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2014年福建省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给 出的四个选
项中，只有一项是符合要求的．
1．（5分）（2014?福建）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数 等于（ ）
A．﹣2﹣3iB．﹣2+3iC．2﹣3iD．2+3i
【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求．
【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，
∴ ．
故选：C．
2．（5分）（2014?福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是
（ ）
A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱
【分析】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，
即可．
【解答】解：圆柱的正视图为矩形，
故选：A．
3．（5分）（2014?福建）等差数列{a}的前n项和为S，若a=2，S=12，则 a
61n3n
等于（ ）
A．8B．10C．12D．14
【分析】由等差数列的性质和已知可得a，进而可得公差，可得a
62
【解答】解：
由题意可得S=a+a+a=3a=12，
21233
解得a=4，∴公差d=a﹣a=4﹣2=2，
122
∴
a=a+5d=2+5×2=12，
16
故选：C．
4．（5分）（2014?福建）若函数y=l ogx（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则
a
下列函数图象正确的是（ ）
．A
．B
．C
．D
，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可．【分析】由题意可得a=3
，解：由题意可知图象过（3，）1【解答】
，a=31=log3，解得故有
a
xxx
﹣﹣
单调递减，故错误；）=，y=a=3（A选项
3
，由幂函数的知识可知正确；选项B，y=x
33
轴对称，故错误；关于xy=选项C，（﹣x）=﹣x，其图象应与B
，，当x（﹣）（﹣y=logD选项，x=log）x=时，﹣3y=1
3a
但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误．
故选：B．
5．（5分）（2014?福建）阅读如图所示的程序框图， 运行相应的程序，输出的S
的值等于（ ）
40．．21D18B．20C．A
n21
值，Sn的值，计算满足条件的+2++2…+…+2++算法的功能是求【分析】S=21
可得答案．
n21
的值，+n+2+2…++2…+【解答】解 ：由程序框图知：算法的功能是求S=21+
32112
．153=20 ≥+1+2+4+2+1+2+3=2++，++∵S=2+2+1+2=24+12=9＜15S=22+8< br>
．S=20∴输出
．故选：B
22
“k=1”两点，B 则=1相交于A，Oy=kx福建）5（分）（2014?直线l：+1与圆：
x+y．6
） ”的（ OAB是“△的面积为
．必要而不充分条件．充分而不必要条件BA
．既不充分又不必要条件DC．充分必要条件
结合充分条件和必要条件的定义进行判断即根据直线和圆相交的性质，【分析】．
可得到结论．
22
=1相交于A，：xB +y两点，【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O
，|=2，则圆心到直线距离d=|AB
d=
成 的面积为若k=1，则|AB|×= = ，则△OAB
，
立，即充分性成立．
=×2×若△OAB的面积为，则S===，
22
﹣2|k|+1=01=2|k|，即k即k，+
2
=0，）|﹣1则（|k
即|k|=1，
解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．
故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．
故选：A．
，＞
，则下列结论正确的是）（5分）（2014?福建）已知函数f（x=7．
，
）（
）是增函数fBA．f（x）是偶函数．（x
D．f（x）的值域为[﹣1）是周期函数．Cf（x，+∞）
【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．
【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，
2
+1，为二次函数的一部分，xf（）=x当x＞0时，
故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，
故可排除A、B、C，
对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，
当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），
故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确．
故选：D．
）表示出来的是，2 =（3．（5分）（2014?福建）在下列向量组中，可以把向量8）
（
）1，2 0，0），=（A． =（
B． =（﹣1，2）， =（5，﹣2）
）10（6，，5）， =C． =（3
）3， =（﹣2，，﹣D． =（23）
，计算判别即可．【分析】根据向量的坐标运算，
， 【解答】解：根据
选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不
能；
选项B：（3，2）=λ（﹣ 1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，
解得，λ=2，μ=1，故选项B能 ．
选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2 =5λ+10μ，无解，
故选项C不能．
选项D：（3，2）=λ（2， ﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，
无解，故选项D不能．
故选：B．
222
上的+y= 1﹣6）=2和椭圆+5分）（2014?福建）设P，Q分别为圆x（y9．（
） Q点，则P，两点间的最大距离是（
A．5 B． + C．7+ D．6
【分析】求出椭圆 上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间
的最大距离．
【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则
22
=2的圆心为（0，6）﹣6），半径为 ∵圆x，+（y
∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为
≤5 ，
==
∴P，Q两点间的最大距离是5 + =6 ．
故选：D．
10．（5分）（2014?福建）用a代表红球，b代表蓝 球，c代表黑球，由加法原理
及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+ a）（1+b）
的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一 个
红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开
式可用来表 示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取
出若干个球，且所有的蓝球都取出或 都不取出的所有取法的是（ ）
234555
）c1+1+ab+a）+a（）aA．（1+a+（+
553452
）+bcb）+b（+b1+B．（1+a）（1+b+
523455
）+c）（+b1+b+aC．（1+）b（1+b+b
552345
）++c+c+c++D．（1ac）（1+b）c（1
< br>【分析】根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取
出一个 红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，
根据分步计数原理，分三步， 每一步取一种球，问题得以解决．
【解答】解：从5个无区别的红球中取出若干个 球，可以1个球都不取、或取
1
2345
；aa+a++个球，个、5共6种情况，则 其所有取法为1+a+a个、2个、3个、
4从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出 或都不取出，得
5
；
从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1其所有取法为1+b 个球都不取、或
取1个、2个、3个、4个、5个
c+ c+ c+ c+ c=6球，共种情况，则其所有取法为1+ （1+c），根据
23455
）（1++bac+a）+a）（1a适合 要求的所有取法是分步乘法计数原理得，（1++a+
5
．
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相
应位置
，则z=3x+y满足约束条件， 2014?分）（11．4（福建）若变量
xy
的最小值为 1 ．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利 用线性规划的知识，通过平移即可求z
的最小值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，
由z=3x+y，得y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，由图象 可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线
y=﹣3x+z的截距最小，
此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，
故答案为：1
52354
的面，则△ABC，BC= 2014?福建）在△ABC中，A=60°，AC=4（12．（4分）
．2 等于
ABC再利用三角形的面积公 式求出△利用三角形中的正弦定理求出角B，【分析】
的面积．
， ，BC=2ABC中，A=60°，AC=4【解答】解：∵△
，由正弦定理得：
，∴
，sinB=1解得
，C=30°B=90°，∴
． =∴△ABC的面积
． 故答案为：
3，高为1m的无盖长方形容器，（2014?福建）要制作一个容器为4m13．（4分）
已知该容 器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器
的最低总造价是 160 （单位：元）
【分析】此题首先需 要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，
成本为y，建立函数关系式，然后利用基本 不等式求出最值即可求出所求．
【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，
3
，高为1m，则∵长方形容器的容器为4m
故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，
=4≥2，∵a+b
故当a=b=2时，y取最小值160，
即该容器的最低总造价是160元，
故答案为：160
14．（4分）（2014?福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中
随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．
利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．【分析】
x
对称，关于与y=ey=xy=lnx【解答】解：由题意，
xx
，） dx=2（ex﹣e∴阴影部分的面积为2e（e﹣=2）
2
，为自然对数的底数）的正方形的面积为e∵边长为e（e
．∴落到阴影部分的概率为
．故答案为：
，且下列四个关系：，3 ，4}，}，{分）4（2014?福建）若集合a，bc，d={12（15．
有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数4c=2b；②≠1；③；④d≠a=1①．）
的个数是， ，，组（abcd 6
【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1 ；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有
一个是正确的，即可得出结论．
【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；
a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；
a=4时，b=1，c=3，d=2；
∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．
三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤
16．（13分）（2014?福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+ cosx）﹣．
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【分析】（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；
（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可．
sinα=，且α＜（1）∵0＜【解答】解：
，∴cosα=
）﹣cosα=cosα（sinα+∴f（α）
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