数学趣味性2015年考研数学一真题与答案解析

2020年11月21日发(作者：戴玉强)








2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题



一、选择题：

1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符

合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸

指定位置上。




．．．





(1) 设函数

f ( x)

在

,



内连续，其中二阶导数

f ( x)
的图形如图所示，则曲线








y

f ( x)

的拐点的个数为

(

)









(A)

0

(B)

1

(C)

2

(D)



3












【答案】（

C）

【解析】拐点出现在二阶导数等于

0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函


数异号。因此，由


f

(x)
的图形可得，曲线
y

f ( x)
存在两个拐点

.故选（ C） .


(2) 设
y

1
e
2x
(x

1
)e
x
是二阶常系数非齐次线性微分方程
y

ay by ce
x

的一


2


3


个特解，则


(

)

(A)

a

3,b


2, c

1


(B)

a

3, b


2, c

1


(C)

a

3,b


2, c

1


(D)

a

3, b


2, c 1




【答案】（A ）

【分析】此 题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此
类题有两种解法， 一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一


种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法


.

【解析】 由题意可知，

1
e
2 x

、

1

e
x

为二阶常系数齐次微分方程

y ay by 0
的解，所以
2,1

2

3






为 特 征 方 程
r
2

ar b 0
的 根 ， 从 而

a (1

2)3
，

b 1 2

1
.故选（

A）






n 1

2
，从而原方程变为




y 3y 2 y




ce
x

，再将特解
y xe
x

代入得

c






















(3) 若级数

n 1

a
n

条件收敛，则

x

3
与

x

3
依次为幂级数

na
n
( x

1)
n

的

(

)





(A) 收敛点，收敛点
(B) 收敛点，发散点
(C) 发散点，收敛点
(D) 发散点，发散点
【答案】（B ）

【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。

【解析】 因为





n 1
a
n

条件收敛， 即
x


2
为幂级数

n 1
a
n
( x 1)
n

的条件收敛点， 所以

n 1
a
n
( x 1)
n

的收敛半径为

1，收敛区间为
(0, 2)
。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故





na
n
(x 1)
n

的收

n 1

敛区间还是
(0, 2)

。因而
x


3

与
x


3
依次为幂级数


n 1

na
n
( x 1)
n

的收敛点，发散点

.故选（B

）。


1
与直线

(4) 设
D
是第一象限由曲线

域，函数



2 xy 1

，
4 xy

y

f

x, y dxdy

D
x
，

y





3x
围成的平面区

()




f x, y

在
D
上连续，则




3




1

sin2
1
















(A)




d



4

f

r cos , r sin


rdr

2sin2











3
(B)


d



4


1
sin 2

1


f

r cos

, r sin


rdr


2sin 2

1
sin2
1
2sin 2

































(C)




3
4


d


f

r cos

, r sin


dr






















1


sin2
(D)


3

1

4

2sin 2

d
f

r cos , r sin

dr





【答案】（B ）


【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分


【解析】先画出

D 的图形，






























所以





f ( x, y)dxdy



D

3
1


d

1


sin 2
1
2sin 2
f (r cos ,r sin


)rdr
，故选（

B）



4




1

1

(5)

设矩阵
A 1

2

1

d
，若集合

d
2



a

，
b

1,2
，则线性方程组

Ax

b
有


1

4

a
2




无穷多解的充分必要条件为








( )


(A)
a
, d

(B)
a
, d

(C)
a
, d

(D)
a
, d

【答案】 D


1

1

1

1

2

a

1

4

a
2


1

d

d
2


1

0

0


1

1

0


1




1

d

1

(d 1)(d





【解析】
( A, b)



a 1

(a

1)(a


2)


2)


，

由
r ( A) r ( A, b) 3

，故
(6) 设二次型
f

1 2 3
a

1
或
a

2
，同时


d

1
或
d

2
。故选（ D）


x
1
, x
2
, x
3

在正交变换为
x

，若



1 3 2
Py

下的标准形为

2y
1
2

1 2 3
y
2
2

y
3
2

，其中

，则




在正交变换
x

Qy
下的标准








P e , e ,e

形为

Q e , e ,e




f x , x , x


( )












(A)
(B)
(C)
(D)
2y
1
2
y
2
2
y
3
2

2y
1
2
y
2
2
y
3
2

2y
1
2
y
2
2
y
3
2

2y
1
2
y
2
2
y
3
2

【答案】 (A)


【解析】由
x


Py
，故

f

0

1

0

0


0


1

.

0

1



x
T
Ax y
T
(P
T
AP) y 2 y
1
2
y
2
2











y
3
2

.且

2

P
T
AP 0

0

1

Q P 0

0


0

0

PC



1

0


2

0

TT
0

0

1

0

0

1

Q
T
AQ C
T
(P
T
AP)C0



所以
f

x Ax

y (Q AQ) y

T
2y
1
2



y
2
2

y

2
3
。选（ A ）





(7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则

(A)

(


)



P AB

PAPB

(B)

PAB PAPB

P

A P

B



P( A)

P( B)


(C)

P( AB)











2






(D)

P

AB


2


【答案】 (C)

【解析】由于
AB



A, AB

B
，按概率的基本性质， 我们有
P( AB)




P( A)
且
P( AB)




P(B)
，

P( A) P( B)




















从而
P( AB)


2

，选 (C) .


(8) 设随机变量

X ,Y
不相关，且

EX

2, EY 1, DX

3
，则
E

X

X Y

2






(

)



(A)

3


(B)
3


(C)

5

(D)

5


【答案】 (D)


【解析】
E[X(X

Y

2)] E(X
2

XY

2 X )

E(X
2
)

E( XY) 2E(X )


D(X)

E
2
(X)

E(X ) E(Y) 2E( X )



3

2
2

2 1 2

2

5
，选

(D) .


二、填空题： 9

14 小题 ,每小题 4 分 ,共 24

分 .请将答案写在答题纸

指定位置上 .


．．．



(9)

lim

ln cos x

2

_________.






x 0


x





【答案】

1



2

【分析】此题考查

0
型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换


0


sin x



【解析】方法一：

ln(cos x)




lim


2
lim
tan x


1


cos x

lim


.
（罗比达法则）


x 0 x 0


x



2x

x 0
2x

2




1
方法二：



ln(cos x)


lim

ln(1 cosx 1)


lim

cos x 1
lim

2
x

2

1

lim




x 0 x 0

x 0

x


x 0


x


x


x

2

换）


(10)

2
(

sin x


x )dx


________.




2
1

cosx






2
【答案】

π



4


【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简



.





2
2

【解析】

2
sin x


x dx 2

xdx

.

2
1 cosx

0

4



(11)若函数
z

z( x, y)
由方程

确定，则
dz

(0,1)

________.

【答案】


dx
【分析】此题考查隐函数求导

.

.

（等价无穷小替






【解析】令



( ,

, )

F x y z e

z

xyz

cos

x


x

2
，则





F
x
(x, y, z)

1
时
e
z

yz

1

sin x, F
y


xz, F
z
( x, y, z) e
z

xy


又当
x 0, y




1
，即
z 0
.

所以


z

F
x
(0,1,0)

F

(0,1,0)

z

x
(0,1)




z

1,

y




(0,1)
F
y

(0,1,0)

F (0,1,0)

z
0
，因而

dz

(0,1)

dx.





(12) 设






是 由 平 面
x

y

z

1
与

三个坐标平面所围成的空间区域，则

( x 2 y 3z)dxdydz

__________.






【答案】


1

4


















【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算 ，也可以利用轮换对称性化简后再计算
【解析】由轮换对称性，得



.










(x



2 y

3z)dxdydz



6



zdxdydz



6

zdz

dxdy
，


0

1







D
z




其中
D
z

为平面

z


z
截空间区
域




所得的截面，其面积为


1
1
2
(1

z)
2

.所以




( x 2 y



3z) dxdydz



6

zdxdydz 6



z

0

1
2

2

(1 z) dz



3 (z
0



1


3

2z


2


z)dz










1
.


4





2

0

1

2







0

0


2

2

2

2































(13)
n
阶行列式





___________.





0

0

0

0

2

2

1



【答案】
2
n 1


【解析】

按第一行展开得





2

D
n

0


0

0

0


2

2

2



1

2


2D
n 1
( 1)
n 1
2( 1)
n 1

2D
n 1
2

2



0

0

0

1

2

2(2 D
n 2

2)

2

2
2
D
n

2

2
2


2

2
n


2
n 1


2














2
n 1

2


(14) 设二维随机变量

( x, y)
服从正态分布





(1,0 ;1,1,0)

，则
P{ XY

Y




0}




________.




















N















【答案】


1

2








【解析】由题设知，

X ~ N (1,1),Y ~ N (0,1)
，而且
X、 Y
相互独立，从而


0}

P{( X

1)Y

0}

P {X


P{ XY

Y



P{X 1

1}P Y{


0, Y

0 }

0}

P{ X

1

1

2

2


1

0, Y

.

0}




P{

X


1}P{Y


0 }


1

1

2

2


1

2






三、解答题：

15～ 23

小题 ,共 94 分 .请将解答写在答题纸

指定位置上 .解答应写出文字说明、证明


．．．



过程或演算步骤 .

(15)( 本题满分





10 分)

设函数
f

x

x

a ln(1 x)

bx sin x
，
g( x)

kx
3

，若

f x

与

g x

在

x 0
是等价无穷小，求
a,b,k
的值

.

1

, k

2

lim

x 0

【答案】
a1, b





1
.

3





【解析】法一：原式



x

aln 1 x

3
bx sin x



kx


1
（泰勒展开法）


lim

x

0
x a x

x
2

x
3

o x
3


bx x

2

3


3


kx



x
3

6




o x
3



1


1 a x b


0



lim

x

a
x
2
2





kx
3




a
x
3
b
x
4
o x
3


3


6










1





即
1

a 0, b


a


1,b


a

2

1

2


,k

0,

1

3k


1

3

a

















































(16)( 本题满分

10 分 ) 设函数
f

在点
x

在定义域 I 上的导数大于零， 若对任意的
x
0

x




I
，由线
y=f

x

0




x
0
, f x
0




处的切线与直线


x
0

及

x

轴所围成区域的面积恒为





4，且
f




2
，求
f

x




的表达式 .




















【答案】

f( x)



8


4

x


.




【解析】设

f

x

在点

x
0
, f x
0

处的切线方程为：

y

f

x
0

x
0

f

x
0



f

x
0
x

x
0

,




令
y

0
，得到

x

f


x
0

，

















故由题意，
f


x
0


1
x
0

x


4
，即


1
2

f x
0

2

y
2

8


x

，


f

x
0

f

x
0



4

，可以转化为一阶微分方程，




即
y




，两边同时积分可得




，将









，代入上式可得



































即
f


8


.



x

4





























(17)( 本题满分 10

分 )





已知函数

f

x , y


线 C 上的最大方向导数

.

【答案】 3

x

y

xy
，曲线

C：

x

2

y
2

xy

3

，求
f

x , y

在曲

【解析】因为
f x, y
沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模


.

f
x
' x, y

故
gradf


1 y, f
y
' x, y

x, y

1 y,1

g x, y

1 x
，


x
，模为

1

y


2

2






1

y

2
1 x
，

2
此题目转化为对函数

1 x

在约束条件
C : x
2

y
2

xy 3
下的最大值

.