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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共
合题目要求的．
＝( )．
A．{0,1,2}
A．－1＋i
a
1
＝(
1< br>12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
2
1．(2013课 标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N< br>B．{－1,0,1,2}
B．－1－I
C．{－1,0,2,3}
)．
D．1－i
D．{0,1,2,3}
2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(
C．1＋i
3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a
n
}的前n项和为S
n.已知S
3
＝a
2
＋10a
1
，a
5
＝9，则
)．
111
A．
3
B．
3
C．
9
)．
D．
9
4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥ 平面α，n⊥平面β.直线l满足
l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则(
A．α∥β且l∥α
C．α与β相交，且交线垂直于l
A．－4 B．－3 C．－2
B．α⊥β且l⊥β
D．α与β相交，且交线平行于l
52
5． (2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)的展开式中x的系数为5，则a＝(
D．－1
6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的
N< br>＝10，那么输出的
S
＝(
1
2
1
3
1< br>10
)．
)．
A．
1+L
1
1+
B．
2!
C．
1+
1
2
1
2!
1
L
3!
1
3
L
1
3!
L
1
10!
1
11
1
11!
D．
1+
7．(2013课标全国Ⅱ，理7) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系
面，则得到的正视图可以为( )．
O－xyz中的坐标分 别是
zOx平面为投影(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面 体三视图中的正视图时，以
8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log
3
6，b ＝log
5
10，c＝log
7
14，则(
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b
x
y
x1,
)．
D．a＞b＞c
y3,
3.
9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件若z ＝2x＋y的最
ax
小值为1，则a＝(
1
)．
1
A．
4
B．
2
C．1 D．2
)．
32
10．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数
f
(x
)＝
x
＋
ax
＋
bx
＋
c
，下列结论中错误的是(
A．x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图像是中 心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D． 若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
11．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|
＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2) ，则C的方程为(
A．y2＝4x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
△ABC分割为面积相等的两部分，则
1
2
)．
B．y2＝2x或y2＝8x
D．y2＝2x或y2＝16x
b的取值围是(
21
,
2212．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝a x＋b(a＞0)将
)．
1
21
,
23
11
,D．
32
A．(0,1) B．C．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部 分，第
二、填空题：本大题共
＝__________.
13题～第21题为必考题 ，每个试题考生都必须做答。
第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
uuuruu ur
13．(2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD
4小题，每小题5分．
14．(2013课标全国Ⅱ，理14)从n个正整数1, 2，…，n中任意取出两个不同的数，若
取出的两数之和等于5的概率为
1
14
，则n＝__________.
π
4
1
2
15．(2013课 标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若
tan
θ
＝__________.
，则sin θ＋cos
16．(2013课标全国Ⅱ，理16)等差数列{a
n< br>}的前n项和为S
n
，已知S
10
＝0，S
15
＝2 5，
则nS
n
的最小值为__________．
三、解答题：解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分)△ABC 的角A，B，C的对边分别为a，
b，c，已知a＝bcos C＋csin B.
(1)求 B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
18．(2013课标全国Ⅱ，理18)(本 小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中 ，D，
E分别是AB，BB
1
的中点，AA
1
＝AC＝CB＝
(1)证明：BC
1
∥平面A
1
CD；
(2)求二面角D－A1
C－E的正弦值．
2
2
AB
.
19．(2013课 标全国Ⅱ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度，
每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到
销售季度市场需 求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了
该农产品．以X(单位：t,100 ≤X≤150)表示下一个销售季度的市场需求量，
示下一个销售季度经销该农产品的利润．
( 1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3) 在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区
间的频率作为需 求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，
且X＝105 的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．
130 t
T(单位： 元)表
20．(2013课标全国Ⅱ，理
x
a
2
2
20)( 本小题满分12分)平面直角坐标系
y3
xOy中，过椭圆M：
y
b
2
2
=1
(a＞b＞0)右焦点的直线
x
1
2
0< br>交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP
的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
2 1．(2013课标全国Ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数
(1)设x＝0是f(x)的极值 点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.
f(x)＝e
x
－ln(x＋m)．
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做， 则按所做的第一题计分，做答时
请写清题号．
22．(2013课标全国Ⅱ，理22)(本小题 满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD 于点D，E，F分别为弦AB与
弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
23．(2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分1 0分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知动点
P
，
Q
都在曲线C
：
α
＜2π)，
M
为
PQ
的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过 坐标原点．
x
y
2cost,
2sint
(
t
为参 数)上，对应参数分别为
t
＝
α
与
t
＝2
α
(0＜
24．(2013课标全国Ⅱ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤
(2)
a
2
1
3
；
b
2
c
2
bca< br>1
.
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