车水马龙造句：复数的基本概念与基本运算

2020年11月21日发(作者：林在峨)
复数的基本概念与基本运算

一、《考试说明》中复数的考试内容 (1)数的概念的发展，
复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复
数、模）； (2)复数的代数表示与向量表示； (3)复数的加法
与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式， 复数三角形
式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方； (4)复数集
中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。 二、
考试要求 （1） 使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解
复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转< br>换； （2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，
并理解复数运算的几何意义； （3）掌握在复数集中解实数
系数一元二次方程和二项方程的方法． （4）通过内容的阐
述， 带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用
数学知识解题的能力． （5）通过数的概念的发 展，复数、
复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教
学，继续对学生进行辩证观 点的教育． 三、学习目标 (1)
联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识； ?(2)
理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cosθ+isinθ) ,
OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念； (4)掌握复
数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合； 复(5)
正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三
角 数 实数集 集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；
虚数单位i及1的立方虚根 纯虚数集 ω的性质；模及共轭
复数的性质； (6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三
角化、几何化）； (7)掌握方程思想——利用复数及其相等的
有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。 四、
本章知识结构与复习要点 1．知识体系表解 1 116页
2．复数的有关概念和性质： (1)i称为虚数单位，规定2i,,1，
形如a+bi的数称为复数，其中a，b?R． (2)复数的分类(下
面的a，b均为实数) (3)复数的相等设复数，那么的充要
zz ,zabizabiababR,，,，,,(,,,)2条件是：． abab,,且
1122 ( 4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b?R）可用平面直
角坐标系内点Z(a，b)来表示．这 时称此平面为复平面，x轴
称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与
复平面上 全体点集是一一对应的． 2 216页 复数
z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，
b) abR,,，， 向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数
0对应点O，看成零向量)． (7)复数与实数不同处 ?任意两
个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实
数时就不能比较大小． ? 实数对于四则运算是通行无阻的，
但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方
均 通行无阻． 3．有关计算： ?**n4k，rrkNrN,,,nN,ii,i怎样
计算？（先求n被4除所得的余数，） ，，，，1313?,,,，i、,,,,i
是1的两个虚立方根，并且：
2 ,,,,1,,,,,,,,,,12122121,,12 ,，,,,1 ,,,,,,1212
21? 复数集内的三角形不等式是：z,z,z,z,z，z，其中左边在复数121212z、z对应的向量共线且反向（同向）时取等号，
右边在复数z、z对应的向量共 1212线且同向（反向）时取
等号。 nn? 棣莫佛定理是： ,,r(cos,，isin,),r(cosn,，isinn,)(n,Z)?
若非零复数z,r(cos,，isin,)，则z的n次方根有n个，即： 2k，
2k，,,,,nz,r(cos，isin)(k,0，1，2，？，n,1) knn它们在复平面
内对应的点在分布上有什么特殊关系？ nrn 3 316页,,z,2，
z,3(cos，isin),z? 若，复数z、z对应的点分别是A、B，< br>则?12121331,AOB（O为坐标原点）的面积是，2，6，sin,33。
232? z=。 z,z? 复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹： ?
轨迹为一条射线。 argz,,,(为实常数), ?轨迹为一条射线。
arg(zz,),,(z是复常数，,是实常数）,00 ?轨迹是一个圆。 z,z,r(r
是正的常数）,0 ?轨迹是一条直线。 z,z,z,z(z、z是复常
数),1212 ?轨迹有三种可能z,z，z,z,2a(z、z是复 常数，a是正
的常数）,1212情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为
一条线段； 2a,z,z2a,z,z1212c)当时，轨迹不存在。
2a,z,z12 ?z,z,z,z, 2a(a是正的常数),轨迹有三种可能情形：a)
当122a,z,z时，轨迹为双曲线；b) 当2a,z,z时，轨迹为两条
射线；c) 当12122a,z,z时，轨迹不存在。 12 五、高考命
题规律分析 复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉
及的知识面广，对能力要 求较高，是高考热点之一。但随着
新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要
把 握好复习的尺度。 从近几年的高考试题上看：复数部分
考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基 础知识部分
重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复
数相等的充要条件及其应 用，复平面内复数的几何表示及复
向量的运算。主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的
概 念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在
选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往 往是中、高
档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变
换，对有些题目，往往用 数形结合可获得简捷的解法。有关
复数n次乘方、求 4 416页辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行
变换。 复数的运算是高考中复数部分的 热点问题。主要考
查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解
及复向量运算等问 题。 基于上述情况，我们在学习“复数”
一章内容时，要注意以下几点： （1）复数的概念几乎都是
解题的手段。因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复
数概念上下功夫。除去复数相等、模 、辐角、共轭 复数
的三角形式和代数式，提供了将“复数问题实数化”的手段。
复数的几何意义也是解题的一个重要手段。 （2）对于涉及
知识点多，与方程、三角、解析几 何等知识综合运用的思想
方法较多的题型，以及复数本身的综合题，一直成为学生的
难点，应掌 握规律及典型题型的技巧解法，并加以强化训练
以突破此难点； (3) 重视以下知识盲点： ?不能正确理解
复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向； ?忽视方程的
虚根成对出现的条件是实系数； ?盲目地将实数范围内数与
形的一些结论，不加怀疑地引用到复数范围中来； ?容易混
淆复数 的有关概念，如纯虚数与虚数的区别问题，实轴与虚
轴的交集问题，复数辐角主值的范围问题等。 六、典型
例题分析 ?实数？?虚数？?纯虚数？ ?复数z是实数的
充要条件是： ?当m＝,2时复数z为实数． ?复数z是虚
数的充要条件： 5 516页