画图省识春风面：高考不等式公式难题

2020年11月21日发(作者：游宁丰)
实用文档
1、已知函数在点的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设，求证：在上恒成立；
（Ⅲ）已知，求证：.

文案大全
实用文档
2、设不等式组
个数为.
所表示的平面区域为，记内的格点（格 点即横坐标和纵坐标均为整数的点）
（1）求的值及的表达式；
（2）记
值范围；
，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取
（3）设为数列的前项的和，其 中
；若不存在，说明理由.

，问是否存在正整数，使成立？若存
在，求出正整数
文案大全
实用文档
3、函数的定义域为{x| x ≠1}，图象过原点，且．
（1）试求函数的单调减区间；
（2）已知各项均为负数的数列前n项和为，满足，求证：；
文案大全
实用文档
4、设为正整数，规定：，已知．
（1）解不等式：；
（2）设集合，对任意，证明：；
（3）求的值；
（4）若集合，证明：中至少包含有个元素．
文案大全
实用文档
5、已知数列中，，且
（1）求证：；
（2）设，是数列的前项和，求的解析式；
（3）求证：不等式对于恒成立。
文案大全
实用文档
6、已知函数满足下列条件：
①函数的定义域为[0，1]；
②对于任意；
③对于满足条件的任意两个数
（1）证明：对于任意的；
（2）证明：于任意的；
（3）不等式对于一切
x
∈[0，1]都成立吗？试说明理由.
文案大全

实用文档
7、已知函数f(x)的导函数是。对任意两个不相等的正数，证明：
（Ⅰ）当时，；
（Ⅱ）当时，。
文案大全
实用文档

文案大全
实用文档
参考答案

1、解：（Ⅰ）将代入切线方程得
∴，化简得 …………………………………………2
分


解得：.
∴
.
………………………4分
（Ⅱ）由已知得在上恒成立
化简
即在上恒成立
设，

…………………………6分
∵ ∴，即
文案大全
………………
…………………

实用文档
∴在上单调递增，
∴在上恒成
立 …………………………………………8分
（Ⅲ）∵ ∴，
由（Ⅱ）知有
， …………………………………………10
分
整理得
∴当时，
. …………………………………………12分

2、（本小题主要考查数列、不等式等知识，考 查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和
创新意识）
解：⑴ -----------------2分
当时，
取值为1，2，3，…，共有个格点
当时，
取值为1，2，3，…，共有个格点
∴
文案大全
-----------------4分
实用文档
⑵
-------------5分
当时，
当时，

∴时，
时，
时，
∴中的最大值为.
要使对于一切的正整数恒成立，
只需
∴ -------------------9分
⑶
文案大全
------------------6分
------------------8分



实用文档
. ---------------10分
将代入，
化简得，（﹡）-------------------11分
若时 ，
，
显然-------------------12分
若时
（﹡）式化简为
不可能成立 --------------13分
综上，
存在正整数
使成立. - --------------14分

3、解：（1）由己知
文案大全
.
实用文档
且

∴ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4
于是
由得或
故函数的单调减区间为和 .。。。。。。。。。。。。。。。。6
（2）由已知可得，
当时，
两式相减得
∴（各项均为负数）
当时，， ∴ 。。。。。。。。。。。8
于是，待证不等式即为．
为此，我们考虑证明不等式.。。。。。。。。。。。10
令
文案大全
则，
实用文档
再令， 由知
∴当时，单调递增 ∴ 于是
即 ①.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12
令， 由知
∴当时，单调递增 ∴ 于是
即 ②.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14
由①、②可知
所以，，即 .。。。。。16

4、解：（1）①当0≤≤1时，由≤得，≥．∴≤≤1．
②当1＜≤2时，因≤恒成立．∴1＜≤2．
由①，②得，≤的解集为{|≤≤2}．
（2）∵，，，
∴当时，；
文案大全
实用文档
当时，；
当时，．
即对任意，恒有．
（3），，
，
，
一般地，（）．
（4）由（1）知，，∴．则．∴．
由（2）知，对
则0，1，2．
，或1，或2，恒有，∴．
由（3）知，对，，， ，恒有，
∴，，，．
综上所述，，0，1，2，，，，．∴中至少含有8个元素．
文案大全
实用文档
5、解：（1），
又因为
，
，则，即，又，
（2），
因为，所以
当时，
当时，，①
，②
①-②：，
.综上所述，
（3），
又，易验证当时不等式成立；
文案大全
实用文档
假设，不等式成立，即，两边乘以3得

又因为
所以
即时不等式成立.故不等式恒成立.
6、（1）证明：对于任意的

即对于任意的
（2）证明：由已知条件可得


所以对于任意的
文案大全

实用文档
（3）解：取函数
则显然满足题目中的（1），（2）两个条件，
任意取两个数


即不等式


7、证明：（Ⅰ）由
得


而
文案大全
①
实用文档
又
∴ ②
∵ ∴
∵ ∴ ③
由①、②、③得

即
（Ⅱ）证法一：由，得

下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立
即证成立
∵
文案大全

实用文档
设，则
令得，列表如下：












极小值
∴
∴对任意两个不相等的正数，恒有
证法二：由，得
∴
∵是两个不相等的正数
∴
设
则，列表：



文案大全





实用文档

极小值

∴ 即

∴即对任意两个不相等的正数，恒有


文案大全