has是什么意思：二次函数求最值方法总结

2020年11月21日发(作者：卜琴一)






XX教育辅导教案

性别

上课时间

年月日



学生姓名

授课教师


年级

学科

第（）次课

共（）次课


数学

课时：课时


教学课题


二次函数求最大值和最小值


教学目标





利用二次函数的图像和性质特点，求函数的最大值和最小值

教学重点

含有参数的二次函数最值求解。





与难点

课堂引入：

1) 由二次函数应用题最值求解问题引申至一般二次函数求最值问题，阐述二次函数求最值问题方
法的重要性 （初高中衔接、高中必修一重点学习内容） 。







2)

当

2 x 2
时，求函数

y x
2
2x 3
的最大值和最小值．

（引导学生用初中所学的二次函数知识求解，为下面引出二次函数求最值方法总结做铺垫）

二次函数求最值方法总结：

一、设 y

1、当
a

1)

当
m









ax
2

bx c(a 0)

，当
m

x n
时，求
y
的最大值与最小值。

0
时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得

b

n
时，
x

2a



y
的最值：


b

时，
y
取最小值：
y
min

2a



4ac b
2
4a


；
y
的最大值在

x m

或

x





n 处



取到。

2)

若

b

2a


m
，二次函数在
m





x



n
时的函数图像是递增的，则

x





m 时，
y
取最小值；则 x



n





时，
y
取最大值。

若


b

2a


n
，二次函数在
m


x

n
时的函数图像是递减的，则

x


n 时，
y
取最小值；则 x


m



时，
y
取最大值。































2、当
a

1)

当
m




0
时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得

b

时，
y
取最大值：
y
max

2a





y
的最值：


b

2a

b

n
时，
x



4ac

b
2

；
y
的最小值在

x







m 或 x

n 处

4a



取到。

2)

若

2a

m
，二次函数在
m



x n
时的函数图像是单调递减的，则

x


n 时，
y
取最小值；则




x m 时，
y
取最大值。

若








b

2a


n
，二次函数在
m


x n
时的函数图像是单调递增的，则


x m 时，
y
取最小值；则

x n 时，
y
取最大值。
二、二次函数最值问题常见四种考察题型：















1) 对称轴定、 x 取值范围定；
2) 对称轴定、 x 取值范围动；
3) 对称轴动、 x 取值范围定；
4) 对称轴动、 x 取值范围动。
【例题解析】



例 1．当
2



x 4
时，求函数

y

x
2
2 x 1的最大值和最小值．

分析： 作出函数在所给范围的及其对 称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到
函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值．

















解：作出函数的图象．当
x 2
时，

y
min

1 ，当
x

4
时，

y
max

9 ．

【变式训练】

变式 1、当
1

x 2
时，求函数

y



x
2
x

1 的最大值和最小值．

分析： 作出函数在所给范围的及其对称轴的 草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到
函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值．







解：作出函数的图象．当
x 1
时，

y
max

1 ，当
x

2
时，

y
min

5 ．

【例题解析】

例 2、当
t



x t 1

时，求函数
y


1

x
2

2

x


5
2

的最小值 ( 其中 t 为常数 ) ．


分析：由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

解：函数
y


1
x
2
2


x


5
2



的对称轴为
x


1
．画出其草图．








(1)


当对称轴在所给范围左侧．即


t

1
时：当

x


t 时，
y
min

0 t 1
时：




1
t

2
t

2








5
；

2

(2)





当对称轴在所给范围之间．即

当
x 1
时，
y
min


1
1
2
t

1

t

1

1

5

3
；


2

2


(3) 当对称轴在所给范围右侧．即
t 1 1 t 0
时：
当
x


t 1
时，
y
min

1
(t 1)
2


(t 1)

2

5

1
t

2
3
．

2

2







综上所述：
y

1

t

2
3,t

0

2


3,0

t

1

1
t

2
t

2


5
, t 1
















2

【变式训练】

变式 2、当
t


















x t 1
时，求函数
y


1
x
2
2


x

5
的最小值 ( 其中 t 为常数 ) ．

2

方法总结：


1、图像法求二次函数最值；


2、利用分类讨论思想和二次函数图像特点求解二次函数最值。


（对称轴、 x 取值范围、函数图像增减性）






作业：


1、当

1 x 3
时，求函数

y







x
2
4 x

3 的最大值和最小值．

2、当
t

x t 2
时，求函数

y

x
2
x

1的最大值 ( 其中 t 为常数 ) ．