march是几月：小四数学第10讲：环形跑道(教师版)

2020年11月21日发(作者：姚学乾)
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第10讲 环形跑道










1.环形跑道——追及问题。
同时同地同向而行，甲、乙双方在同一环形跑道，以不同的速度，乙何时能够追上甲。
（甲的速度<乙的速度）
等量关系：
追上1次，甲所用时间=乙所用时间；甲的路程+1个环形跑道的长度=乙的路程。
追上n次，甲所用时间=乙所用时间；甲的路程+n个环形跑道的长度=乙的路程。
2.环形跑道——相遇问题。
同时同地相向而行，甲、乙双方在同一环形跑道，以一定的速度 ，甲、乙双方何时相遇。
（甲、乙速度可以相同，也可以不同）
等量关系：
相遇1次，甲所用时间=乙所用时间；甲的路程+乙的路程=1个环形跑道的长度。
相遇n次，甲所用时间=乙所用时间；甲的路程+乙的路程=n个环形跑道的长度。
3.经典公式。
路程＝速度×时间
同时同地出发：反向 每相遇一次，合走一圈 路程和＝速度和×相遇时间
同向 每追上一次，多走一圈 路程差＝速度差×追及时间


第一，环形跑道问题中，对速度、时间、路程之间关系的处理；
第二，多次追及、相遇问题的处理；
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第三，不同地点出发问题的处理；
第四，利用线段图加强对问题的理解。

例1.一个圆形跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行，黄英每分钟走66米， 欣
欣每分钟走59米，经过几分钟才能相遇？
考点：环形跑道相遇问题
分析：此题 属于环形跑道问题中的相遇问题，同时同地背向而行，也可以理解为她们二人在
一条长为500米的线段 两端，相向而行，用路程除以她们的速度之和就是所需要的时间。
解答：500÷（66+59）=4（秒）
点评：考察环形跑道的相遇问题，关键是知道两个学生的时间是一致的
例2.小张和小玉各以 一定的速度，在周长为500米的环形跑道上跑步，小玉的速度是200
米分。（1）小张和小玉同时同 地出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度
是多少米分？（2）小张和小玉同时同地出发 ，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能再次遇
上小玉？
考点：环形跑道的多次相遇问题 分析：（1）小张和小玉同时同地，反向跑步，用路程除以时间，就是他们二人的速度之和，
再减去 小玉的速度就是小张的速度。（2）根据第（1）题，可以知道小张的速度，通过计算
我们可以发现，小 张的速度比小玉快，如果小张想再次和小玉相遇，那么就需要比小玉多跑
一圈，因此只要用小张减去小玉 的速度，然后去除一圈的长度（500米），就可以求出所需
要的时间，再用这个时间去乘小张的速度就 可以求出小张所跑的路程，用路程除以一圈的长
度就可以就求出小张跑了几圈。
解答：（1） 500÷1=500（米分），500-200=300（米分）；（2）500÷（300-200）=5（分 ），
300×5÷500=3（圈）
点评：此题的理解难度较大，要正确理解再次相遇隐含的数学条件
例3.黑白两只小猫在周长 为400米的湖边赛跑，黑猫的速度是9米秒，白猫的速度是11
米秒，若两只小猫同时同地出发，背向 而行。（1）多少秒后两只小猫第一次相遇？（2）
如果他们继续不停的跑下去，2分钟内他们一共相遇 几次？
考点：环形跑道的多次相遇问题
分析：（1）用路程÷它们的速度之和，就是它们第 一次相遇的时间；（2）想知道它们2
分钟内相遇几次，只需要看它们2分钟内共跑了几圈就可以了。也 可以用2分钟除以第一次
相遇所用的时间，就可以知道它们共相遇几次。
解答：（1）400 ÷（11+9）=20（秒）；（2）2分=120秒，120÷20=6，它们共相遇6次。
点评：考察环形跑道的相遇问题
例4.小明、小雅在环形跑道上跑步 ，两人同时同地出发， 小明每秒跑3米，小雅每秒跑4
米，反向而行，45秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇 ？
考点：相遇问题和追及问题的结合
分析：小明和小雅的速度已知，又知道他们反向而行相 遇的时间，根据公式，周长=他们的
速度和×时间，可以求出跑道的周长。知道跑道的周长，根据公式， 用周长除以他们的速度
差，即可求出他们相遇的时间。
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解答：（3+4）×45=315（米），315÷（4-3）=315（秒）。
点评：解决问题的关键是要求出跑道的周长
例5.在300米的环形跑道上，小刚和小胖同时 同地起跑，如果同向而跑，2分30秒后小刚
第一次从后面追上小胖，如果背向而跑则半分钟相遇，求两 人的速度各是多少？
考点：相遇问题和追及问题的结合
分析：同时同地同向跑，2分30秒 后小刚第一次从后面追上小胖，那么可以求出他们的速
度差，背向跑半分钟后相遇，则可以求出他们的速 度和，用速度和减去速度差，便可以得到
2个小刚的速度，再除以2就是小刚的速度，用他们的速度和减 去小刚的速度，就是小胖的
速度。
解答：2分30秒=150秒，半分钟=30秒，他们的速 度差：300÷150=2（米秒），他们的速
度和：300÷30=10（米秒），小刚的速度：（1 0+2）÷2=6（米秒），小胖的速度：6-2=4
（米秒）。
点评：两速度的和差问题

A
1.乌龟和小白兔在动物乐园的运动场上进行春季赛跑，运动场的周长是400 米，小白兔的速
度是每分钟60米，乌龟的速度是每分钟20米，它们同时同地同向出发，多少分钟以后 小白
兔再次遇上乌龟？
考点：同时同地同向的追及问题
分析：根据公式，小白兔追上乌龟的时间=周长÷它们的速度差。
解答：400÷（60-20）=10（秒）
点评：掌握追及问题的公式
2.赛马 场上黑马的速度是10米秒，白马的速度是12米秒，它们在周长为1000米的圆形
赛场上比赛，同时 同地同向出发，多久之后，白马从后面追上黑马？追上黑马时，白马和黑
马各跑了多少米？
考点：同时同地同向的追及问题
分析：根据公式，白马从后面追上黑马所需的时间=赛马场跑 道的周长÷白马和黑马的速度
差。白马和黑马跑的路程等于它们各自的速度与跑的时间的积。
解答：白马从后面追上黑马的时间：1000÷（12-10）=500（秒）；追上黑马时，白马跑的
路程：12×500=6000（米），黑马跑的路程：10×500=5000（米）。
点评：掌握追及问题的公式

B

3.甲、乙两个机器人沿一周 长600米的环形跑道均速前进，甲走一圈12分钟，乙走一圈6
分钟，他们同时同地同向出发，甲走4 圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时都要击
掌一次。问第15次击掌时，甲走多长时间，乙走多 少路程？
考点：综合的环形跑道问题
分析：对于甲，本题需要分两部分计算，第一部分：甲 先走了4圈，即走了12×4=48（分）；
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第二部分：后甲 反方向走，共与乙相遇了15次，已知跑道周长是600米，甲12分钟走一圈，
乙6分钟走一圈，故可 以求出他们的速度，因为甲走了4圈时，乙走了48÷6=8（圈），因
此这时他们都在起点处，根据公 式，周长÷他们的速度和，可以求出他们相遇一次的时间。
甲走的时间=48分钟+他们相遇一次的时间 ×15。
因为甲、乙二人走的时间相同，因此，乙的路程=乙的速度×甲走的时间。
解答：甲走的时间：12×4=48（分），600÷12=50（米分），600÷6=100（米分）,6 00÷
（50+100）=4（分），48+4×15=108（分）；乙走的路程：100×108= 10800（米）。
点评：准确分析题意，关键要知道一次击掌的时间
4.佳佳和海海在周 长为400米的环形跑道上进行万米长跑。佳佳的速度是40米分，海海的
速度是60米分。（1）佳和 海海同时从同一地点出发反向跑步，两人几分钟后第一次相遇？
再过几分钟后两人第二次相遇？（2）佳 佳和海海同时从同一地点出发，同一方向跑步，海
海跑几分钟能第一次追上佳佳？再过几分钟能第二次追 上佳佳？
考点：环形跑道的相遇和追及问题
分析：（1）根据公式，同时同地反向出发，相 遇一次的时间=跑道的周长÷他们的速度和，
求第二次相遇的时间，用他们相遇一次的时间×2即可；（ 2）同时同地同向出发，根据公
式，海海追上佳佳一次的时间=跑道的周长÷他们的速度差，求追上两次 的时间，用追上一
次的时间×2即可。
解答：（1）400÷（40+60）=4（分），4×2=8（分）；
（2）400÷（60-40）=20（分），20×2=40（分）。
点评：掌握相遇和追及问题的公式

C
5.有一个圆形跑道周长是600 米,甲在乙前面240米处,两人同时沿顺时针方向跑。已知甲每
分钟跑120米,乙每分钟跑100米 ,多少分钟后甲追上乙?如果追上后继续跑,多少分钟后,甲
第二次追上乙?
考点：同时不同地的追及问题
分析：因为甲在乙前面240米，所以不能直接用公式计算，甲 如果想追上乙，就需要比乙多
跑600-240=360（米），用甲每分钟比乙每分钟多跑的路程去除 甲需要比乙多跑的路程，就
是甲追上乙所需的时间。当甲第一次追上乙时，他要想再次追上乙，就需要多 跑一个完整的
周长，这时便可以利用公式计算了。
解答：甲第一次追上乙用时：600-24 0=360（米），360÷（120-100）=12（分）；甲第二次
追上乙用时：600÷（12 0-100）=30（分），12+30=42（分）。
点评：这种题的关键在于不同地时要明确路程差就是追的人多跑的路程
6.绕湖一周是22千 米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。小王以5千米小时
速度每走1小时休息10分钟；小 张以6千米小时速度每走1小时休息10分钟。两人出发
多少时间第一次相遇？
考点：相遇问题
分析：本题的实质是求两人何时共走22千米，两人共走完22千米，所用时 间等于周长除以
他们的速度和，加上中间休息的时间。
解答：22÷（5+6）=2（小时） ，2÷1=2，10×（2-1）=10（分钟），两人第一次相遇共用
时2小时10分钟。
点评：利用相遇问题的公式，并知道他别注意休息时间
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< br>1.在周长为220米的圆形跑道的一条直径的两端，欢欢、乐乐二人骑自行车分别以6米秒
和5 米秒的速度同时反向出发（即一个顺时针一个逆时针），沿跑道行驶，则210秒内欢
欢、乐乐相遇几次 ？
考点：相遇问题
分析：此题应先求出第一次相遇的时间，再求共相遇了几次。因为他们是 在圆形跑道一条直
径的两端，因此，他们只要骑完半个周长，就可以第一次相遇，然后再求他们相遇一次 的时
间，用210秒减去他们第一次相遇的时间，再除以他们相遇一次的时间，便可以知道他们共
相遇了几次。
解答：220÷2=110（米），110÷（5+6）=10（秒），220÷（5 +6）=20（秒），（210-10）
÷20=10（次），10+1=11（次）。
点评：相遇次数=总时间÷相遇一次的时间
2.小明和小亮在操场上比赛跑步，小明每分钟跑 120米，小亮每分钟跑100米，一圈跑道长
400米，他们同时从起跑点出发，那么小明超过小亮4 次，需要多少分钟？
考点：追及问题
分析：根据公式可求出小明超过小亮一次所需的时间， 然后用这个时间乘以4，就是所需的
时间。
解答：400÷（120-100）=20（分）,20×4=80（分）。
点评：熟练使用追及公式
3.小佳、小海两人在400米的环形跑道上跑步，小海以150米 分钟的速度从起点跑出，1
分钟后，小佳从起点同向跑出。又过了5分钟，小海追上小佳。请问：小佳每 分钟跑多少米？
如果他们的速度保持不变，小海需要再过多少分钟才能第二次追上小佳？
考点：追及问题
分析：小海跑出1分钟后小佳才出发，因此小海要比小佳多跑400-150 =250（米），才能追
上小佳，根据公式，小海和小佳的速度差为250÷5=50（米分），因此小 佳的速度是
150-50=100（米分），这时可用公式求出，小海和小佳再相遇一次所需的时间。
解答：小佳的速度：（400-150）÷5=50（米分），150-50=100（米分）；小海再 次追上
小佳所需的时间：400÷50=8（分）。
点评：掌握追及问题的公式
4 .在400米的环形跑道上，芸芸、婷婷两人分别从A、B两地同时出发，同向而行。4分钟
后，芸芸第 一次追上婷婷，又经过10分钟芸芸第二次追上婷婷。已知芸芸的速度是每分钟
180米，那么婷婷的速 度是多少？A、B两地相距多少米？
考点：追及公式的变形
分析：跑道的周长是400米， 她们第二次相遇用时10分钟，可知她们的速度差为400÷10=40
（米分），芸芸的速度是180 米分，可以用芸芸的速度减去她们的速度差，从而求出婷婷
的速度。根据公式，用她们的速度差乘以4， 便是A、B两点的距离。
解答：婷婷的速度：400÷10=40（米分），180-40=140（ 米分）；A、B两点的距离：40
×4=160（米）。
点评：熟练掌握追及公式及它的变形
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5.芳芳、莹莹在湖的周围环形道上练习长跑， 芳芳每分钟跑250米，莹莹每分钟跑200
米，两人同时同地同向出发，经过45分钟芳芳追上莹莹；如果两人同时同地反向出发，经
过多少分钟两 人相遇？
考点：追及问题和相遇问题
分析：根据公式，两人的速度差乘以追及时间，可求得 湖的周长；用湖的周长除以他们的速
度和可求得他们同时同地反方向出发相遇的时间。
解答： 250-200=50（米分），50×45=2250（米），2250÷（250+200）=5（分）。
点评：掌握追及公式和相遇公式





1．黑白两只小猫在周长为400米的湖边赛跑，黑猫速度为每秒9米，白猫的速度为每秒11
米。若两只小猫同时从同一地点出发，背向而行。
⑴多少秒后两只小猫第一次相遇？
⑵如果它们继续不停跑下去，2分钟内一共相遇多少次？
考点：相遇问题和相遇次数的问题
分析：（1）根据公式，周长除以它们的速度和就是相遇一次的时间。（2）2分钟除以相遇
一 次的时间，就是相遇的次数。
解答：（1）400÷（9+11）=20（秒）；（2）2分钟=12 0秒，120÷20=6（次）。
点评：掌握相遇公式和相遇次数的公式
2．在环形跑道上 ，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔4分钟相遇一次；如果两人
从同处同向同时跑，每隔20分 钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600米，那么两人的速
度分别是多少？
考点：速度和差问题
分析：根据公式，用跑道的周长除以相向跑相遇用的时间，就是两人的速 度和；用跑道周长
除以两人同向跑相遇的时间，就是两人的速度差。用速度差加上速度和，得到2个跑的 较快
的人的速度和，再除以2就是这个人的速度，用速度和减去速度这个人速度，就是另一个人
的速度。
解答：1600÷4=400（米分），1600÷20=80（米分），（400+80） ÷2=240（米分），400-240=160
（米分）。
点评：周长÷相遇时间=速度的和（差）
3.成才小学有一条200米长的环形跑道，包包和 昊昊同时从起跑线起跑，包包每秒钟跑6
米，昊昊每秒钟跑4米，问包包第一次追上昊昊时两人各跑了多 少米？
考点：追及问题
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分析：根据公式 ，用周长除以他们的速度差就是包包第一次追上昊昊所需的时间，用这个时
间乘以他们各自的速度就是他 们两人分别跑的路程。
解答：200÷（6-4）=100（秒），包包跑的路程：6×100=60 0（米），4×100=400（米）。
点评：周长÷速度差=追及时间
4.在300米的 环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑75秒后，田奇从
后面追上王强，如果背向而 跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？
考点：相遇问题和追及问题
分析：根据公式，用 周长除以两人同向跑相遇的时间，就是两人的速度差，用周长除以两人
背向想遇的时间，就是两人的速度 和。用速度和加上速度差，就得到2个田奇的速度，再除
以2就是田奇的速度，用速度和减去田奇的速度 就是王强的速度。
解答：300÷75=4（米秒），半分钟=30秒，300÷30=10（米秒） ，田奇的速度：（10+4）
÷2=7（米秒），王强的速度：10-7=3（米秒）。
点评：熟练掌握速度的和差问题的公式
5.在400米的环形跑道上，A，B两地相距100 米（A，B分别为左上方和左下方的点），涛
涛、昊昊二人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑 。涛涛每秒跑5米，昊昊每秒跑
4米，每人每跑100米时都停留10秒钟，那么涛涛追上昊昊需要多少 秒？
考点：追及问题
分析：此题看起来有些难度，但是其实还是在考察环形跑道问题中的追 及问题，涛涛要想追
上昊昊，就要比昊昊多跑100米。因为涛涛每秒钟比昊昊多跑5-4=1（米）， 所以涛涛需要
100÷1=100（秒）才能追上昊昊。他们两人没跑100米都要休息10秒，而涛涛 连续跑100
秒，要跑5×100=500（米），因此涛涛要休息4次，那么涛涛追上昊昊所需的时间 就是涛
涛跑500米的时间，再加上休息4次的时间。
解答：100÷（5-4）=100（ 秒），5×100÷100=5，10×（5-1）=40（秒），涛涛追上昊昊
所需的时间：100+ 40=140（秒）。
点评：准确理解追及问题中涉及休息的时间的问题







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