
(7) 若
(A)
(B)
(B)
,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必

在正交变换为
，则

(C) (D)
，其中
下的标准形为：
(D)
下的标准形为
在正交变换
(C)
为任意两个随机事件,则:
(B)
(C)
(8) 设总体
(D)
为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则
(A)
二、填空题：9
(B) (C) (D)
14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)
(10) 设函数
(11) 若函数
(12) 设函数
(13) 设阶矩阵< br>连续，
由方程
是微分方程
的特征值为，
若
确定，则
的 解，且在
则
处取得极值3，则
其中
E
为阶单位矩阵，则行列式
(14) 设二维随机变量服从正态分布，则
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在 答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
设函数
的值.
(16) (本题满分10 分)
，，若与在是等价无穷小，求
计算二重积分
(17) (本题满分10分)
，其中
为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设
为边际成本，为需求弹 性.
为该商品的需求量，为价格，
MC
(I) 证明定价模型为
(II) 若该商品的成本函数为
此商品的价格.
(18) (本题满分10分)
设函数
与直线
；
，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定
在定义域上的导数大于零，若对 任意的
及轴所围成区域的面积恒为4，且
，由线
，求
在点
的表达式.
处的切线
(19) (本题满分 10分)
(I) 设函数
(II) 设函数
(20) (本题满分11分)
可导，利用导数定义证明
可导，，写出的求导公 式.
设矩阵
(I) 求的值；
(II)若矩阵满足
，且.
，其中为3阶单位矩阵，求.
(21) (本题满分11分)
设矩阵
(I)求的值；
，使
相似于矩阵.
(II )求可逆矩阵为对角矩阵.
(22) (本题满分11分)
设随机变量
对
(I) 求
(II) 求
的概率密 度为
为观测次数.进行独立重复的观测,直到个大于的观测值出现的停止.记
的概率分布；(23) (本题满分11分)
设总体的概率密度为
其中为未知参数，
(I) 求的矩估计量.
(II) 求的最大似然估计量.
为来自总体的简单随机样本.
201 5年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）答案
(1) 【答案】(D)
【考查分析】本题考 查数列极限与子列极限的关系.
【详解】数列收敛，那么它的任何无穷子数列均收敛，所以(A)与(C )正确；一个数列存在多个无穷子
列并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是 收敛的.(B)正确，(D)错,故选
(D).
(2) 【答案】(C)
【考查分析】 本题考查曲线的拐点.
【详解】拐点出现在二阶导数等于零，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右 两侧二阶导函数异
号.因此，由
(3) 【答案】(B)
【考查分析】本题考查直角坐 标和极坐标的转换.
【详解】在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域
的图形可得，曲线存 在两个拐点.故选(C).
所以
(4) 【答案】(C)
【考查分析】本题考查数项级 数的敛散性.
，选(B).
【详解】选项(A)，为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值 判
别法收敛；选项(B)，为正项级数，因为，根据级数收敛
准则，知收敛；
选项(C )，，根据莱布尼茨判别法知收敛， 发散，
所以根据级数收敛定义知，发散；
选项(D)，为 正项级数，因为，所以
根据正项级数的比值判别法
(5) 【答案】(D)
收敛，所以 选(C).
【考查分析】本题考查非齐次线性方程组解的判定
【详解】对增广矩阵进行初等行变 换，得到
由
(6) 【答案】(A)
，故或，同时或.故选(D).
【考查分 析】本题考查二次型的正交变换.
【详解】由，故.且
.
所以
(7) 【答案 】(C)
【考查分析】本题考查概率的性质.
.选(A).
【详解】由于
且< br>，按概率的基本性质，我们有
，
从而
(8) 【答案】(B)
，选(C ).
【考查分析】本题考查统计量的数字特征.
【详解】根据样本方差的性质，而，
从 而，选(B).
(9) 【答案】
【考查分析】本题考查型未定式极限.
【详解】方法 一：
方法二：
(10) 【答案】
【考查分析】本题考查变上限积分函数求导.
【详解】因为
因为
又因为
故
连续，所以可导，所以；
，所以
，所以