二年级上册数学除法2015考研数学二真题与答案解析

2020年11月21日发(作者：项志峰)
2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：（1 ~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的。）
(1)下列反常积分中收敛的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；
；
；

，

因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(2)函数在(-∞,+∞)内
(A) (B)有可去间断点
(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
【答案】B
【解析】这是“”型极限，直接有


且
在处无定义，
所以是
,
的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
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【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限
(3)设函数
(A)
(C)
(
(B)
(D)
).若



【答案】A
【解析】易求出

再有

于是，

存在此时.

当，，

因此，在连续
=
。选A

综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其
的图形如右图所示，
A O B

二阶导函数
则曲线的拐点个数为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点
的点及不存在的点。
外处处二阶可导。 的可疑拐点是
的零点有两个，如上图所示，A点两侧
，对应的点就是的拐点。
恒正，对应的点不是拐点，B点两侧
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虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点
(5)设函数
(A)
满足


则与依次是
(B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】先求出
令
于是
因此

综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学- 多元函数的偏导数和全微分
(6)设D是第一象限中由曲线与直线 围成的平面区域，函数在
D上连续，则
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】 B

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【解析】D是第一象限中由曲线与直线 围成的平面区域，作极坐标
变换，将
D的极坐标表示为

因此
化为累次积分。


综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。
(7)设矩阵
A=
要条件为
(A)
(C)
【答案】D
,
b
=。若集合


，则线性方程 有无穷多解的充分必
(B)
(D)
【解析】
是一个范德蒙德行列式，值为,如果，则
，此时有唯一解，排除(A),(B)
类似的，若，则，排除(C)
当时，，
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】线性代数-线性方程组- 范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。
(8)设二次型在正交变换
在正交变换
下的标准形为
(B)
(D)


下的标准形为,其中,若
Q
=

(A)
(C)
【答案】A
【解析】设二次型矩阵为
A
,则

可见
1，因此

都是
A
的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是- 也是
A
的特征向量，特征值为-
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因此在正交变换

下的标准二次型为
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。
二、填空题：()小题，每小题4分，共24分。
(9)设则
【答案】48
【解析】由参数式求导法

再由复合函数求导法则得

=
,
综上所述，本题正确答案是48。
【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导

(10)函数
【答案】
【解析】
解法1 用求函数乘积的阶导数的莱布尼茨公式

其中


因此
解法2


注意


,于是

处的n阶导数


利用泰勒展开
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由于泰勒展开系数的唯一性，得
可得
综上所述，本题正确答案是



【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式
(11)设函数

【答案】2
连续，.若=1，则
【解析】改写,由变限积分求导法得

由=1= ，
可得
综上所述，本题正确答案是2
【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应用
(12)设函数

是微分方程
=

归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题
，且在处
取得极值3，则
【答案】
【解析】求

由特征方程
是得通解
又已知

可得特征根

于

综上所述，本题正确答案是


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