芳龄永继：环形跑道问题(20201010001636)

2020年11月21日发(作者：池宇峰)

第七讲环形跑道问题
知识点总结
基本公式：路程=速度
X
时间；路程十时间=速度；路程十速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题（相向）：相遇时间
二
路程和十速度和
追及问题（同向）：追及时间=路程差*速度差
注：不只是追及问题中我们用路程差宁速度差 =追及时间，实际在很多两人 同
时行进一段时间，不同的速度必然会造成路程不同，我们都可以用这个公式： 路程差
*速度差= 所行时间。
环形跑道问题， 从同一地点出发， 如果是相向而行， 则每相遇一次合走一圈 （每
隔第一次相遇时间就相遇一次） ；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则 每
多跑一圈就追上一次（ 每隔第一次追及时间就追上一次） ．第几次追上就多跑 几
圈。 这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
二．
做题方法：
（ 1）审题：看题目 有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间” 就是从
此时开始计时， “多长时间 后”就是从开始计时
看地点是指是同地还是两地甚至更多。 看方向是同向、背向还是相向
看事件指的是结果是相遇还是追及
相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点， 准确找到相遇地点对我们解题有 很
大帮助， 一些是题目中直接给出在哪里相遇， 有些则需要我们自己根据两人速 度来
判断。
追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差。比如“用 10 秒钟
快比慢多跑 100 米”我们立刻知道快慢的速度差。 这个是追击问题经常用到 的，同
过路程差求速度差
（ 2）简单题利用公式
（ 3）复杂题，尤其是多人多次相遇， 一定要画路径图 ，即怎么走的线路画出
来。 相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差
三． 例题解析
1. 直接利用公式型
竞赛班例题 1（尖子班例题 1）：在 300 米的环形跑道上，如果同向而跑
快者 2分 30秒追上慢者，如果背向而跑两者半分钟相遇， 求两人的速度。
解析：
注意如果题目没有第几次追上或相遇，都默认为是第一次追上或相遇。
“第几次追上就多跑几圈” ，快者第一次追上慢者，就是比慢者多 跑


一圈，即用 2分 30秒比慢者多跑 300米，
那么快比慢1秒钟多跑（速度差）：300- 150=2米
“第几次相遇就合跑几圈” ，第一次相遇就合跑一圈，即用半分钟合跑 300
米，1秒钟两人合跑（速度和）：300- 30=10米
慢者：（10-2）- 2=4米
秒
快者： 4+2=6米
／秒
和差算法”：小的数=（和-差）十2 大
的数=（和+差）十2
竞赛班学案 1 ：在环形跑道上，两人背靠背跑，每隔 4 分钟相遇一次：同向跑每 隔
20分钟相遇一次，已知环形跑道周长 1600米，求两人的速度？
解析：两人速度差1600-20=80米
分
两人速度和1600
十4=400米
分
慢者：（400-80）- 2=160 米
分
快者： 160+80=240米
分
竞赛班例题 3：幸福村小学有一条长 200 米的环形跑道，铮铮和包包同时从起跑 线
起跑， 铮铮每秒钟跑 6 米，包包每秒钟跑 4 米，问铮铮第一次追上包包时两人 各
跑多少米，第 2 次追上包包时两人各跑多少圈？
解析：
（1） 铮铮第一次追上包包，总共比包包多跑一圈，而 1 秒钟铮铮比包包多
跑6-4=2米，那么得有多少秒能多跑一圈 200你呢？ 200-（ 6-4） =100秒 注：熟
了之后直接用公式路程差十速度差 =所行时间
铮铮：6
X
100=600米
包包：4
X
100=400米或 600-200=400 米
（2） 笨方法：铮铮第二次追上包包，总共比包包多跑二圈，而 1 秒钟铮铮
比包包多跑 6-4=2 米，那么得有多少秒能多跑二圈 400你呢？ 400-（6-4） =200
秒。铮铮：6
X
200=1200米 1200 -200=6 圈
包包： 4
X
200=800米 800 -200=4圈
聪明方法：第一问求出铮铮第一次追上包包时两人的路程，
直接铮铮： 600-200=3圈 3
X
2=6圈
包包： 6-2=4 圈
竞赛班例题 2（尖子班例题 2）：环形公路长 2400米，铮铮和微微同时从同一地
点出发， 微微骑一圈需要 10分钟， 如果第一次相遇时微微骑了 1440米。问铮铮
骑一圈的时间？再过多久他们第二次相遇？
解析： （1）微微骑一圈需要 10分钟，可知微微的速度 2400- 1 0=240米
分
第一
次相遇时微微骑了 1440米，可知相遇时间 1440-240=6分钟 第一次相遇时
两人合跑一圈 2400米，铮铮骑 2400-1440=960米 铮铮速度 960-6=160米
分
铮铮骑一圈的时间 2400- 1 60=1 5分钟
（ 2）“再过多久”，指从第一次相遇开始计时，每隔 6 分钟相遇一次。所以
答案还是 6
竞赛班学案 2：黑白两只猫在周长为 300 米的环形跑道上赛跑，黑猫的速度 是
每秒 5 米，白猫的速度是每秒 7米，两只猫从同一地点背向出发， 经过多少秒 第


一次相遇？在 2 分钟内共相遇几次？
解析：第一次相遇，合跑一圈 300米，时间300- （5+7） =25秒
每隔25秒相遇一次，2
X
60-25=4次 ...... 20秒
2.
“陷阱题” - 出发点不是同起点，注意题目中的时间是从
哪开始计时的，尤其注意“再，又过多长时间”和“多长时间后”
竞
赛班例题 5：在 400 米的环形跑道上，甲乙两人分别从 A， B 两点同时出 发，同
向而行。 4 分钟后甲第一次追上乙，又经过 10 分钟甲第二次追上乙。甲 的速度是
每秒 3 米，乙的速度是多少？求 A， B 两地相距多少米？
解析：
“又经过 10 分钟”指的是从一次追上开始计时到第二次， 在这 10分钟甲比
乙多跑一圈400米，得知甲一分钟比乙多跑（速度差） 40010=40米

分
甲的速度3
X
60=180米

分
AB的距离就是甲第一次追上乙比乙多跑的路程： 4
X
40=160米
尖子班例题 5：微微铮铮在 400米的环形跑道上，微微以 300米

分的速度 从
起点跑出， 1 分钟后，铮铮从起点同向跑出，又经过 5 分钟，微微追上铮铮。 问铮
铮的速度？再过多少分钟才能第二次追上铮铮？
解析：
1 分钟后微微跑出 1
X
300=300米，而跑道才 400米，所以微微在铮铮后面
100 米处。
两人速度差100-5=20米

分 微微第二次追上铮铮，比他多跑一圈 400米，一分
钟多跑 20米， 所以400-20=20分钟
尖子班例题 4：甲乙两人在 400米操场上比赛，两人同时出发，出发时甲在 乙
后面，出发后 6分钟甲第一次超过乙， 22分钟后甲第二次超过乙，出发时甲 在乙
后面多少米？
解析：
“22 分钟后”指从出发时开始计时，从第一次甲超过乙开始计时到第二次 用的
时间 22-6=16分钟，这段时间甲比乙多跑一圈 400米，那么甲一分钟比乙多 跑的
（速度差）400 - 16=25米

分
甲在乙后面： 25
X
6=150米
2.
利用合走全程求个人路程
竞赛例题4:有一个圆，两只小虫分别从直径的两端 A和C同时出发，绕圆周相 向而
行。他们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点6厘米 处的D
点，问这个圆周的周长？
解析：


合走半个圆周，A虫走8厘米。那么合走一个圆周，A虫走8
X
2=16厘米。即
BC+6=16所以BC=16-6=10厘米，半个圆周=8+10=18厘米，
一个圆周为 18
X
2=36厘米
尖子班例题6:
A， B是圆的直径的两端，小张在 A点，小王在B点同时出发反向 而
行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D离B 有
60 米，求这个圆的周长。
解法同理，自己练习一下啊！
2.
复杂题 -- 分段分析
竞赛班例题 6：学校操场的 400 米跑道中套着 300 米小跑道，大跑道与小跑道有
200米路程想重，甲以每秒 6米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒 4米的 速
度沿小跑道顺时针跑，两人同时从跑道的交点 A出发，当他们第二次相遇时， 甲共
跑多少米？
解析：
甲乙只可能在大跑道的右侧相遇
当甲到B点时
，
乙还没到B点，所以第一次相遇在 C点，两人合跑一个大跑道
400- (6+4)=40 秒，C离 B 的距离：6
X
40-200=40 米。
当乙从C到A点时，(100+40)十4=35秒，甲从C点走的路程6
X
35=210米,C
到A的距离是200-40=160米，所以甲已经在A点的左侧D点，
D离A的距离210-160=50米
当甲从D点出发，乙从A点出发，两人在大跑道的右侧第二次相遇，
合跑的路程 400-50=350 米，350- (6+4)=35 秒
甲在这三段总共跑的时间 40+35+35=110秒
甲共跑 6
X
110=660米 竞赛班学案 4：一个环形跑道甲乙两人分别从 A,B 两点同时
出发，反向而行。 6 分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B点，又经过8分钟两人再
次相遇，甲乙两 人跑一周各需要多长时间？
解析：


乙从B出发到再次相遇点，乙用了 6+4+8=18分钟，
由图甲 4 分钟走的路程 =乙 6 分钟走的路程。
甲从再次相遇点到B点用的时间4
X(
18-6) =12分钟 甲走一圈时间 8+12=20分钟
乙走一圈时间6
X(
20-4) =30分钟