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2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题
一、选择题：
1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符
合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸
指定位置上。
．．．
(1) 设函数
f ( x)
在
,
内连续，其中二阶导数
f ( x)
的图形如图所示，则曲线
y
f ( x)
的拐点的个数为
(
)
(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
3
【答案】（
C）
【解析】拐点出现在二阶导数等于
0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函
数异号。因此，由
f
(x)
的图形可得，曲线
y
f ( x)
存在两个拐点
.故选（ C） .
(2) 设
y
1
e
2x
(x
1
)e
x
是二阶常系数非齐次线性微分方程
y
ay by ce
x
的一
2
3
个特解，则
(
)
(A)
a
3,b
2, c
1
(B)
a
3, b
2, c
1
(C)
a
3,b
2, c
1
(D)
a
3, b
2, c 1
【答案】（A ）
【分析】此 题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此
类题有两种解法， 一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一
种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法
.
【解析】 由题意可知，
1
e
2 x
、
1
e
x
为二阶常系数齐次微分方程
y ay by 0
的解，所以
2,1
2
3
为 特 征 方 程
r
2
ar b 0
的 根 ， 从 而
a (1
2)3
，
b 1 2
1
.故选（
A）
n 1
2
，从而原方程变为
y 3y 2 y
ce
x
，再将特解
y xe
x
代入得
c
(3) 若级数
n 1
a
n
条件收敛，则
x
3
与
x
3
依次为幂级数
na
n
( x
1)
n
的
(
)
(A) 收敛点，收敛点
(B) 收敛点，发散点
(C) 发散点，收敛点
(D) 发散点，发散点
【答案】（B ）
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
【解析】 因为
n 1
a
n
条件收敛， 即
x
2
为幂级数
n 1
a
n
( x 1)
n
的条件收敛点， 所以
n 1
a
n
( x 1)
n
的收敛半径为
1，收敛区间为
(0, 2)
。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
na
n
(x 1)
n
的收
n 1
敛区间还是
(0, 2)
。因而
x
3
与
x
3
依次为幂级数
n 1
na
n
( x 1)
n
的收敛点，发散点
.故选（B
）。
1
与直线
(4) 设
D
是第一象限由曲线
域，函数
2 xy 1
，
4 xy
y
f
x, y dxdy
D
x
，
y
3x
围成的平面区
()
f x, y
在
D
上连续，则
3
1
sin2
1
(A)
d
4
f
r cos , r sin
rdr
2sin2
3
(B)
d
4
1
sin 2
1
f
r cos
, r sin
rdr
2sin 2
1
sin2
1
2sin 2
(C)
3
4
d
f
r cos
, r sin
dr
1
sin2
(D)
3
1
4
2sin 2
d
f
r cos , r sin
dr
【答案】（B ）
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分
【解析】先画出
D 的图形，
所以
f ( x, y)dxdy
D
3
1
d
1
sin 2
1
2sin 2
f (r cos ,r sin
)rdr
，故选（
B）
4
1
1
(5)
设矩阵
A 1
2
1
d
，若集合
d
2
a
，
b
1,2
，则线性方程组
Ax
b
有
1
4
a
2
无穷多解的充分必要条件为
( )
(A)
a
, d
(B)
a
, d
(C)
a
, d
(D)
a
, d
【答案】 D
1
1
1
1
2
a
1
4
a
2
1
d
d
2
1
0
0
1
1
0
1
1
d
1
(d 1)(d
【解析】
( A, b)
a 1
(a
1)(a
2)
2)
，
由
r ( A) r ( A, b) 3
，故
(6) 设二次型
f
1 2 3
a
1
或
a
2
，同时
d
1
或
d
2
。故选（ D）
x
1
, x
2
, x
3
在正交变换为
x
，若
1 3 2
Py
下的标准形为
2y
1
2
1 2 3
y
2
2
y
3
2
，其中
，则
在正交变换
x
Qy
下的标准
P e , e ,e
形为
Q e , e ,e
f x , x , x
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2y
1
2
y
2
2
y
3
2
2y
1
2
y
2
2
y
3
2
2y
1
2
y
2
2
y
3
2
2y
1
2
y
2
2
y
3
2
【答案】 (A)
【解析】由
x
Py
，故
f
0
1
0
0
0
1
.
0
1
x
T
Ax y
T
(P
T
AP) y 2 y
1
2
y
2
2
y
3
2
.且
2
P
T
AP 0
0
1
Q P 0
0
0
0
PC
1
0
2
0
TT
0
0
1
0
0
1
Q
T
AQ C
T
(P
T
AP)C0
所以
f
x Ax
y (Q AQ) y
T
2y
1
2
y
2
2
y
2
3
。选（ A ）
(7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则
(A)
(
)
P AB
PAPB
(B)
PAB PAPB
P
A P
B
P( A)
P( B)
(C)
P( AB)
2
(D)
P
AB
2
【答案】 (C)
【解析】由于
AB
A, AB
B
，按概率的基本性质， 我们有
P( AB)
P( A)
且
P( AB)
P(B)
，
P( A) P( B)
从而
P( AB)
2
，选 (C) .
(8) 设随机变量
X ,Y
不相关，且
EX
2, EY 1, DX
3
，则
E
X
X Y
2
(
)
(A)
3
(B)
3
(C)
5
(D)
5
【答案】 (D)
【解析】
E[X(X
Y
2)] E(X
2
XY
2 X )
E(X
2
)
E( XY) 2E(X )
D(X)
E
2
(X)
E(X ) E(Y) 2E( X )
3
2
2
2 1 2
2
5
，选
(D) .
二、填空题： 9
14 小题 ,每小题 4 分 ,共 24
分 .请将答案写在答题纸
指定位置上 .
．．．
(9)
lim
ln cos x
2
_________.
x 0
x
【答案】
1
2
【分析】此题考查
0
型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换
0
sin x
【解析】方法一：
ln(cos x)
lim
2
lim
tan x
1
cos x
lim
.
（罗比达法则）
x 0 x 0
x
2x
x 0
2x
2
1
方法二：
ln(cos x)
lim
ln(1 cosx 1)
lim
cos x 1
lim
2
x
2
1
lim
x 0 x 0
x 0
x
x 0
x
x
x
2
换）
(10)
2
(
sin x
x )dx
________.
2
1
cosx
2
【答案】
π
4
【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简
.
2
2
【解析】
2
sin x
x dx 2
xdx
.
2
1 cosx
0
4
(11)若函数
z
z( x, y)
由方程
确定，则
dz
(0,1)
________.
【答案】
dx
【分析】此题考查隐函数求导
.
.
（等价无穷小替
【解析】令
( ,
, )
F x y z e
z
xyz
cos
x
x
2
，则
F
x
(x, y, z)
1
时
e
z
yz
1
sin x, F
y
xz, F
z
( x, y, z) e
z
xy
又当
x 0, y
1
，即
z 0
.
所以
z
F
x
(0,1,0)
F
(0,1,0)
z
x
(0,1)
z
1,
y
(0,1)
F
y
(0,1,0)
F (0,1,0)
z
0
，因而
dz
(0,1)
dx.
(12) 设
是 由 平 面
x
y
z
1
与
三个坐标平面所围成的空间区域，则
( x 2 y 3z)dxdydz
__________.
【答案】
1
4
【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算 ，也可以利用轮换对称性化简后再计算
【解析】由轮换对称性，得
.
(x
2 y
3z)dxdydz
6
zdxdydz
6
zdz
dxdy
，
0
1
D
z
其中
D
z
为平面
z
z
截空间区
域
所得的截面，其面积为
1
1
2
(1
z)
2
.所以
( x 2 y
3z) dxdydz
6
zdxdydz 6
z
0
1
2
2
(1 z) dz
3 (z
0
1
3
2z
2
z)dz
1
.
4
2
0
1
2
0
0
2
2
2
2
(13)
n
阶行列式
___________.
0
0
0
0
2
2
1
【答案】
2
n 1
【解析】
按第一行展开得
2
D
n
0
0
0
0
2
2
2
1
2
2D
n 1
( 1)
n 1
2( 1)
n 1
2D
n 1
2
2
0
0
0
1
2
2(2 D
n 2
2)
2
2
2
D
n
2
2
2
2
2
n
2
n 1
2
2
n 1
2
(14) 设二维随机变量
( x, y)
服从正态分布
(1,0 ;1,1,0)
，则
P{ XY
Y
0}
________.
N
【答案】
1
2
【解析】由题设知，
X ~ N (1,1),Y ~ N (0,1)
，而且
X、 Y
相互独立，从而
0}
P{( X
1)Y
0}
P {X
P{ XY
Y
P{X 1
1}P Y{
0, Y
0 }
0}
P{ X
1
1
2
2
1
0, Y
.
0}
P{
X
1}P{Y
0 }
1
1
2
2
1
2
三、解答题：
15～ 23
小题 ,共 94 分 .请将解答写在答题纸
指定位置上 .解答应写出文字说明、证明
．．．
过程或演算步骤 .
(15)( 本题满分
10 分)
设函数
f
x
x
a ln(1 x)
bx sin x
，
g( x)
kx
3
，若
f x
与
g x
在
x 0
是等价无穷小，求
a,b,k
的值
.
1
, k
2
lim
x 0
【答案】
a1, b
1
.
3
【解析】法一：原式
x
aln 1 x
3
bx sin x
kx
1
（泰勒展开法）
lim
x
0
x a x
x
2
x
3
o x
3
bx x
2
3
3
kx
x
3
6
o x
3
1
1 a x b
0
lim
x
a
x
2
2
kx
3
a
x
3
b
x
4
o x
3
3
6
1
即
1
a 0, b
a
1,b
a
2
1
2
,k
0,
1
3k
1
3
a
(16)( 本题满分
10 分 ) 设函数
f
在点
x
在定义域 I 上的导数大于零， 若对任意的
x
0
x
I
，由线
y=f
x
0
x
0
, f x
0
处的切线与直线
x
0
及
x
轴所围成区域的面积恒为
4，且
f
2
，求
f
x
的表达式 .
【答案】
f( x)
8
4
x
.
【解析】设
f
x
在点
x
0
, f x
0
处的切线方程为：
y
f
x
0
x
0
f
x
0
f
x
0
x
x
0
,
令
y
0
，得到
x
f
x
0
，
故由题意，
f
x
0
1
x
0
x
4
，即
1
2
f x
0
2
y
2
8
x
，
f
x
0
f
x
0
4
，可以转化为一阶微分方程，
即
y
，两边同时积分可得
，将
，代入上式可得
即
f
8
.
x
4
(17)( 本题满分 10
分 )
已知函数
f
x , y
线 C 上的最大方向导数
.
【答案】 3
x
y
xy
，曲线
C：
x
2
y
2
xy
3
，求
f
x , y
在曲
【解析】因为
f x, y
沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模
.
f
x
' x, y
故
gradf
1 y, f
y
' x, y
x, y
1 y,1
g x, y
1 x
，
x
，模为
1
y
2
2
1
y
2
1 x
，
2
此题目转化为对函数
1 x
在约束条件
C : x
2
y
2
xy 3
下的最大值
.
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-
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-
-
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本文更新与2020-11-21 19:09，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/453578.html
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