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2014 年普通高等学校招生全国统一考试
一．选择题： 共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 已知集合 A={
|
x
2
x
2 3 0
x
} ， B={
x
| －2≤
x
＜
2＝，则
A
C
.[-1,1]
B
.
1 i
D
.[1,2）
B
=
A
.[-2,-1]
2.
3
2
B
.[-1,2）
A
.
1 i
(1 i)
=
(1 i )
C
.
1 i D
.
1 i
3.
设函数
f (x)
，
g( x)
的定义域都为
R，且
f (x)
时奇函数，
g(x)
是偶函数，则下列结论正确的是
B
.|
f (x)
|
g(x)
是奇函数
A
.
f (x) g( x)
是偶函数
4. 已知
F
是双曲线
C
.
f ( x)
|
g(x)
|是奇函数
D
.|
f (x) g (x)
|是奇函数
2
C
：
2
x my
3 ( 0)
m m
的一个焦点，则点
F
到
C
的一条渐近线的距离为
D
.
3m A
.
3
B
.3
C
.
3m
5. 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率
1
A
.
8
3
B
.
8
5
C
.
8
7
D
.
8
OA
，终边为 线射
OP
，过点
P
作 6. 如图， 圆 O 的半径为1，A 是圆上的定点， P 是圆上的动点， 角
x
的始边为 线射
直线
OA
的垂线， 垂足为
M
，将点
M
到直线
OP
的距离表示为
x
的函数
f ( x)
，则
y
=
f ( x)
在[0, ]上的图像大致为
7. 执行下图的程序框图，若输入的
20
A
.
a,b, k
分别为1,2,3，则输出的
M
=
15
D
.
8
16
5
3
7
C
.
2
8. 设
B
.
(0, )
，
2
(0, )
，且
tan
2
1 sin
，则
cos
C
.
3
A
.
3
2
B
.
2
2
的解集记为
D
.有下面四个命题：
D
.
2
2 2
x y 1
9. 不等式组
x 2y 4
p
：
( x,)yD
1
, x 2y 2
，
p
2
：
( x,)y D, x 2y 2
,
, x 2y 1
.
D
.
p
1
，
P
3
P
：
( x,)y
3
***
D, x 2y 3
，
p
4
：
( x,)yD
A
.
p
，
P
3
2
其中真命题是
B
.
p
1
，
p
4
C
.
p
1
，
p
2
***
10. 已知抛物线
C
：
2
y
8
x
的焦点为
F
，准线为
l
，
P
是
l
上一点，
Q
是直线
PF
与
C
的一个焦点， 若
FP
4FQ
，
7
5
则
|QF |
=
A
.
B
.
2 2
3
C
.3
D
.2
11. 已知函数
f (x)
=
ax
3
2
1
x
，若
f (x)
存在唯一的零点
x
0
，且
x
0
＞0，则
a
的取值范围为
A
.（2，+∞）
B
.（-∞，-2）
C
.（1，+∞）
D
.（-∞，-1）
12. 如图，网格纸上小正方形的边长为
体的个条棱中，最长的棱的长度为
1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面
A
.
6 2 B
.
4 2
C
.6
2 2
D
.4
5分。
.(用数字填写答案 )
B 城市；
.
二．填空题：本大题共四小题，每小题
13.
(x y)( x y)
的展开式中
8
x y
的系数为
14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A ，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过
.由此可判断乙去过的城市为 乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市
1
15. 已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若
AO (AB AC)
，则
AB
与
AC
的夹角为
2
.
16. 已知
a,b,c
分别为
ABC
的三个内角
A, B,C
的对边，
a
=2，且
(2 b) (sin Asin )B () c sbi n
面积的最大值为 .
C
，则
ABC
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 12 分)已知数列 {
a
n
} 的前
n
项和为
S
n
，
a
1
=1，
a
n
（Ⅰ）证明：
a
n 2
0
，
a
n
a
n 1
S
n
1
，其中 为常数 .
a
n
；（Ⅱ）是否存在 ，使得 {
a
n
} 为等差数列？并说明理由 .
500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下 18. （本小题满分 12 分）从某企业的某种产品中抽取
频率分布直方图：
（Ⅰ）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数
x
和样本方差
s
（同一组数据用该区间的中点值作代表）
Z
服从正态分布
N( ,
2
2
；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值
2
2
均数
x
，
近似为样本方差
s
.
)
，其中 近似为样本平
（i）利用该正态分布，求
P (187.8 Z
（ii ）某用户从该企业购买了
***
212.2)
；
100 件这种产品， 记
X
表示这 100 件产品中质量指标值为于区间 （187.8,212.2）
***
的产品件数，利用（ i）的结果，求
EX
.
***
***
附：
150
≈ 12.2.
2
若
Z
～
N( , )
，则
P( Z )
=0.6826，
P( 2 Z 2 )
=0.9544.
19. （本小题满分 12 分）如图三棱锥
ABC
A
1
B
1
C
1
中，侧面
BB
1
CC
1
为菱形，
AB B
1
C
.
（Ⅰ） 证明：
（Ⅱ）若
AC
AC AB
；
1
o
AB
，
CBB
1
60
，AB=BC ，求二面角
1
1
A AB C
的余弦值 .
1 1
20.（本小题满分 12 分）已知点
A
（ 0，-2），椭圆
E
：
2 2
x
2
y
2
3
的离心率为
，
F
是椭圆的焦点，直线
AF
的斜率为
2
1(a b 0)
2
3
，
O
为坐标原点 .
3
a b
（Ⅰ）求
E
的方程；
（Ⅱ）设过点
A
的直线
l
与
E
相交于
P,Q
两点，当
21.（ 本小题满分 12 分）设函数
x
x 1
OPQ
的面积最大时，求
l
的方程
.
f (x)
在点（1，
f (1)
处的切线为
y e(x 1) 2
.
f (x0 ae ln x
f (x) 1
.
be
，曲线
y
x
(Ⅰ)求
a, b
； （Ⅱ）证明：
23.（ 本小题满分 10 分）选修4— 4：坐标系与参数方程已知曲线
2 2
C
：
x
4
y
9
1
，直线
l
：
x 2 t
（
t
为参数）
.
y 2 2t
（
Ⅰ
）写出曲线
C
的参数方程，直线
l
的普通方程；
（
Ⅱ
）过曲线
C
上任一点
P
作与
l
夹角为
30
的直线，交
a 0,b 0
，且
o
l
于点
A
，求
| PA |
的最大值与最小值 .
1
1
a b
.
ab
24. （本小题满分 10 分）选修4— 5
：不等式选讲若
（Ⅰ）求
3 3
a b
的最小值；
6
？并说明理由.（Ⅱ）是否存在
a,b
，使得
2a 3b
***
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