青岛版二年级上册数学2014年考研数学线性代数知识点梳理

2020年11月21日发(作者：廖永忠)
资料来源：中国教育在线 /
从近几年的真题来看，数学 线性代数出题没有过多的变化，2014年的考研
[微博]学子们，如何做到在千军万马中胜出，需要我 们提前准备，更要做到心中
有数，下面跨考教育[微博]数学教研室张老师就考研中线性代数部分的复习 重点
在考前再给大家梳理一遍。
一、行列式与矩阵
第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练
掌握。
行列式 的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计
算，其中具体行列式的计算又有低阶和 高阶两种类型；主要方法是应用行列式的
性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列 式的求值，考点
不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括
矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初
等矩阵的性质等。
二、向量与线性方程组
向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下 ，行列式和矩
阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两
章 特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组 的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的
相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻 底理顺诸多知识点之间的内在联
系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握 和灵活
运用的前提。
解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式)
还具有两种形式：(1)矩阵形式，(2)向量形式 。
1)齐次线性方程组与线性相关、无关的联系
齐次线性方程组 可以直接看出一定有解，因为当变 量都为零时等式一定成
立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。
当齐次线性方程组有唯一零 解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成
立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的 变量使上式成立；但向量
部分中判断向量组是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与
线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵
的列向量组是否 线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线
性方程组问题而提出的。
资料来源：中国教育在线 /
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2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
同样可以认为秩是为了更好地讨论 线性相关和线性无关而引入的。秩的定义
是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩 → 线性相关无关 → 线性方
程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程 组
有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解
系)线性表示 。
3)非齐次线性方程组与线性表示的联系
非齐次线性方程组是否有解对应于向量 是否可由列向量组线性表示，使等式
成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。
三、特征值与特征向量
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试
重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又
有线性方程组和 线性相关，“牵一发而动全身”。本章知识要点如下：
1.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。
2.相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：
3.矩阵可相似对角化的条件，包括 两个充要条件和两个充分条件。充要条件
1是n阶矩阵有n个线性无关的特征值；充要条件2是任意r重 特征根对应有r
个线性无关的特征向量。
4.实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于对角阵。
四、二次型
本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因
为化二次型为标准型的核心知 识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵C使得A
可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实 对称矩阵时的应用。
本章知识要点如下：
1.二次型及其矩阵表示。
2.用正交变换化二次型为标准型。
3.正负定二次型的判断与证明。
附：
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