数学课的英语2015年考研数学二真题与答案解析

2020年11月21日发(作者：上官仪)
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2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、 选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目 要求的。）
(1)下列反常积分中收敛的是
(A)


(C)




(B)












(D)



【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。











；




















；















；































，

因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(2)函数









在(- ,+ )内



(A)连续 (B)有可去间断点
(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
【答案】B
【解析】这是“

”型极限，直接有






























,




在 处无定义，
且









所以 是



的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限





，
(3)设函数



( ).若




在 处连续，则

(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】易求出










，






s


s


再有
























不存在， ，






于是，

存在 ，此时




.
当 时，











，




=
不存在， ，

因此，



在 连续 。选A
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
(4)设函数 在(- ,+ )内连续，其


二阶导函数

的图形如右图所示，
则曲线 的拐点个数为 A O B
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】 在(- ,+ )内连续，除点 外处处二阶可导。 的可疑拐点是





的点及

不存在的点。





的零点有两个，如上图所示，A点两侧

恒正，对应的点不是



拐点，B点两侧





异号，对应的点就是



的拐点。
虽然




不存在，但点 两侧

异号，因而( ) 是



的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点

(5)设函数 满足







，
则


与


依次是



(A)
(B)


(C) (D)


【答案】D
【解析】先求出








令








于是











因此












































综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学- 多元函数的偏导数和全微分
(6)设D是第一象限中由曲线 与直线

围成的平面区域，函数 在
D上连续，则







s
s
(A)











(B)



(C)











(D)



























【答案】 B
【解析】D是第一象限中由曲线 与直线

围成的平面区域，作极坐
标变换，将





化为累次积分。

D的极坐标表示为












，

，
因此






















综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。

(7)设矩阵
A=



,
b
=



。若集合 ，则线性方程 有无穷多解的充分必要




条件为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】 有无穷多解














是一个范德蒙德行列式，值为



,如果 ，则




，



，此时 有唯一解，排除(A),(B)
类似的，若 ，则





，排除(C)
当 时，









， 有无穷多解
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。
(8)设二次型





在正交变换 下的标准形为








,其中





,若
Q
=





在正交变换
下的标准形为
(A)








(B)









(C)








(D)









【答案】A
【解析】设二次型矩阵为
A
,则









可见





都是
A
的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-

也是
A
的特征向量，特征值为
-1，因此
s
s









因此在正交变换 下的标准二次型为









综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数-二次型- 矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。
二、填空题：( )小题，每小题4分，共24分。




(9)设 则







【答案】48
【解析】由参数式求导法




















再由复合函数求导法则得











=























,






综上所述，本题正确答案是48。
【考点】高等数学-一元函数微分学- 复合函数求导

(10)函数







在 处的n阶导数







【答案】






【解析】
解法1 用求函数乘积的 阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。





















其中







注意











，




,于是





























因此













解法2
利用泰勒展开























































由于泰勒展开系数的唯一性，得






可得













综上所述，本题正确答案是






【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式
(11)设函数



连续，






.若



=1，

则





【答案】2
【解析】改写






,由变限积分求导法得
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