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数学的浪漫2014年天津市高考数学试卷答案与解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-11-21 23:13
tags:高考, 高中教育

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2020年11月21日发(作者:齐抗)
2014年天津市高考数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题(共8小题,每小题5分)

1.(5分)(2014?天津)i是虚数单位,复数

=( )

A.

1﹣i

B.

﹣1+i

C.

+i

+i

D.



点:

复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有


题:

数系的扩充和复数.


析:

将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i,即求出值.


答:

解:复数
故选A.

==,


评:

本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义,属于基础题.

2.(5分)(2014?天津)设变量x,y满足约束条件
的最小值为( )


,则目标函数z=x+2y
A.

2

B.

3

C.

4

D.

5


点:

简单线性规划.菁优网版权所有


题:

不等式的解法及应用.

分作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大
析:

值.


答:

解:作出不等式对应的平面区域,

由z=x+2y,得y=﹣
平移直线y=﹣



经过点B (1,1)时,直线y=,由图象可知当直线y=﹣
的截距最小,此时z最小.

此时z的最小值为z=1+2×1=3,

故选:B.

点本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方
评:

法.

3.(5分)(2014?天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为( )


A.

15

B.

105

C.

245

D.

945


点:

程序框图.菁优网版权所有


题:

算法和程序框图.

分算法的功能是求S=1×3 ×5×…×(2i+1)的值,根据条件确定跳出循环的i
析:

值,计算输出S的值.


答:

解:由程序框图知:算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,

∵跳出循环的i值为4,

∴输出S=1×3×5×7=105.

故选:B.

点本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解
评:

答本题的关键.

4.(5分)(2014?天津)函数f(x)=log(x
2
﹣4)的单调递增区间为( )


A.

(0,+∞)

B.

(﹣∞,0)

C.

(2,+∞)

D.

(﹣∞,﹣2)


点:

复合函数的单调性.菁优网版权所有


题:

函数的性质及应用.

分令t=x
2
﹣4>0,求得函数f(x)的 定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),且
t.根据复合函数的单调性,本题即求函数t在(﹣
析:

函数f(x)=g(t)=log
∞,﹣2)∪(2,+∞) 上的减区间.再利用二次函数的性质可得,函数t在
(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 上的减区间.


答:

解:令t=x
2
﹣4>0,可得 x>2,或 x<﹣2,

故函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),

当x∈(﹣∞,﹣2)时,t随x的增大而减小,y=logt随t的减小而增大,

所以y=log
递增.

(x
2
﹣4)随x的增大而增大, 即f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调
故选:D.

点本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,
评:

属于中档题.

5.(5分)(2014?天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0 )的一条渐近线平行于直
线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )


A.



=1

B.

﹣=1

C.

﹣=1

D.

﹣=1


点:

双曲线的标准方程.菁优网版权所有


题:

圆锥曲线的定义、性质与方程.


析:

先求出焦点坐标 ,利用双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直
线l:y=2x+10,可得=2,结合 c
2
=a
2
+b
2
,求出a,b,即可求出双曲线的方程.


答:

解:∵双曲线的一个焦点在直线l上,

令y=0,可得x=﹣5,即焦点坐标为(﹣5,0),∴c=5,

∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,

∴=2,

∵c
2
=a
2
+b
2


∴a
2
=5,b
2
=20,

∴双曲线的方程为﹣=1.

故选:A.


评:

本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题.

6.(5分)( 2014?天津)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点
D,交BC于E,过点 B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下
列四个结论:

①BD平分∠CBF;

②FB
2
=FD?FA;

③AE?CE=BE?DE;

④AF?BD=AB?BF.

所有正确结论的序号是( )


A.

①②

B.

③④

C.

①②③

D.

①②④

考与圆有关的比例线段;命题的真假判断与应用.菁优网版权所有

点:

专直线与圆.

题:

分本题利用角与弧的关系,得到角相等,再利用角相等推导出三角形相似,得到
析:

边成比例,即可选出本题的选项.

解解:∵圆周角∠DBC对应劣弧CD,圆周角∠DAC对应劣弧CD,

答:

∴∠DBC=∠DAC.

∵弦切角∠FBD对应劣弧BD,圆周角∠BAD对应劣弧BD,

∴∠FBD=∠BAF.

∵AD是∠BAC的平分线,

∴∠BAF=∠DAC.

∴∠DBC=∠FBD.即BD平分∠CBF.即结论①正确.

又由∠FBD=∠FAB,∠BFD=∠AFB,得△FBD~△FAB.



,FB
2
=FD?FA.即结论②成立.

,得AF?BD=AB?BF.即结论④成立.

正确结论有①②④.

故答案为D

点本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系,还考查了三角形相似的知识,本题总
评:

体难度不大,属于基础题.

7.(5分)(2014?天津)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )


A.

充分不必要条件


B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分又不必要条件


点:

必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有


题:

简易逻辑.

分根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结
析:

论.


答:

解:若a>b,

①a> b≥0,不等式a|a|>b|b|等价为a?a>b?b,此时成立.|①a>b≥0,不
等式a|a |>b|b|等价为a?a>b?b,此时成立.|①a>b≥0,不等式a|a|>
b|b|等价为a ?a>b?b,此时成立.|①a>b≥0,不等式a|a|>b|b|等价为a?a
>b?b,此时成 立.|①a>b≥0,不等式a|a|>b|b|等价为a?a>b?b,此时成
立.

②0>a>b,不等式a|a|>b|b|等价为﹣a?a>﹣b?b,即a|②0>a>b,不等
式 a|a|>b|b|等价为﹣a?a>﹣b?b,即a|②0>a>b,不等式a|a|>b|b|等价
为﹣a?a>﹣b?b,即a|②0>a>b,不等式a|a|>b|b|等价为﹣a?a>﹣b?b,
即a|②0>a>b,不等式a|a|>b|b|等价为﹣a?a>﹣b?b,即a
2
<b2
,此时成
立.

③a≥0>b,不等式a|a|>b|b|等价为a? a>﹣b?b,即a|③a≥0>b,不等式
a|a|>b|b|等价为a?a>﹣b?b,即a|③a ≥0>b,不等式a|a|>b|b|等价为
a?a>﹣b?b,即a|③a≥0>b,不等式a|a| >b|b|等价为a?a>﹣b?b,即
a|③a≥0>b,不等式a|a|>b|b|等价为a?a> ﹣b?b,即a
2
>﹣b
2
,此时成
立,即充分性成立.

若a|a|>b|b|,

①当a>0,b>0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得 ,(a﹣b)(a+b)>0,因为a+b
>0,所以a﹣b>0,即a>b.

②当a>0,b<0时,a>b.

③当a<0,b<0时,a|a|>b|b|去掉 绝对值得,(a﹣b)(a+b)<0,因为a+b
<0,所以a﹣b>0,即a>b.即必要性成立,

综上“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,

故选:C.

点本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的性质 结合分类讨论
评:

是解决本题的关键.

8.(5分)(2014 ?天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在
边BC、DC上,=λ, =μ,若?=1,?=﹣,则λ+μ=( )


A.

B.

C.

D.


点:

平面向量数量积的运算.菁优网版权所有


题:

平面向量及应用.

分利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义由
析:

?=1,求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①;再由?=﹣,求得﹣λ﹣μ+λμ=
﹣ ②.结合①②求得λ+μ的值.


答:

解:由题意可得若?=( +)?(+)=
=2×2×cos120°++λ?+λ?μ=﹣
+++

2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°

=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1,

∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①.

?=﹣?(﹣)=

=(1﹣λ)?(1﹣μ)=(1﹣λ)?(1﹣μ)
= (1﹣λ)(1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ)(﹣2)=﹣,

即﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②.

由①②求得λ+μ=,

故答案为:.

点本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积
评:

的定义,属于中档题.

二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)

9.(5分)(2014?天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,
拟 采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进
行调查,已知该校一年 级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:
6,则应从一年级本科生中抽取 60 名学生.


点:

分层抽样方法.菁优网版权所有


题:

概率与统计.

分先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例,再用样本容量乘以该比
析:

列,即为所求.


答:

解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为
=,

故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60,

故答案为:60.

点本题主要考查分层抽样的定义和方法,利用了总体中各层的个体数之比等于
评:

样本中对应各层的样本数之比,属于基础题.

10.(5分)(2014?天津)一 个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的
体积为 m
3



点:

由三视图求面积、体积.菁优网版权所有


题:

立体几何.

分几何体是圆锥与圆柱的组合体,判断圆柱与圆锥的高及底面半径,代入圆锥
析:

与圆柱的体积公式计算.


答:

解:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体,

其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2,底面直径为4,

∴几何体的体积 V=π×1
2
×4+×π×2
2
×2=4π+π=π.

故答案为:.

点本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据
评:

所对应的几何量是解题的关键.

11.(5分)(2014?天津)设{a
n
}是首项为a
1
,公差为﹣1的等差数列,S
n
为其前n项
和,若S
1
,S
2
,S
4
成等比数列,则a
1< br>的值为 ﹣ .


点:

等比数列的性质.菁优网版权所有


题:

等差数列与等比数列.


析:

由条件求得,S
n
=,再根据S
1
,S
2
,S
4
成等比数列,可得
=S
1
?S
4
,由此求得a
1
的值.


答:

解:由题意可得,a
n
=a
1
+ (n﹣1)(﹣1)=a
1
+1﹣n,
S
n
==,

再根据若S
1
,S
2
,S
4
成等比数列,可得
6),

解得 a
1
=﹣,

故答案为:﹣.

=S
1
?S
4
,即 =a
1
?(4a
1

点本题主要考查等差数列的前n项和公式,等比数列的定义 和性质,属于中档
评:

题.

12.(5分)(2014?天津) 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知
b﹣c=a,2sinB=3sinC ,则cosA的值为 ﹣ .


点:

余弦定理;正弦定理.菁优网版权所有


题:

解三角形.


析:

由条件利用正弦定理求得a=2c,b=,再由余弦定理求得cosA=
值.



答:

解:在△ABC中,

∵b﹣c=a ①,2sinB=3sinC,

∴2b=3c ②,

∴由①②可得a=2c,b=.

再由余弦定理可得 cosA=
故答案为:﹣.

==﹣,


评:

本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.

13.(5分)(2014 ?天津)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a
相交于A、B两点,若△ AOB是等边三角形,则a的值为 3 .


点:

简单曲线的极坐标方程.菁优网版权所有

专坐标系和参数方程.

题:

分把极坐标方程化为直角坐标方程,求出B的坐标的值,代入x
2+(y﹣2)
2
=4,
析:

可得a的值.


答:

解:直线ρsinθ=a即y=a,(a>0),曲线ρ=4sinθ,

即ρ
2
=4ρsinθ,即x
2
+(y﹣2)
2
=4,表示以C(0, 2)为圆心,以2为半径
的圆,

∵△AOB是等边三角形,∴B(
代入x< br>2
+(y﹣2)
2
=4,可得(
∵a>0,∴a=3.

故答案为:3.

a,a),

a)
2
+(a﹣2)
2
=4,

点本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系,求
评:

出B的坐标是解题的关键,属于基础题.

14.(5分)(2014?天津)已知函 数f(x)=|x|14.(5分)(2014?天津)已知函数f
(x)=|x
2
+ 3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数
a的取值范围为 (0,1)∪(9,+∞) .


点:

根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有

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