考研二战数学2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)(附详细答案)

2020年11月21日发(作者：杭星海)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1 ．（5分）
A．1+i
=（）
B．1﹣iC．﹣1+i
（新课标Ⅰ）
D．﹣1﹣i
2．（5分）已知集合A={x|x
﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2 }，则A∩B=（
A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]
2< br>）
3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是< br>偶函数，则下列结论正确的是（
A．f（x）?g（x）是偶函数
C．f（x）?|g（ x）|是奇函数
2
）
B．|f（x）|?g（x）是奇函数
D．|f（x）? g（x）|是奇函数
2
﹣my
4．（5分）已知F为双曲线C：x=3m（m＞0）的 一个焦点，则点F到C的
一条渐近线的距离为（
A．B．3
）
C．mD．3m
5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、
周日都有同学 参加公益活动的概率为（
A．B．C．
）
D．
6．（5分）如图，圆O的半径 为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的
始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA 的垂线，垂足为M，将点
M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的 图象大致
为（）
第1页（共28页）
A．B．
C．
7．（5分）执行 如图的程序框图，若输入的
M=（）
D．
a，b，k分别为1，2，3，则输出的A．B．
），β∈（0，
C．
），且tanα＝
C．2α﹣β＝
D．
，则（
D．2α+β＝
）8．（5分）设α∈（0，
A．3α﹣β＝9．（5分）不等式组
B．3α+β＝
的解集记为D，有下列四个命题：
p
1
：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p
2
：?（x，y）∈D，x+2y≥2
p
3
：?（x，y）∈D，x+2y≤3p
4
：?（x，y）∈D， x+2y≤﹣1
其中真命题是（
A．p
2
，p
3
）
B．p
1
，p
4
C．p
1
，p
2
第2页（ 共28页）
D．p
1
，p
3
10．（5分）已知抛物线C：y=8x 的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直
线PF与C的一个交点，若
A．B．3
=4，则|QF|=（
C．
）
D．2
2
32
11．（5分） 已知函数f（x）=ax
﹣3x+1，若f（x）存在唯一的零点x
0
，且x
0
＞0，
则实数a的取值范围是（
A．（1，+∞）
）
C．（﹣∞， ﹣1）D．（﹣∞，﹣2）
1，粗实线画出的是某多面体的三
）
B．（2，+∞）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为
视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 （
A．6B．6C．4D．4
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）（ x﹣y）（x+y）
的展开式中x
y
的系数为
14．（5分）甲、乙、丙三位 同学被问到是否去过
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过
乙说：我没去过C城市；
丙 说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为．
=（+），则与的夹
B城市 ；
827
．（用数字填写答案）
A，B，C三个城市时，
15．（5分）已知 A，B，C为圆O上的三点，若
角为．
16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内 角A，B，C的对边，a=2且（2+b）
（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC 面积的最大值为．
第3页（共28页）
三、解答题
17．（12分）已知数列{an
}的前n项和为S
n
，a
1
=1，a
n
≠0 ，a
n
a
n
+
1
=λＳ
n
﹣1，其中λ为常数．
（Ⅰ）证明：a
n
+
2
﹣a
n
=λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{a
n
}为等差数列？并说明理由．
18．（12分 ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量
指标值，由测量结果得如下频率分 布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数
用该组区间的中点值作代表）；< br>（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值
其中μ近似为样本平均数
2
和 样本方差s
2
（同一组中数据
Z服从正态分布N（μ，σ），
2
2< br>，σ近似为样本方差s．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指
标值位于区间（ 187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：≈12.2．
2若Z～N（μ，σ）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9 544．
第4页（共28页）
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，侧面BB
1
C
1
C为菱形，A B⊥B
1
C．
（Ⅰ）证明：AC=AB
1
；
（Ⅱ）若AC⊥ AB
1
，∠CBB
1
=60°，AB=BC，求二面角A﹣A
1B
1
﹣C
1
的余弦值．
20．（12分）已知点A（0，﹣2） ，椭圆E：
F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为
（Ⅰ）求E的方程；
+=1（a＞b ＞0）的离心率为，
，O为坐标原点．
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△O PQ的面积最大时，求l
的方程．
21．（12分）设函数f（x）=aelnx+
切 线方程为y=e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
x< br>，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得
第5页（共28页）
选修4-1：几何证 明选讲
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延
长线交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD 的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等
边三角形．
选修4-4：坐标系与参数方程< br>23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通 方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最
大值与最小值．
选修4-5：不等式选讲
24．若a＞0，b＞0，且
33
+ =．
（Ⅰ）求a+b的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．< br>第6页（共28页）
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与 试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．（5分）
A．1+i
= （）
B．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
【考点】A5：复数的运算．
【专题】5N ：数系的扩充和复数．
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位
算求得结果．
【解答】解：
故选：D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位
属于基础题．
i的幂运算性质，
==﹣（1+i）=﹣1﹣i，
i的幂运算性 质，计
2．（5分）已知集合A={x|x
﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则 A∩B=（
A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]
2
）
【考点】1E：交集及其运算．
【专题】5J：集合．
【分析】求出A中不等式的解 集确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，
解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），
∵B=[﹣2，2），第7页（共28页）
∴A∩B=[﹣2，﹣1]．
故选：D．
【点评】此题考查了 交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域 都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是
偶函数，则下列结论正确的是（
A．f（x）?g（ x）是偶函数
C．f（x）?|g（x）|是奇函数
）
B．|f（x）|?g（x）是 奇函数
D．|f（x）?g（x）|是奇函数
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【解答】 解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），< br>f（﹣x）?g（﹣x）=﹣f（x）?g（x），故函数是奇函数，故A错误，
|f（﹣x）| ?g（﹣x）=|f（x）|?g（x）为偶函数，故B错误，
f（﹣x）?|g（﹣x）|=﹣f（x ）?|g（x）|是奇函数，故C正确．
|f（﹣x）?g（﹣x）|=|f（x）?g（x）|为偶函 数，故D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是 解决本题的
关键．
4．（5分）已知F为双曲线C：x
﹣my
=3m（m＞0 ）的一个焦点，则点F到C的
一条渐近线的距离为（
A．B．3
）
C．mD． 3m
22
【考点】KC：双曲线的性质．
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定 义、性质与方程．
【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到
第8页（共28页）
直线的距离公式，可得结论．
【解答】解：双曲线C：x﹣my
=3m（m＞0）可化为
∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为
=．
=0，
22
，
∴点F到C的一条渐近线的距离为
故选：A．
【点评】本题考查双曲 线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天 中任选一天参加公益活动，则周六、
周日都有同学参加公益活动的概率为（
A．B．C．
）
D．
【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．
【专题】11：计算题；5 I：概率与统计．
【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、
周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．
【解答】解：4位同学各自在周 六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有2
=16
种情况，
周六、周日都有同学参 加公益活动，共有
∴所求概率为
故选：D．
【点评】本题考查古典概型，是一个古典概 型与排列组合结合的问题，
要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件
个数和试验中 基本事件的总数．
解题时先
=．
2﹣2=16﹣2=14种情况，
4
4
A包含的基本事件的
6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点 ，角x的
始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点
M到直 线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致
第9页（共28页）< br>为（）
A．B．
C．D．
【考点】3P：抽象函数及其应用．
【专题】 57：三角函数的图像与性质．
【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根 据直角
三角形的锐角三角函数的定义即可得到
期和最值，结合图象正确选择．
【解答】 解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距 离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|
=|cosx|?|sinx|=|sin2x|，其周期为T=
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，
关键，同 时考查二倍角公式的运用．
正确表示函数的表达式是解题的
，最大值为，最小值为0，
f（x）的表达式，然后化简，分析周
7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的
M=（）< br>a，b，k分别为1，2，3，则输出的
第10页（共28页）
A．B．C．D．
【考点】EF：程序框图．
【专题】5I：概率与统计．
【分析】根据框图的流程模拟运行程 序，直到不满足条件，计算输出
【解答】解：由程序框图知：第一次循环
M的值．
M= 1+=，a=2，b=，n=2；
第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；
第三次循环M =+=，a=，b=，n=4．
．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=
故选：D．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，
解答此类问题的常用方法．
根据框图的流程模 拟运行程序是
8．（5分）设α∈（0，
A．3α﹣β＝
），β∈（0，），且tan α＝
C．2α﹣β＝
，则（
D．2α+β＝
）
B．3α+β＝
第11页（共28页）
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】56：三角 函数的求值．
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系
可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．
【解答】 解：由tanα＝
，
即sinαcosβ=cosα+cossinβα，
sin（α ﹣β）=cosα=sin（
∵α∈（0，
∴当
故选：C．
【点评】本题考查 三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，
是基础题．
），β∈（0，），
），
）=cosα成立．
，得：
时，sin（α﹣β）=sin（< br>9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：
p
1
：?（x，y）∈ D，x+2y≥﹣2 p
2
：?（x，y）∈D，x+2y≥2
p
3
：?（x，y）∈D，x+2y≤3p
4
：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真 命题是（
A．p
2
，p
3
）
B．p
1
，p
4
C．p
1
，p
2
D．p
1
，p
3
【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．
【专题】59： 不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】作出不等式组
【解答】解：作出图形如下：< br>的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．
第12页（共28页）
由图知，区域D为直 线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，
p
1
：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；
p
2
：在直线x+2y= 2的右上方和区域D重叠的区域内，?（x，y）∈D，x+2y≥2，
故p
2
：?（ x，y）∈D，x+2y≥2正确；
p
3
：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3 的上方，因此p
3
：?（x，y）∈D，x+2y
≤3错误；
p
4< br>：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域
∈D，x+2y≤﹣1错误；
综 上所述，p
1
、p
2
正确；
故选：C．
【点评】本题考查命 题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确
分析是关键，属于难题．
D下方，故 p
4
：?（x，y）
10．（5分）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线为l， P是l上一点，Q是直
线PF与C的一个交点，若
A．B．3
=4，则|QF|=（< br>C．
）
D．2
2
【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】11 ：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得直线PF的方程，与y
=8x联 立可得x=1，利用|QF|=d可求．
【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，
第13页（共28页）
2
∵=4，
∴|PQ|=3d，
∴不妨设直线PF的斜 率为﹣
∵F（2，0），
∴直线PF的方程为y=﹣2
与y
2
=8x 联立可得x=1，
∴|QF|=d=1+2=3，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线 的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础
题．
（x﹣2），
=﹣2，11．（5分）已知函数f（x）=ax
﹣3x+1，若f（x）存在唯一的零点x
0，且x
0
＞0，
则实数a的取值范围是（
A．（1，+∞）
）< br>C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）
32
B．（2，+∞）
【考点】53： 函数的零点与方程根的关系．
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用 ．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函
数的零点的个数及位置即可．
【解答】解：∵f（x）=ax
3
﹣3x
2
+1，
∴f′（x）=3ax﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a =0时，f（x）=﹣3x
2
+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=a x
3
﹣3x
2
+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0 时，f（x）=ax﹣3x+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax﹣3x+1在（ ﹣∞，0）上没有零点；
而当x=时，f（x）=ax﹣3x+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（）=﹣3?+1＞0；
第14页（共28页）
32
32
32
2
2