幼儿园数学本2013年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)(附详细答案)(20200621160403)

2020年11月21日发(作者：瞿曾辑)
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．（5分）
A．﹣ 8
=（
B．8
）
C．﹣8iD．8i
2．（5分）设集合A={1， 2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M
中元素的个数为（
A．3
3．（5分）已知向量
（）
B．﹣3C．﹣2D．﹣1
）
B ．4C．5D．6
=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ＝
A．﹣4
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为
（ ）
B．C．（﹣1，0）
﹣
1
A．（﹣1，1）D．
）
x< br>（x＞0）的反函数f（x）=（
5．（5分）函数f（x）=log
2
（1+ ）
A．B．
x
C．2
﹣1（x∈R）D．2﹣1（x＞0）
）
）
6．（5分）已知数列{a
n
}满足3a
n
+
1
+a
n
=0，a
2
=﹣，则{a
n
}的前10项和等于（
A．﹣6（1﹣3
﹣
10
）B．
4
C．3（1﹣3
22
﹣
10
）D．3（1+3
）
D．18
﹣
10< br>7．（5分）（1+x）
（1+y）的展开式中x
y
的系数是（
A．5
8．（5分）椭圆C：
B．8C．12
的左、右顶点分别为
3
A1
、A
2
，点P在C上且直线
）
PA
2
斜率的 取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA
1
斜率的取值范围是（
A．B．
2
C．D．
）
9．（5分）若函数（fx）=x
+ax+是增函数，则a的取值 范围是（
第1页（共24页）
A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3， +∞）
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=2AB，则CD与平面BDC
1
所
成角的正弦值等于（
A．B．
2
）
C．D．
11．（5 分）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为
k的直线与C交于A，B 两点，若
A．B．
，则k=（
C．
）
D．2
）12．（5分 ）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（
A．y=f（x）的图象关于（π ，0）中心对称
B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分.
．
种．（用
13．（5分）已知α是第三象限角，s inα＝﹣，则cotα＝
14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有数字作答）
15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为
．
D．若直线y=a（ x+1）与
D有公共点，则a的取值范围是
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆 ，其公共弦长等于球O的半径，
，则球O的表面积等于．
三、解答题：解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤
17．（10分）等差数列{a
n
}的前n项和为S
n．已知
数列，求{a
n
}的通项式．
.
S
1
， S
2
，S
4
成等比
2
S
3
=a
2
，且
第2页（共24页）
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分 别为a，b，c，满足（a+b+c）
（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若 sinAsinC=，求C．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=9 0°，BC=2AD，△PAB与
△PAD都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人 比赛，另一人当裁判，
每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为
，各局比赛的结果都相互独立，第
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙 当裁判的次数，求X的数学期望．
1局甲当裁判．
第3页（共24页）
21．（12分 ）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为
．
F
1
，F
2
，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为
（I）求a，b；（II）设过F
2
的直线l与C的左、右两支分别相交于
证明：|AF
2
|、|AB|、|BF
2
|成等比数列．
22．（12分）已知函数．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{a
n
}的通项 a
n
=1+
第4页（共24页）
A、B两点，且|AF
1
| =|BF
1
|，
．
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只 有
一项是符合题目要求的.
1．（5分）
A．﹣8
=（
B．8
）
C．﹣8iD．8i
【考点】A5：复数的运算．
【分析】复数分子、分母同乘﹣ 8，利用1的立方虚根的性质（
化简即可．
【解答】解：
故选：A．
【点评】 复数代数形式的运算，是基础题．
），
2．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5 }，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M
中元素的个数为（
A．3
）B．4C．5D．6
【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；
【专题】11：计算 题．
【分析】利用已知条件，直接求出
数即可．
1A：集合中元素个数的最值．
a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个
【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4， 5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，
所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、 2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，
第5页（共24页）
所以M中元素只有： 5，6，7，8．共4个．
故选：B．
【点评】本题考查集合中元素个数的最值，
算能 力．
集合中元素的互异性的应用，考查计
3．（5分）已知向量
（）
=（λ+ 1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ＝
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析 】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵
∴
∵∴
=（2λ+3，3），
，
=0，
，
．
．
∴﹣ （2λ+3）﹣3=0，解得λ＝﹣3．
故选：B．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂 直与数量积的关系是解题的关键．
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（ 2x+1）的定义域为
（）
B．C．（﹣1，0）D．A．（﹣1，1）
【考点】33 ：函数的定义域及其求法．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】原函数的定义域，即为 2x+1的范围，解不等式组即可得解．
第6页（共24页）
【解答】解：∵原函数的定义域为 （﹣1，0），
∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣
∴则函数f（2x+1）的定义域为
故选：B．
【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．
．
．
（x＞0）的反函数f（x）=（
5．（5分）函数f（x）=log
2
（1+）
A．B．
xx
﹣
1
）
C．2
﹣1 （x∈R）D．2﹣1（x＞0）
【考点】4R：反函数．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】把y看作常数，求出x：x=
函数．注意反函数的定义域．
【解答】解：设y =log
2
（1+），
把y看作常数，求出x：
1+=2
，x=y
，x，y互换，得到y=log
2
（1+）的反
，其中y＞0，
，
x，y互换，得到y=log
2
（1+）的反函数：y=
故选：A．【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，
指数式的相互转化．
解题时要认真审题，注意 对数式和
6．（5分）已知数列{a
n
}满足3a
n
+
1< br>+a
n
=0，a
2
=﹣，则{a
n
}的前10项和等 于（
A．﹣6（1﹣3
﹣
10
）
））B．C．3（1﹣3
﹣
10
）D．3（1+3
﹣
10
第7页（共24页）
【考点】 89：等比数列的前n项和．
【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．
【分析】由 已知可知，数列{a
n
}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可
求a
1
，然后代入等比数列的求和公式可求
【解答】解：∵3a
n
+
1
+ a
n
=0
∴
∴数列{a
n
}是以﹣
∵
∴a
1
=4
﹣
10
为公比的等比数列
由等比数列的求和公式可得 ，S
10
==3（1﹣3
）
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比 数列的通项公式及求和公式的简单应用，
试题
属于基础
7．（5分）（1+x）
（1+y）的展开式中x
y
的系数是（
A．5B．8C．12
3422）
D．18
【考点】DA：二项式定理．
【专题】11：计算题．
【分析 】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，
2
令x的指数为
2
的系数，第二个因式y的系数，即可得到结果．
2，写出出展开式中x
【解答】解：（x+1） 的展开式的通项为
令r=2得到展开式中x的系数是
4
22
C
3=3，
rr
3rr
T
r
+
1
=C
3< br>x
（1+y）的展开式的通项为T
r
+
1
=C
4y
令r=2得到展开式中y的系数是
34
22
C
4
=6 ，
（1+x）（1+y）的展开式中x
y
的系数是：3×6=18，
第8页（ 共24页）
22
故选：D．
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开 式的特定项问题，
题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决
的 ．
本
8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A
1
、A
2
，点P在C上且直线
）
PA
2
斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线P A
1
斜率的取值范围是（
A．B．C．D．
【考点】I3：直线的斜率；KH ：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由椭圆C： 可知其左顶点A
1
（﹣2，0），右顶点A
2
（2，0）．设
（x< br>0
≠±2），代入椭圆方程可得
P（x
0
，y
0
）< br>，再利用已知给出的
．利用斜率计算公式可得
的范围即可解出．
【解答】解：由 椭圆C：可知其左顶点A
1
（﹣2，0），右顶点A
2
（2，0）．
设P（x
0
，y
0
）（x
0
≠±2），则，得．
∵ =，=，
∴
∵
∴
=
，
=，
，解得．
第9页 （共24页）
故选：B．
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、
是解题的关键．
斜率的计算公式、不等式的性质等
9．（5分）若函数（fx）=x
+ax+
A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）
2
是增函数，则a的取值范围是（
C．[0，3 ]D．[3，+∞）
）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【专题】53：导 数的综合应用．
【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得
a≥﹣2x在（，+∞）上恒成 ≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为
立，构造函数求出
【解答】解：∵
故
即a≥
≥0在（
﹣2x在（
在（
，+∞）上的最值，可得a的取值范围．< br>，+∞）上是增函数，
，+∞）上恒成立，
﹣2x在（，+∞）上恒成立，
﹣2 x，
﹣2，
令h（x）=
则h′（x）=﹣
当x∈（，+∞）时，h′（x） ＜0，则h（x）为减函数．
∴h（x）＜h（
∴a≥3．
故选：D．
【点评 】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，
的综合应用，难度中档．
恒成立问题，是导 数
）=3
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=2AB，则CD与平面BDC
1
所
成角的正弦值等于（）
第10页（共24页）
A．B．C．D．
【考点】MI：直线与平面所成的角．
【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H： 空间向量及应用．
【分析】设AB=1，则AA
1
=2，分别以
轴的正方向建 立空间直角坐标系，设
量，CD与平面BDC，
1
所成角为θ
则sinθ＝| |，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．
的方向为x轴、y
的方向为x轴、y轴、z
=（x，y，z）为平面BDC
1
的一个法向
【解答】解：设AB=1，则A A
1
=2，分别以
轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如下图所示：则D（0，0，2），C，B（1，1，2），C（1，0，2），
1
（1，0，0）=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），
，即，取=设=（x，y，z）为平 面BDC
1
的一个法向量，则
（2，﹣2，1），
设CD与平面BDC，则s inθ＝|
1
所成角为θ
故选：A．
|=，
【点评】本题考查直线与 平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解
线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解 决问题的关键．
第11页（共24页）
11．（5分）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，点 M（﹣2，2），过点F且斜率为
k的直线与C交于A，B两点，若
A．B．
，则k= （
C．
）
D．2
2
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算； K8：抛物线的性质．
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】 斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用
（x
1
+2，y
1
﹣2）?（x
2
+2，y
2
﹣2）=0，即可求出k的值 ．
【解答】解：由抛物线C：y
2
=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜 率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k
2
x
2
﹣（4k
2
+8）x+4k
2
=0，△＞0，
=
设 A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）．
∴x
1
+x
2
=4+，x
1
x
2
=4．
∴y
1
+y
2
=，y
1
y
2
=﹣16，
又
∴
∴k=2．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛 物线的位置关系，
的计算能力，属于中档题．
考查向量的数量积公式，考查学生
=0，
=（x
1
+2，y
1
﹣2）?（x
2
+2，y2
﹣2）==0
12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正 确的是（
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．
C．
D．f（ x）既是奇函数，又是周期函数
第12页（共24页）
）