三年级数学课外辅导2014年考研数学三真题及答案

2020年11月21日发(作者：温建平)
.
2014年考研数学三真题
一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。 下列媒体给出的四
个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)设
(A)
(C)
【答案】A。
【解析】
【方法1】直接法：
由

【方法2】排除法：
若取
取
显然
显然
,且(B)和(D)都不正确；
，且(C)不正确
且≠0，则当充分大时有
且≠0，则当充分大时有
(B)
(D)


综上所述，本题正确答案是(A)
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质
(2)下列曲线中有渐近线的是
(A)
'.
(B)
.
(C)
【答案】C。
【解析】
【方法1】
由于

所以曲线
解法2
考虑曲线

则直线
(D)


有斜渐近线，故应选(C)
与直线纵坐标之差在

时的极限
是曲线的一条斜渐近线，故应选(C)
综上所述，本题正确答案是(C)
【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近
线
(3)设当时，若是比
高阶的无穷小，则下列选项中错误的是
(A) (B)
'.
.
(C) (D)
【答案】D。
【解析】
【方法1】
当

又
则
【方法2】
显然

由上式可知，
与题设矛盾。

故
，

时，

知，的泰勒公式为


,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，

综上所述，本题正确答案是(D)。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较
'.
.
(4)设函数
[0,1]上
(A)当
(B)当
(C)当
(D)当
具有二阶导数，,则在区间
时，
时，
时，
时，




【答案】D。
【解析】
【方法1】
由于
点和(),当
则直线
时，曲线
应位于过两个端点
的下方，即
过
在区间[0,1]
和

的上是凹的，曲线
弦
【方法2】
令

,则
,,
'.
.
当
又
从而，当
【方法3】
令
则


=
当
时，
，
时，
。则曲线，
,即
,
,



时,
,即
单调增，

，从而，当时，

综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明
(5)行列式
(A) (B)
'.
.
(C)
【答案】B。
(D)
【解析】灵活使用拉普拉斯公式

==
综上所述，本题正确答案是(B)
【考点】线性代数—行列式—数字型行列式的计算
(6)设均为三维向量，则对任意常数
线性无关是向量组
,向量组
线性无关的
(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
【答案】A。
【解析】
记

若
故
线性无关，则
,即

是3阶可逆矩阵，
线性无关。
，则
'.
.
反之，设
组
所以
线性无关，，则对于则对任意常数
线性相关，
,向量
线性无关，但
线性无关是向量组线性无关的
必要非充分条件。
综上所述，本题正确答案是(A)。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关
(7)设随机事件与相互独立，且

(A)0.1 (B)0.2
(C)0.3 (D)0.4
【答案】B。
【解析】
,
，独立，则独立，也独立,而
,则
可用独立性来计算。


可得

'.
.
综上所述，本题正确答案是(B)。
【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件关系，概率
性质和五大公式
(8)设为来自正态总体的简单随机样本，则统计量
服从的分布为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C。
【解析】
，所以
，
与相互独立，故与也独立。
所以 ,而
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念
二、填空题（914小题，每小题4分，共24分。）
(9)设某商品的需求函数为(为商品的价格)，则该商品
'.
.
的边际收益为 。
【答案】
,则边际收益为 【解析】由题设知收益函数为

【考点】高等数学—一元函数微分学—一元微分在经济中的应用
(10)设是由曲线与直线及围成的有界区
域，则的面积为 。
【答案】
【解析】
【方法1】
曲线
则的面积为
与直线及围成的有界区域如下图，


【方法2】
用二重积分计算面积，即


'.


.








【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用
(11)设
【答案】。
【解析】
,则 。

可知，则
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分计算
(12)二次积分
【答案】。
= 。
'.
.
【解析】
二次积分的积分区域为

交换积分次序得




【考点】高等数学—二重积分—变换积分次序和坐标系
(13)设二次型
数为1，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】
由配方法

的负惯性指


'.
.
负惯性指数为1，故，解得
【考点】高等数学—二次型—二次型的概念与标准形
(14)设总体的概率密度为

其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，若
。
,
则
【答案】
【解析】

,
解得
【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念
三、解答题：小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。
(15)求极限
'.