小学数学圆锥2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)

2020年11月21日发(作者：毕诒策)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分）

1.
已知集合



，

，则




A.

B.

C.

D.


【答案】

D
【考点】

交集及其运算

【解析】

求出

中不等式的解集确定出

，找出

与

的交集即可．

【解答】

解：由

中不等式变形得：

，

解得：

或

，即

，

∵

，

∴

．

故选

．


2.







B.

C.

D.

A.


【答案】

D
【考点】

复数代数形式的乘除运算

【解析】

由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位

的幂运算性质，计算求得结果．

【解答】

解：








，

故选：

．


3.
设函数

，

的定义域都为

，且

是奇函数，

是偶函数，则下列结论正
确的是
( )
A.

是偶函数

B.

是奇函数

C.

是奇函数

D.

是奇函数

【答案】

C
【考点】

函数奇偶性的判断

【解析】

根据函数奇偶性的性质即可得到结论．

【解答】

解：∵


是奇函数，

是偶函数，

试卷第1页，总20页
∴

，

，


，故函数是奇函数，故

错误；


为偶函数，故

错误；


是奇函数，故

正确；


为偶函数，故

错误
.
故选

.

4.
已知

为双曲线





的一个焦点，则点

到

的一条渐近线的距离为
( )
B.

D.


A.


C.



【答案】

A
【考点】

双曲线的特性

【解析】

双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标 ，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公
式，可得结论．

【解答】

解：双曲线





可化为


∴
点

到

的一条渐近线的距离为








，

∴
一个焦点为



，一条渐近线方程为



，






．

故选

．


5.

位同学各自在 周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学
参加公益活动的概率为（

）

A.



B.



C.



D.



【答案】

D
【考点】

等可能事件的概率

【解析】

求得

位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益 活动、周六、周日都有同学参
加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．

【解答】

解：

位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有



种情况，

周六、周日都有同学参加公益活动，共有



种情况，

∴
所求概率为



．

故选：

．


6.
如图，圆

的半径为

，

是圆上的定点，

是圆上的动点，角

的始边为射线

，终
边为射线

，过点

做直线

的垂线，垂足为

，将点

到直线

的距离表示为

的函数

，则

在

的图象大致为
( )


试卷第2页，总20页

A.

B.

C.

D.

【答案】

C
【考点】

抽象函数及其应用

【解析】

在直角三角形

中，求出

，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函
数的定义即可得到

的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．

【解答】

解：在直角三角形

中，

，

，则

，

∴
点

到直线

的距离表示为

的函数



，



其周期为


，最大值为

，最小值为

，

故选

．


7.
执行下图的程序框图，若输入的

，

，

分别为

，

，

，则输出的






试卷第3页，总20页

A.


【答案】

C
【考点】

程序框图

【解析】

根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出

的值．

【解答】

解：由程序框图知：

第一次循环




，

，


，

；

第二次循环




，


，


，

；

第三次循环






，


，






B.



C.



D.



，

．


不满足条件

，跳出循环体，输出


．

故选

．


8.
设



，



，且

A.



C.



【答案】

C
【考点】

三角函数的化简求值

【解析】

化切为弦，整理后得到

，由该等式左右两边角的关系可排除选项

，

，
然后验证

满足等式

，则答案可求．

【解答】

解：由












，则（

）

B.



D.





，得：

，

即

，




，

∵



，



，

∴
当


时，



成立．

故选

．


试卷第4页，总20页




9.
不等式组


的解集记为

，有下列四个命题：





，



，





，



，


其中真命题是（

）

A.


，


B.


，


C.


，



【答案】

C
【考点】

命题的真假判断与应用

二元一次不等式的几何意义

【解析】

D.


，





的表示的区域

，对四个选项逐一分析即可．

作出不等式组


【解答】

作出图形如下：




由图知，区域

为直线

＝

与

＝

相交的上部角型区域，



：区域

在


区域的上方，故：

，

成立；



：在直线

＝

的右上方和区域

重叠的区域内，

，

，故



，

正确；



：由图知，区域

有部分在直线

＝

的上方，因此



，

错
误；




的区域（左下方的虚线区域）恒在区域

下方，故



，

错误；

综上所述，


、


正确；


10.
已知抛物线


＝

的焦点为

，准线为

，

是

上一点，

是直线

与

的一个交点，
若


，则

＝（

）

A.




B.


C.



D.


【答案】

B
【考点】

抛物线的性质

【解析】

求得直线

的方程，与


＝

联立可得

＝

，利用

＝

可求．

【解答】

试卷第5页，总20页
设

到

的距离为

，则

＝

，

∵


，

∴

＝

，

∴
不妨设直线

的斜率为







，



∵

，

∴
直线

的方程为

＝



，

与


＝

联立可得

＝

，

∴

＝

＝

＝

，


11.
已知函数





，若

存在唯一的零点


，且



，则实数

的取
值范围是




A.

B.

C.

D.


【答案】

D
【考点】

函数的零点与方程根的关系

【解析】

由题意可得



，

；分类讨论确定函数的零点的个
数及位置即可．

【解答】



解：∵






，

∴



，

；

①
当

时，



有两个零点，不成立；

②
当

时，





在

上有零点，故不成立；

③
当

时，





在

上有且只有一个零点；

故





在

上没有零点；

而当


时，





在

上取得最小值；

故









；

故

；

综上所述，

实数

的取值范围是

.
故选

．


12.
如图，网格纸上小正方形的边长为

，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多
面体的各条棱中，最长的棱的长度为（

）





试卷第6页，总20页

A.




【答案】

B
【考点】

由三视图求体积

【解析】

B.


C.




D.


画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．

【解答】

解：几何体的直观图如图：





，

，

到

的中点的距离为：

，

∴









．









，



，

显然

最长
,
长为

．

故选

．

二、填空题（共4小题，每小题5分）

13.


的展开式中




的系数为
________
．（用数字填写答案）

【答案】



【考点】

二项式定理的用法

【解析】

由题意依次求出

中


，




，项的系数，求和即可．

【解答】



的展开式中，含


的系数是：

．

含




的系数是

，

∴


的展开式中




的系数为：

．


14.
甲、乙、丙三位同学被问到是否去过

，

，

三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过

城市；

乙说：我没去过

城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为
_______ _(
填城市字母即可
)
．

【答案】



【考点】

进行简单的合情推理

【解析】

可先由乙推出，可能去过

城市或

城市，再由甲推出只能是

，

中的一个，再由丙即
可推出结论．

试卷第7页，总20页
【解答】

解：由乙说：我没去过

城市，则乙可能去过

城市或

城市，

但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过

城市，则乙只能是去过

，

中的任一个，

再由丙说：我们三人去过同一城市，

则由此可判断乙去过的城市为

．

故答案为：

．



15.
已知

，

，

为圆

上的三点，若


，则

与

的夹角为
________
．


【答案】




【考点】

数量积表示两个向量的夹角

【解析】

根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．

【解答】

解：在圆中若


，









即


，

即


的和向量是过

，

的直径，

则以

，

为邻边的四边形是矩形，

则


，

即

与

的夹角为


，

故答案为：




16.
已知

，

，

分别为

的三个内角

，

，

的对边，

且


，则

面积的最大值为
________
．

【答案】




【考点】

余弦定理

正弦定理

【解析】

由正弦定理化简已知可得





，结合余弦定理可求

的值，由基本不等式
可求

，再利用三角形面积公式即可计算得解．

【解答】

解：因为









，

又因为

，

所以


















试卷第8页，总20页










，




，



面积




，




而






















，

所以





，即

面积的最大值为


．




故答案为：


．

三、解答题

17.
已知数列



的前

项和为


，



，



，







，其中

为常数．

（
1
）证明：







（
2
）是否存在

，使得



为等差数列？并说明理由．

【答案】

（
1
）证明：∵








，







，

∴









∵



，

∴





．

（
2
）解：
①
当

时，





，假设



为等差数列，设公差为

．

则





，∴


，解得

，

∴





，

∴



，矛盾，因此

时



不为等差数列．

②
当

时，假设存在

，使得



为等差数列，设公差为

．

则













，

∴


．

∴






，




，



∴














，




．

根据



为等差数列的充要条件是




，解得

此时可得



，



．

因此存在

，使得



为等差数列．

【考点】

数列递推式

等差关系的确定

【解析】

（
1
）利用







，







，相减即可得出；

（
2
）对

分类讨论：

直接验证即可；

，假设存在

，使得



为等差数列，

试卷第9页，总20页
设公差为

．可得













，


．得到













，根据
为等差数列的充要条件是







，解得

即




可．

【解答】

（
1
）证明：∵








，







，

∴









∵



，

∴





．

（
2
）解：
①
当

时，





，假设



为等差数列，设公差为

．

则





，∴


，解得

，

∴





，

∴



，矛盾，因此

时



不为等差数列．

②
当

时，假设存在

，使得



为等差数列，设公差为

．

则













，

∴


．

∴






，




，




∴














，






．

根据



为等差数列的充要条件是




，解得

此时可得




，



．

因此存在

，使得



为等差数列．


18.
从某企业生产的某种产品中抽取

件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量
结果得如下频率分布直方图：




（
1
）求这

件产品质量指标值的样本平均数

和样本方差


（同一组中数据用该组区
间的中点值作代表）；


（
2
）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值

服从正态分布



，其中

近似
为样本平均数

，


近似为样本方差


．


利用该正态分布，求

；


某用户从该企业购买了

件这种产品，记

表示这

件产品中质量指标值位于区
试卷第10页，总20页