-
2013 年高考文科数学真题及答案全国卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共
合题目要求的．
I
12
小题，每小题
5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
1．(2013
课标全国Ⅰ， 文 1) 已知集合
A
＝{1,2,3,4}
，
B
＝
{
x
|
x
＝
n
2
，
n
∈
A
}
，则
A
∩
B
＝
(
) ．
A． {1,4}
B
． {2,3}
C
． {9,16}
D
． {1,2}
2． (2013 课标全国Ⅰ，文
2)
1
2i
＝ (
) ．
1 i
1
1
i
2
1+ i
1
1+ i
1
1 i
1
A．
2
B ．
2
C ．
2
2
D．
3． (2013
课标全国Ⅰ，文
3) 从 1,2,3,4 中任取
2 个不同的数，则取出的
值为 2 的概率是 (
) ．
2 个数之差的绝对
1
A．
2
1
1
1
2
B ．
3
C ．
4
D ．
6
C
4． (2013
课标全国Ⅰ，文
4) 已知双曲线
：
x
C
的渐近线方程为
(
) ．
B
a
y
=1
(
a
0
b
0)
b
2
5
2
，则
＞，＞
的离心率为
x
1
x
A． y＝
4
1
x
． y＝
3
C
． y＝
1
x
2
x
D
． y＝±x
5． (2013
课标全国Ⅰ，文
5) 已知命题
p
： ?
x
∈R, 2
＜
3
；命题
q
：
?
x
∈
R，
x
3
＝1－
x
2
，则
) ．
下列命题中为真命题的是
(
A． p∧ q
． p∧ q C ． p∧ q D ． p∧ q
B
6． (2013 课标全国Ⅰ，文
S
n
6) 设首项为 1，公比为
2
3
的等比数列 {
a
n
} 的前
n
项和为
，则
(
) ．
A． Sn＝ 2an－ 1 B
2an
7． (2013
课标全国Ⅰ，文
输出的
s
属于
(
) ．
A． [ － 3,4]
C． [ － 4,3]
B
D
．Sn＝ 3an－ 2
C
． Sn＝ 4－ 3an
D
． Sn＝ 3－
7) 执行下面的程序框图，如果输入的
t
∈
[
－
1,3]
，则
．[ －5,2]
．[ －2,5]
8． (2013
课标全国Ⅰ，文
8)
O
为坐标原点，
F
为抛物线
C
：
y
2
＝
4 2x
的焦点，
P
为
C
上一点，若
|
PF
|
＝
4
2
，则△
POF
的面积为
(
A．2 B ．
．
2 3
D
． 4
C
9．(2013
课标全国Ⅰ， 文 9) 函数
f
(
x
)
＝(1
－
cos
x
)sin
x
在[
－ π
，π
]
的图像大致为
(
22
) ．
) ．
10．(2013 课标全国Ⅰ， 文 10) 已知锐角△
ABC
的内角
A B C
， ， 的对边分别为
a b c,
， ， 23cos
2
A
＋cos 2
A
＝0，
a
＝ 7，
c
＝ 6，则
b
＝ (
) ．
1
A．10
B
．9
C
．8
D
．5
11． (2013 课标全国Ⅰ，文 11) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． 16＋ 8π
B． 8＋ 8π
C． 16＋ 16π
D． 8＋ 16π
(
) ．
12．(2013 课标全国Ⅰ， 文 12) 已知函数
f
(
x
) ＝
x
2
2x, x
0,
若
ln( x
1),x
0.
|
f
(
x
)| ≥
ax
，则
a
的取值范围是 () ．
A． ( －∞， 0]
B
．( －∞， 1]
C． [ － 2,1]
．[ －2,0]
D
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共
4 小题，每小题 5 分．
13． (2013 课标全国Ⅰ，文
13) 已知两个单位向量
a
，
b
的夹角为
60°，
c
＝
t a
＋ (1 －
t
)
b
. 若
b
·
c
＝
0，则
t
＝
______.
14． (2013 课标全国Ⅰ，文
14) 设
x
，
y
满足约束条件
1 x
3,
1 x y
0,
则
z
＝2
x
－
y
的最大值
为 ______ ．
15． (2013 课标全国Ⅰ，文 15) 已知
H
是球
O
的直径
AB
上一点，
AH
∶
HB
＝ 1∶ 2，
AB
⊥平面
α，
H
为垂足，
α
截球
O
所得截面的面积为
π
，则球
O
的表面积为
______．
16． (2013 课标全国Ⅰ，文 16) 设当
x
＝ θ 时，函数
f
(
x
) ＝ sin
x
－ 2cos
x
取得最大值，则 cos
θ ＝ ______.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013 课标全国Ⅰ， 文 17)( 本小题满分 12 分 ) 已知等差数列 {
a
n
} 的前
n
项和
S
n
满足
S
3
＝0，
S
5
＝－
5.
(1) 求 {
a
n
} 的通项公式；
(2) 求数列
aa
2 n 1
1
的前
n
项和．
2 n 1
18． (2013
课标全国Ⅰ，文
18)(
本小题满分
12 分 ) 为了比较两种治疗失眠症的药
( 分别称为
A 药， B 药) 的疗效，随机地选取
20 位患者服用
A药，20
位患者服用 B 药，这
40 位患者在
( 单位： h) ．试验的观测结果如下：
服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间
服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6
1.2
2.7
1.5
2.8
1.8
2.2
2.3
3.2
3.5
2.5
2.6
3.0
3.1
2.3
2.4
服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2
1.7
1.9
0.8
0.9
2.4
1.2
2.6
1.3
1.4
1.6
0.5
2.5
1.2
2.7
0.5
(1) 分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2) 根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
1.2
2.7
1.5
2.9
1.8
0.6
2.1
1.1
2
19． (2013 课标全国Ⅰ，文 19)( 本小题满分
AB
＝
AA
1
，∠
BAA
1
＝60°.
(1) 证明：
AB
⊥
A
1
C
；
12 分 ) 如图，三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，
CA
＝
CB
，
(2) 若
AB
＝
CB
＝
2，
A
1
C
＝
6
，求三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
的体积．
20．(2013 课标全国Ⅰ， 文 20)( 本小题满分 12 分 ) 已知函数
f
(
x
) ＝ e
x
(
ax
＋
b
)
－
x
2
－
4
x
，曲线
y
＝
f
(
x
)
在点
(0
，
f
(0))
处的切线方程为
y
＝
4
x
＋4.
(1) 求
a
，
b
的值；
(2) 讨论
f
(
x
)
的单调性，并求
f
(
x
)
的极大值．
21．(2013 课标全国Ⅰ， 文 21)( 本小题满分
12 分 ) 已知圆
M
：(
x
＋ 1)
2
＋
y
2
＝ 1，圆
N
：(
x
－ 1)
2
＋
y
2
＝
9，动圆
P
与圆
M
外切并且与圆
N
内切，圆心
P
的轨迹为曲线
C
.
(1) 求
C
的方程；
(2)
l
是与圆
P
，圆
M
都相切的一条直线，
l
与曲线
C
交于
A
，
B
两点，当圆
P
的半径最长时，求|
AB
|.
请考生在第 (22) 、(23) 、(24) 三题中任选一题做答． 注意：只能做所选定的题目． 如果多做，
则按所做的第一个题目计分，做答时请用
2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22． (2013 课标全国Ⅰ，文 22)( 本小题满分 10 分) 选修 4— 1：几何证明选讲
如图，直线
AB
为圆的切线，切点为
B
，点
C
在圆上，∠
ABC
的角平分线
BE
交圆于点
E
，
DB
垂
直
BE
交圆于点
D
.
23． (2013 课标全国Ⅰ，文
C
1
的参数方程为
23)( 本小题满分 10 分 ) 选修 4— 4：坐标系与参数方程已知曲线
(
t
为参数 ) ，以坐标原点为极点，
x
y
4
5cos t,
5
5sin t
x
轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线
C
2
的极坐标方程为
ρ ＝ 2sin
θ .
(1) 把
C
1
的参数方程化为极坐标方程；
(2) 求
C
1
与
C
2
交点的极坐标
(
ρ ≥0,0
≤ θ
＜
2π
)
．
24． (2013 课标全国Ⅰ，文
24)( 本小题满分 10 分 ) 选修 4— 5：不等式选讲已知函数
|2
x
－ 1| ＋ |2
x
＋
a
| ，
g
(
x
) ＝
x
＋ 3.
(1)
当
a
＝－
2
时，求不等式
f
(
x
)
＜
g
(
x
)
的解集；
(2)
设
a
＞－
1，且当
x
∈
f
(
x
)
＝
a1
2
,
时，
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
，求
a
的取值范围．
2
3
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷 I 新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．
答案： A
解析： ∵ ＝{
|
n
2
B
x
x
＝
， ∈
} ＝ {1,4,9,16}
，
n A
∴
A
∩
B
＝
{1,4}
．
2．
答案： B
解析：
1
2i
i
1
1 2i
1
2i
i
2
＝
1+ i
.
1
i
2
2i
2
2
2
3．
答案： B
解析： 由题意知总事件数为
6，且分别为
(1,2) ， (1,3)
，
足条件的事件数是
2，所以所求的概率为
1
.
3
4．
答案： C
解析：
∵
e
5
，∴
c
5
，即
c
2
5
.
2
a
2
a
2
4
∵
c
＝
22
a
＋
b
，∴
2
b
2
1
b
1
.
a
2
. ∴
4
a
b
2
∵双曲线的渐近线方程为
y
x
，
1
a
∴渐近线方程为
y
x
.
故选
C.
5．
2
答案： B
解析： 由 2
0
＝ 3
0
知，
p
为假命题．令
h
(
x
)
＝
x
3
－1＋
x
2
，
∵
h
(0)
＝－
1＜
0，
h
(1)
＝ 1＞0，
∴
x
3
－
1＋
x
2
＝
0
在
(0,1)
内有解．
∴?
x
∈ R，
x
3
＝ 1－
x
2
，即命题
q
为真命题．由此可知只有
6．
答案： D
2
1 q
n
a
1
a
n
q
1
3
a
n
解析：
S
n
a
1
＝ 3－2a ，故选 D.
n
1 q
1
q
1
2
3
7．
答案： A
解析： 当－ 1≤
t
＜ 1 时，
s
＝ 3
t
，则
s
∈ [ － 3,3) ．
当 1≤
t
≤3时，
s
＝ 4
t
－
t
2
.
∵该函数的对称轴为
t
＝
2，
∴该函数在 [1,2] 上单调递增，在 [2,3] 上单调递减．
∴
s
max
＝4，
s
min
＝
3.
∴
s
∈
[3,4]
．
4
， (2,3) ， (2,4) ， (3,4)
p
∧
q
为真命题．故选
B.
(1,4)
，满
综上知
s
∈[
－
3,4]
．故选 A.
8．
答案： C
解析： 利用 |
PF
| ＝
P
x
P
POF
∴
y
＝
2 6
.
∴
S
△
P
|
·|
y
|
＝
2 3
.
＝
1
OF
|
2
4
2
，可得
x
＝
3 2
.
P
故选 C.
2
9．
答案： C
解析： 由
f
(
x
)
＝
(1
－
cos
x
)sin
x
知其为奇函数．可排除
B．当
x
∈
0,
π
时，
f
(
x
) ＞ 0，
2
排除 A.
当
x
∈
(0
，π
)
时，
f
′(
x
)
＝
sin
2
x
＋
cos
x
(1
－
cos
x
)
＝－
2cos
2
x
＋
cos
x
＋
1.
x
π
.
fx
2
令
′( )＝0，得
故极值点为
x
2
π
3
，可排除 D，故选 C.
10．
答案： D
3
解析： 由 23cos
2
A
＋ cos 2
A
＝
0，得
cos
A
＝
.
2
1
∵
A
∈
0,
π
，∴
cos
A
＝.
1
25
2
∵cos
A
＝
故选 D.
36
b
2
6b
2
49
5
，∴
b
＝
5
或
b
13
(舍) ．
5
11．
答案： A
解析： 该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．
V
半圆柱
＝
1
2
π ×2×4＝ 8π ，
2
V
长方体
＝4×2×2＝
16.
所以所求体积为
16＋ 8π . 故选 A.
12．
答案： D
解析： 可画出 |
f
(
x
)|
的图象如图所示．
a
x
当 ＞ 0
时，
y
＝
ax
与
y
＝ |
f
(
)| 恒有公共点，所以排除
B， C；
当
a
≤0时，若
x
＞
0，则
|
f
(
x
)|
≥
ax
恒成立．
若
x
≤0，则以
y
＝
ax
与
y
＝
|
－
x
2
＋
2
x
|
相切为界限，
由
y
ax,
得
2
－ (
＋2)
＝ 0.
y
x
2
2x,
x
a
x
∵Δ ＝ (
a
＋2)
2
＝ 0，∴
a
＝－ 2.
∴
a
∈
[
－
2,0]
．故选
D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．
第 13
题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．
22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答．
第
5
-
-
-
-
-
-
-
-
本文更新与2020-11-21 19:42，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/453608.html